微分代数

派生​${\textstyle \partial }$リングに${\textstyle R}$関数です${\displaystyle \partial :R\to R\,}$ そのため $${\displaystyle \partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}}$$ そして

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad }$（ライプニッツの積の法則）

すべての$\displaystyle r_1}}$そして$\displaystyle r_2$で${\displaystyle R.}$

これらの恒等式が意味することから、導出は整数上で線形である。${\displaystyle \partial (0)=\partial (1)=0}$そして${\displaystyle \partial (-r)=-\partial (r).}$

微分環は可換環である${\displaystyle R}$互いに可換な 1 つ以上の導出を備えている。つまり、$${\displaystyle \partial _{1}(\partial _{2}(r))=\partial _{2}(\partial _{1}(r))}$$導出のペアごとに、${\displaystyle r\in R.}$^{[ 7 ]}微分が1つしかない場合は、通常微分環。そうでない場合は、偏微分環と呼ばれる。

微分体とは、微分環であり、かつ体でもあるものである。微分代数${\displaystyle A}$微分場において${\displaystyle K}$は、${\displaystyle K}$部分環として、制限は${\displaystyle K}$派生の${\displaystyle A}$の導出に等しい${\displaystyle K.}$（より一般的な定義は以下に示すとおりで、これは以下のケースをカバーします。）${\displaystyle K}$はフィールドではなく、本質的には以下と同等です。${\displaystyle K}$（フィールドです。）

ウィット代数は、体を含む微分環である。${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数の。言い換えれば、これは微分代数である。${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$以来${\displaystyle \mathbb {Q} }$すべての微分が零関数となる微分場とみなすことができる。

微分環の定数は要素である${\displaystyle r}$そのため${\displaystyle \partial r=0}$すべての導出に対して${\displaystyle \partial .}$微分環の定数は部分環を形成し、微分可能体の定数は部分体を形成する。^{[ 8 ]}この「定数」の意味は定数関数の概念を一般化したものであり、定数の一般的な意味と混同してはならない。

以下の恒等式において、${\displaystyle \delta }$微分環の導出である${\displaystyle R.}$^{[ 9 ]}

• もし${\displaystyle r\in R}$そして${\displaystyle c}$は定数です${\displaystyle R}$（つまり、${\displaystyle \delta c=0}$）、 それから$${\displaystyle \delta (cr)=c\delta (r).}$$
• もし${\displaystyle r\in R}$そして${\displaystyle u}$は単位です${\displaystyle R,}$それから $${\displaystyle \delta \left({\frac {r}{u}}\right)={\frac {\delta (r)u-r\delta (u)}{u^{2}}}}$$
• もし${\displaystyle n}$は非負の整数であり、${\displaystyle r\in R}$それから$${\displaystyle \delta (r^{n})=nr^{n-1}\delta (r)}$$
• もし${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$は単位です${\displaystyle R,}$そして${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$は整数であり、一方は対数微分恒等式を持つ。$${\displaystyle {\frac {\delta (u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}}}}=e_{1}{\frac {\delta (u_{1})}{u_{1}}}+\dots +e_{n}{\frac {\delta (u_{n})}{u_{n}}}.}$$

微分演算子または高階微分は、複数の微分を合成したものです。微分環の微分は可換であると仮定されているため、微分の順序は関係なく、微分演算子は次のように記述できます。 $${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}},}$$ どこ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{n}}$検討中の導出は、${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$は非負の整数であり、導出の指数は、その導出が演算子内で何回構成されるかを示します。

合計${\displaystyle o=e_{1}+\cdots +e_{n}}$導出の順序と呼ばれる。${\displaystyle o=1}$導出演算子は元の導出の1つです。${\displaystyle o=0}$、一方には恒等関数があり、これは一般に位数ゼロの唯一の微分演算子とみなされます。これらの慣例により、微分演算子は、検討対象の微分集合上に自由可換モノイドを形成します。

元素の派生${\displaystyle x}$微分環の微分演算子の適用は、${\displaystyle x,}$すなわち、上記の表記法を用いると、${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(x).}$適切な導関数とは、正の階数の導関数のことである。^{[ 7 ]}

微分イデアル${\displaystyle I}$差動リングの${\displaystyle R}$リングの理想${\displaystyle R}$それは環の導関数の下で閉じている（安定している）ものであり、つまり、${\textstyle \partial x\in I,}$すべての導出に対して${\displaystyle \partial }$そしてすべての${\displaystyle x\in I.}$微分イデアルは、それが全環でない場合に、真イデアルであると言われる。混乱を避けるため、微分イデアルではないイデアルは、代数イデアルと呼ばれることもある。

