収束のモード

数学においては、数列や級数が収束すると言われる場合、多くの意味合いが存在する。

収束は、第一可算空間における数列を用いて定義できます。ネットは数列の一般化であり、第一可算でない空間で有用です。フィルタは収束の概念をさらに一般化します。距離空間では、コーシー数列を定義できます。コーシーネットとフィルタは、一様空間への一般化です。さらに一般的に、コーシー空間は、コーシーフィルタを定義できる空間です。収束は「コーシー収束」を意味し、コーシー収束と収束部分列の存在は収束を意味します。距離空間の完備性の概念とその一般化は、コーシー数列を用いて定義されます。^{[ 1 ]}

位相アーベル群において、級数の収束は部分和の列の収束として定義される。級数を考える上で重要な概念は無条件収束であり、これは級数の極限が項の置換に対して不変であることを保証する。

ノルムベクトル空間では、絶対収束を級数の収束として定義できる（${\displaystyle \Sigma |b_{k}|}$) 絶対収束は部分和の列のコーシー収束を意味し (三角不等式により)、これはさらに何らかのグループ化 (並べ替えではない) の絶対収束を意味します。グループ化によって得られる部分和の列は、元の級数の部分和の部分列です。各絶対収束級数の収束は、ノルムベクトル空間がバナッハ空間(すなわち、完備) であるための同値条件です。

絶対収束と収束が同時に起こると無条件収束が成り立つが、無条件収束は一般に絶対収束を意味しない。空間がバナッハ空間であっても、この含意は成り立つ。$\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$。

関数列の収束の最も基本的なタイプ（特に、関数の定義域に位相構造を仮定しない）は、点ごとの収束です。これは、関数の値の列が各点で収束することとして定義されます。関数が一様空間で値をとる場合、点ごとのコーシー収束、一様収束、および一様コーシー収束を定義できます。

点ごとの収束は点ごとのコーシー収束を意味し、関数が値をとる空間が完備であればその逆も成り立ちます。一様収束は点ごとの収束と一様コーシー収束を意味します。部分列の一様コーシー収束と点ごとの収束は、その数列の一様収束を意味し、終域が完備であれば、一様コーシー収束は一様収束を意味します。

関数の定義域が位相空間であり、終域が一様空間である場合、局所一様収束（すなわち、各点の近傍における一様収束）とコンパクト（一様）収束（すなわち、すべてのコンパクト部分集合における一様収束）を定義できます。「コンパクト収束」は常に「コンパクト一様収束」の略語です。「コンパクト点収束」は「点ごとの収束」と同じ意味になるからです（点は常にコンパクトです）。

一様収束は、局所的な一様収束とコンパクト収束の両方を意味します。なぜなら、どちらも局所的な概念であるのに対し、一様収束は大域的な概念だからです。Xが局所的にコンパクトである場合（最も弱い意味でも、つまりすべての点がコンパクトな近傍を持つ場合）、局所的な一様収束はコンパクト（一様）収束と等価です。大まかに言えば、これは「局所的」と「コンパクト」が同じ意味を持つためです。

関数列の点ごとの収束と一様収束は、部分和の列の収束という観点から定義される。

ノルム線形空間に値をとる関数について、絶対収束とは、正の実数値関数の級数の収束を指す。${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$「点ごとの絶対収束」は、単に点ごとの収束である。${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$。

正規収束とは、非負の実数列の各関数の均一ノルム（つまり「sup」ノルム）を取ることによって得られる収束のことである（${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$バナッハ空間では、点ごとの絶対収束は点ごとの収束を意味し、正規収束は一様収束を意味します。

位相空間上で定義された関数については、（上記のように）級数の部分和を用いて局所一様収束とコンパクト（一様）収束を定義できる。さらに、関数がノルム線形空間の値をとる場合、局所正規収束（局所的、一様、絶対収束）とコンパクト正規収束（コンパクト集合上の絶対収束）を定義できる。

正規収束は、局所正規収束とコンパクト正規収束の両方を意味する。そして、領域が局所コンパクトである場合（最も弱い意味でも）、局所正規収束はコンパクト正規収束を意味する。

可測関数の列を考えると、位相的性質だけでなく測度論的性質に依存するいくつかの収束モードが現れます。これには、ほぼ至る所での点ごとの収束、 p-平均の収束、および測度の収束が含まれます。これらは確率論において特に興味深いものです。^{[ 2 ]}

以下の各オブジェクトタイプは、それぞれ先行するタイプの特殊なケースであることに注意してください。集合、位相空間、一様空間、位相アーベル群（TAG）、ノルムベクトル空間、ユークリッド空間、および実数／複素数。以下は収束モードの一覧です...

位相空間 ( Y ) 内の要素の列 { a _n } について：

• 収束、または強調のために「位相的収束」（つまり、極限の存在）。
• 均一な空間（U）において：
  • コーシー収束

TAG ( G ) 内の要素 Σ b _kの系列について：

• （部分和列の）収束
• コーシー収束（部分和列の収束）
• 無条件収束
• ...ノルム空間（N）において：
  • 絶対収束（収束）${\displaystyle \sum |b_{k}|}$）

集合 ( S ) から位相空間 ( Y )への関数列 { f _{n } について：}

• 点ごとの収束
• ...集合（S）から一様空間（U）へ：
  • 一様収束
  • 点ごとのコーシー収束
  • 一様コーシー収束
• ...位相空間（X）から一様空間（U）へ：
  • 局所的な一様収束（すなわち、各点の近傍における一様収束）
  • コンパクト（一様）収束（すなわち、すべてのコンパクト部分集合における一様収束）
• ...測度空間（S、μ）から複素数（C）へ：
  • ほぼあらゆる場所で収束
  • ほぼ均一な収束
  • L ^p収束
  • 測定の収束
  • 分布の収束

集合 ( S ) からタグ ( G ) への関数の系列 Σ g _kについて：

• （部分和列の）点ごとの収束
• （部分和列の）一様収束
• 部分和列の点ごとのコーシー収束
• 一様コーシー収束（部分和列の）
• 無条件の点ごとの収束
• 無条件一様収束