微分イデアルの根基は、代数イデアルとしての根基、すなわち、イデアルにおいて冪を持つ環の要素の集合と同じである。微分イデアルの根基もまた微分イデアルである。根基または完全微分イデアルとは、その根基と等しい微分イデアルである。^{[ 10 ]}素微分イデアルとは、通常の意味で素である微分イデアルである。すなわち、積がイデアルに属する場合、少なくとも1つの因子がイデアルに属する。素微分イデアルは常に根基微分イデアルである。

リットの発見は、代数イデアルの古典的な理論は微分イデアルには適用できないものの、その大部分は根号微分イデアルに拡張でき、そのため根号微分イデアルは微分代数学において基本的なものとなるということである。

任意の微分イデアル族の共通部分は微分イデアルであり、任意の根基微分イデアル族の共通部分は根基微分イデアルである。^{[ 11 ]} したがって、部分集合が与えられた場合、${\displaystyle S}$微分環には、それを含むすべての代数イデアル、すべての微分イデアル、およびすべての根基微分イデアルの共通部分である 3 つのイデアルが生成される。^{[ 11 ] [ 12 ]}

によって生成される代数的イデアル${\displaystyle S}$は、の要素の有限線形結合の集合である。${\displaystyle S,}$一般的には次のように表記される${\displaystyle (S)}$または${\displaystyle \langle S\rangle .}$

微分イデアルによって生成される${\displaystyle S}$は、 の要素の有限線形結合の集合である。${\displaystyle S}$そして、これらの要素の任意の階数の導関数の。一般に次のように表記される。${\displaystyle [S].}$いつ${\displaystyle S}$有限である、${\displaystyle [S]}$一般的に、代数的イデアルとしては有限生成ではない。

によって生成される根本的な微分イデアル${\displaystyle S}$一般的には次のように表記されます${\displaystyle \{S\}.}$他の2つのケースと同様の方法でその要素を特徴付ける既知の方法は存在しない。

導関数の順位は、全順序と許容順序であり、次のように定義されます。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

${\textstyle \forall p\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta$ :\theta _{\mu }p>p.}

${\textstyle \forall p,q\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :p\geq q\Rightarrow \theta _{\mu }p\geq \theta _{\mu }q.}$

各導関数には整数タプルがあり、単項式順序は導関数の整数タプルをランク付けすることによって導関数をランク付けします。整数タプルは微分不定値、導関数の多重インデックスを識別し、導関数の次数を識別する場合があります。ランク付けの種類には次のものがあります。^{[ 27 ]}

• 秩序だったランキング：${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \$ :\ \オペレーター名 {ord} (\theta _{\mu })\geq \operatorname {ord} (\theta _{\nu })\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}
• 脱落順位：${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \$ :\ y_{i}\geq y_{j}\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}

この例では、整数タプルは微分不定と導関数の多重インデックス、および辞書式単項式の順序を識別します。${\textstyle \geq _{\text{lex}}}$導関数のランクを決定します。^{[ 28 ]}

${\displaystyle \eta (\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(y_{j}))=(j,e_{1},\ldots ,e_{n})}$。

${\displaystyle \eta (\theta _{\mu }y_{j})\geq _{\text{lex}}\eta (\theta _{\nu }y_{k})\Rightarrow \theta _{\mu }y_{j}\geq \theta _{\nu }y_{k}.}$

これは標準的な多項式形式です。${\displaystyle p=a_{d}\cdot u_{p}^{d}+a_{d-1}\cdot u_{p}^{d-1}+\cdots +a_{1}\cdot u_{p}+a_{0}}$[ ^{24 ] [ 28 ]​}

• リーダー導関数または主導関数とは、多項式の最も高いランクの導関数のことです。${\displaystyle u_{p}}$。
• 係数${\displaystyle a_{d},\ldots ,a_{0}}$先頭の導関数を含まない${\textstyle u_{p}}$。
• 多項式の次数は、最高導関数の最大の指数です。${\displaystyle \deg _{u_{p}}(p)=d}$。
• 初期値は係数です。${\displaystyle I_{p}=a_{d}}$。
• ランクとは、多項式の次数で累乗した最高階導関数のことです。${\displaystyle u_{p}^{d}}$。
• セパラントは導関数です。${\displaystyle S_{p}={\frac {\partial p}{\partial u_{p}}}}$。

別セットは${\displaystyle S_{A}=\{S_{p}\mid p\in A\}}$初期セットは${\displaystyle I_{A}=\{I_{p}\mid p\in A\}}$そして結合セットは${\textstyle H_{A}=S_{A}\cup I_{A}}$[ ^{29 ]​}

部分縮約（部分正規形）多項式${\textstyle q}$多項式に関して${\textstyle p}$これらの多項式は非基底体要素であることを示し、${\textstyle p,q\in {\mathcal {K}}\{Y\}\setminus {\mathcal {K}}}$、 そして${\displaystyle q}$適切な派生語は含まれていません${\displaystyle u_{p}}$[ ^{30 ] [ 31 ] [ 29 ]​}

部分的に簡約された多項式${\textstyle q}$多項式に関して${\textstyle p}$簡約形（標準形）多項式になる ${\textstyle q}$に関して${\textstyle p}$度合いが${\textstyle u_{p}}$で${\textstyle q}$度よりも小さい${\textstyle u_{p}}$で${\textstyle p}$[ ^{30 ] [ 31 ] [ 29 ]​}

自己簡約多項式集合は、集合内の他のすべての多項式に関して、すべての多項式が簡約されている集合です。すべての自己簡約集合は有限です。自己簡約集合は三角形であり、各多項式要素は異なる主導関数を持ちます。^{[ 32 ] [ 30 ]}

リットの還元アルゴリズムは整数を識別する${\textstyle i_{A_{k}},s_{A_{k}}}$微分多項式を変換する${\textstyle f}$より低いランクまたは同ランクの剰余多項式に対する擬似除算を使用する${\textstyle f_{red}}$これは自己簡約多項式集合に関して簡約されている。${\textstyle A}$アルゴリズムの最初のステップでは入力多項式を部分的に簡約し、アルゴリズムの2番目のステップでは多項式を完全に簡約します。簡約の式は次のとおりです。^{[ 30 ]}

${\displaystyle f_{\text{red}}\equiv \prod _{A_{k}\in A}I_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot S_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot f,{\pmod {[A]}}{\text{ with }}i_{A_{k}},s_{A_{k}}\in \mathbb {N} .}$

セット${\textstyle A}$主導関数のランクが${\textstyle u_{A_{1}}<\dots <u_{A_{m}}}$そして${\textstyle \forall i,\ A_{i}}$に関して減少する${\textstyle A_{i+1}}$^{[ 33 ]}

自己還元集合${\textstyle A}$そして${\textstyle B}$それぞれに順位付けされた多項式要素が含まれています。この手順では、両方の自己簡約セットから同一のインデックスを持つ多項式のペアを比較することにより、2 つの自己簡約セットの順位付けを行います。^{[ 34 ]}

• ${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}\in A}$そして${\displaystyle B_{1}<\cdots <B_{n}\in B}$そして${\displaystyle i,j,k\in \mathbb {N} }$。
• ${\displaystyle {\text{rank }}A<{\text{rank }}B}$もし${\displaystyle k\leq \operatorname {minimum} (m,n)}$そのため${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$のために${\textstyle 1\leq i<k}$そして${\displaystyle A_{k}<B_{k}}$。
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A<\operatorname {rank} B}$もし${\displaystyle n<m}$そして${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$のために${\displaystyle 1\leq i\leq n}$。
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} B}$もし${\displaystyle n=m}$そして${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$のために${\displaystyle 1\leq i\leq n}$。

特性セット${\textstyle C}$は、部分集合多項式分離項がイデアルの非メンバーであるイデアルのすべての自己簡約部分集合の中で、最もランクの低い自己簡約部分集合である。${\textstyle {\mathcal {I}}}$[ ^{35 ]​}

デルタ多項式は多項式ペアに適用されます${\textstyle p,q}$その指導者たちは共通の派生語を共有しており、${\textstyle \theta _{\alpha }u_{p}=\theta _{\beta }u_{q}}$多項式ペアの最高階導関数に対する最も一般的でない導関数演算子は${\textstyle \theta _{pq}}$デルタ多項式は次のようになります。^{[ 36 ] [ 37 ]}

${\displaystyle \operatorname {\Delta -poly} (p,q)=S_{q}\cdot {\frac {\theta _{pq}p}{\theta _{p}}}-S_{p}\cdot {\frac {\theta _{pq}q}{\theta _{q}}}}$

コヒーレントセットとは、デルタ多項式のペアをゼロに還元する多項式セットのことである。^{[ 36 ] [ 37 ]}

定期システム${\textstyle \Omega }$自己縮約された一貫性のある微分方程式のセットを含む${\textstyle A}$不等式セット${\textstyle H_{\Omega }\supseteq H_{A}}$設定付き${\textstyle H_{\Omega }}$方程式セットに関して縮小された。^{[ 37 ]}

正則微分イデアル${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}}$および正則代数イデアル${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}}$これらは正則システムから生じる飽和イデアルである。 ^{[ 37 ]}ラザールの補題によれば、正則微分イデアルと正則代数イデアルは根基イデアルである。^{[ 38 ]}

• 正則微分イデアル：${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}=[A]:H_{\Omega }^{\infty }.}$
• 正則代数イデアル：${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}=(A):H_{\Omega }^{\infty }.}$

ローゼンフェルド・グロブナーアルゴリズムは、根基微分イデアルを正則根基微分イデアルの有限個の交差として分解します。特性集合で表されるこれらの正則根基微分イデアルは、必ずしも素イデアルではなく、表現が必ずしも最小であるとは限りません。^{[ 39 ]}

メンバーシップ問題は、微分多項式が${\textstyle p}$微分多項式の集合から生成されるイデアルの要素である。${\textstyle S}$ローゼンフェルド・グロブナーアルゴリズムは、グロブナー基底の集合を生成します。このアルゴリズムは、多項式がイデアルの要素であるのは、部分的に簡約された剰余多項式がグロブナー基底によって生成される代数イデアルの要素である場合に限ると判定します。^{[ 40 ]}

ローゼンフェルド・グロブナーアルゴリズムは、微分方程式の解のテイラー級数展開を作成するのに役立ちます。 ^{[ 41 ]}

例１：${\textstyle (\operatorname {Mer} (\operatorname {f} (y),\partial _{y}))}$は、単一の標準微分を持つ微分有理型関数体です。

例２：${\textstyle (\mathbb {C} \{y\},p(y)\cdot \partial _{y})}$は、任意の多項式に対して、導関数として線形微分演算子を持つ微分場である。${\displaystyle p(y)}$。

定義する${\textstyle E^{a}(p(y))=p(y+a)}$シフトオペレーターとして${\textstyle E^{a}}$多項式の場合${\textstyle p(y)}$。

シフト不変演算子${\textstyle T}$シフトオペレーターと通勤する：${\textstyle E^{a}\circ T=T\circ E^{a}}$。

ピンシェル微分は、シフト不変演算子の導出である。${\textstyle T}$、 は${\textstyle T^{\prime }=T\circ y-y\circ T}$[ ^{42 ]​}

整数環は${\displaystyle (\mathbb {Z} .\delta )}$、そしてすべての整数は定数である。

• 1の導関数はゼロです。${\textstyle \delta (1)=\delta (1\cdot 1)=\delta (1)\cdot 1+1\cdot \delta (1)=2\cdot \delta (1)\Rightarrow \delta (1)=0}$。
• また、${\displaystyle \delta (m+1)=\delta (m)+\delta (1)=\delta (m)\Rightarrow \delta (m+1)=\delta (m)}$。
• 帰納法によって、${\displaystyle \delta (1)=0\ \wedge \ \delta (m+1)=\delta (m)\Rightarrow \forall \ m\in \mathbb {Z} ,\ \delta (m)=0}$。

有理数の体は${\displaystyle (\mathbb {Q} .\delta )}$そして、すべての有理数は定数である。

• すべての有理数は整数の商である。

  ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {Q} ,\ \exists \ a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z} /\{0\},\ r={\frac {a}{b}}}$

• 整数の微分はゼロであることを考慮して、商の微分公式を適用します。

  ${\displaystyle \delta (r)=\delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {\delta (a)\cdot b-a\cdot \delta (b)}{b^{2}}}=0}$。

定数は定数の部分環を形成する${\textstyle (\mathbb {C} ,\partial _{y})\subset (\mathbb {C} \{y\},\partial _{y})}$[ ^{43 ]​}

要素${\textstyle \exp(y)}$微分イデアルを生成する${\textstyle [\exp(y)]}$差動リング内${\textstyle (\mathbb {C} \{y,\exp(y)\},\partial _{y})}$[ ^{44 ]​}

アイデンティティを持つ指輪は${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$代数学。^{[ 45 ]} したがって、微分環は${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$代数。

着信音${\textstyle {\mathcal {R}}}$は単位環の中心の部分環である${\textstyle {\mathcal {M}}}$、 それから${\textstyle {\mathcal {M}}}$は${\textstyle \operatorname {{\mathcal {R}}-} }$代数。^{[ 45 ]} したがって、微分環は微分部分環上の代数である。これは部分環上の代数の自然な構造である。 ^{[ 30 ]}

指輪${\textstyle (\mathbb {Q} \{y,z\},\partial _{y})}$既約多項式を持つ、${\textstyle p}$（通常、平方フリー）${\textstyle q}$（特別な、理想的な発電機）

${\textstyle \partial _{y}(y)=1,\ \partial _{y}(z)=1+z^{2},\ z=\tan(y)}$

${\textstyle p(y)=1+y^{2},\ \partial _{y}(p)=2\cdot y,\ \gcd(p,\partial _{y}(p))=1}$

${\textstyle q(z)=1+z^{2},\ \partial _{y}(q)=2\cdot z\cdot (1+z^{2}),\ \gcd(q,\partial _{y}(q))=q}$

記号積分では、エルミート還元、チホフスキーアルゴリズム、ラザード・リオブー・トレーガーアルゴリズム、ホロウィッツ・オストログラツキーアルゴリズム、平方因子を用いない因数分解、特殊多項式と通常多項式への分割因数分解など、多項式とその導関数を含むアルゴリズムが用いられる。^{[ 46 ]}

微分代数では、一連の微分多項式方程式に解が存在するかどうかを判定できます。全順序ランキングでは、代数制約を特定できます。消去ランキングでは、1つまたは選択された独立変数のグループが微分方程式を表現できるかどうかを判定できます。三角分解と消去順序を使用すると、段階的な方法で微分不定式を一度に1つずつ微分方程式を解くことができます。別のアプローチは、既知の解形式を持つ微分方程式のクラスを作成することです。微分方程式をそのクラスに一致させることで、方程式の解を特定できます。微分代数方程式系の数値積分を容易にする方法が利用可能です。^{[ 47 ]}

カオスを伴う非線形力学系の研究では、研究者らは微分消去法を用いて微分方程式を単一の状態変数を含む常微分方程式に還元しました。ほとんどの場合、この方法は成功し、近似解の開発、カオスの効率的な評価、リアプノフ関数の構築が容易になりました。^{[ 48 ]} 研究者らは微分消去法を細胞生物学、区画生化学モデル、パラメータ推定、生化学反応の準定常状態近似（QSSA）の理解に応用してきました。^{[ 49 ] [ 50 ]}研究者らは微分グレブナー基底を用いて、非線形微分方程式の 非古典的対称性を調査しました。^{[ 51 ]} その他の応用分野には、制御理論、モデル理論、代数幾何学などがあります。^{[ 52 ] [ 16 ] [ 53 ]} 微分代数は微分差分方程式にも適用されます。^{[ 54 ]}

A${\textstyle \operatorname {\mathbb {Z} -graded} }$ベクトル空間${\textstyle V_{\bullet }}$ベクトル空間の集合です${\textstyle V_{m}}$整数次数${\textstyle |v|=m}$のために${\textstyle v\in V_{m}}$直接和はこの次数付きベクトル空間を表すことができる：^{[ 55 ]}

${\displaystyle V_{\bullet }=\bigoplus _{m\in \mathbb {Z} }V_{m}}$

微分次数付きベクトル空間または連鎖複体は、次数付きベクトル空間である。${\textstyle V_{\bullet }}$差分地図または境界地図を使用して${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m-1}}$と${\displaystyle d_{m}\circ d_{m+1}=0}$[ ^{56 ]​}

コチェイン複体は次数付きベクトル空間である${\textstyle V^{\bullet }}$差分マップまたは境界マップを使用${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m+1}}$と${\displaystyle d_{m+1}\circ d_{m}=0}$[ ^{56 ]​}

微分次数代数は次数代数である${\textstyle A}$線形微分を用いて${\textstyle d:A\to A}$と${\displaystyle d\circ d=0}$これは段階的なライプニッツ積の法則に従う。^{[ 57 ]}

• 段階的ライプニッツ積の法則：${\displaystyle \forall a,b\in A,\ d(a\cdot b)=d(a)\cdot b+(-1)^{|a|}\cdot a\cdot d(b)}$と${\displaystyle |a|}$ベクトルの次数${\displaystyle a}$。

リー代数は、有限次元の実数または複素数のベクトル空間である。${\textstyle {\mathcal {g}}}$双線形括弧演算子${\textstyle [,]:{\mathcal {g}}\times {\mathcal {g}}\to {\mathcal {g}}}$歪対称性とヤコビ恒等性を持つ。^{[ 58 ]}

• 歪対称性：${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• ヤコビ恒等式の性質：${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$

すべての人々のために${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {g}}}$。

随伴演算子、${\textstyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[Y,X]}$これは括弧の導出です。なぜなら、随伴演算子が二項括弧演算に及ぼす影響は、導出演算子が二項積演算に及ぼす影響と類似しているからです。これは、によって決定される内部導出です。${\textstyle X}$[ ^{59 ] [ 60 ]​}

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}([Y,Z])=[\operatorname {ad} _{X}(Y),Z]+[Y,\operatorname {ad} _{X}(Z)]}$

普遍包絡代数${\textstyle U({\mathcal {g}})}$リー代数の${\textstyle {\mathcal {g}}}$は、リー代数の要素によって生成される、単位元を持つ極大結合代数である。${\textstyle {\mathcal {g}}}$そして、括弧演算によって定義される積を含みます。最大とは、線形準同型写像が普遍代数を、これらの性質を持つ他の任意の代数に写像することを意味します。随伴演算子は、ライプニッツ積規則に従う導出です。^{[ 61 ]}

• 製品${\displaystyle U({\mathcal {g}})}$ :${\displaystyle X\cdot Y-Y\cdot X=[X,Y]}$
• ライプニッツ積則：${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y\cdot Z)=\operatorname {ad} _{X}(Y)\cdot Z+Y\cdot \operatorname {ad} _{X}(Z)}$

すべての人々のために${\displaystyle X,Y,Z\in U({\mathcal {g}})}$。

ワイル代数は代数である${\textstyle A_{n}(K)}$ リングの上で${\textstyle K[p_{1},q_{1},\dots ,p_{n},q_{n}]}$特定の非可換積を持つ: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{i}-q_{i}\cdot p_{i}=1,\$ :\ i\in \{1,\dots ,n\}} 。

他のすべての不定積は可換である。${\textstyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$:

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot p_{i}=0{\text{ if }}i\neq j,\ p_{i}\cdot p_{j}-p_{j}\cdot p_{i}=0,\ q_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot q_{i}=0}$。

ワイル代数は、可換環の多項式の導関数を表すことができる。${\textstyle f\in K[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$ワイル代数の要素は自己準同型であり、要素は${\textstyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$関数は標準微分として機能し、マップ合成は線形微分演算子を生成します。D モジュールは微分演算子を理解するための関連アプローチです。自己準同型は次のとおりです。^{[ 62 ]}

${\displaystyle q_{j}(y_{k})=y_{j}\cdot y_{k},\ q_{j}(c)=c\cdot y_{j}{\text{ with }}c\in K,\ p_{j}(y_{j})=1,\ p_{j}(y_{k})=0{\text{ if }}j\neq k,\ p_{j}(c)=0{\text{ with }}c\in K}$

結合的であり、場合によっては非可換な環${\textstyle A}$派生がある${\textstyle d:A\to A}$[ ^{63 ]​}

擬微分作用素環${\textstyle A((\partial ^{-1}))}$左${\textstyle \operatorname {A-module} }$ 環状要素を含む${\textstyle L}$: ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}

${\displaystyle a_{i}\in A,\ i,i_{\min }\in \mathbb {N} ,\ |i_{\min }|>0\$ :\ L=\sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}}

微分演算子は${\textstyle d(a)=\partial \circ a-a\circ \partial }$[ ^{63 ]​}

二項係数は${\displaystyle {\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}}$。

擬似微分演算子の乗算は次のようになります。^{[ 63 ]}

${\displaystyle \sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}\cdot \sum _{j\geq j_{\min }}^{m}b_{i}\cdot \partial ^{j}=\sum _{i,j;k\geq 0}{\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}\cdot a_{i}\cdot d^{k}(b_{j})\cdot \partial ^{i+j-k}}$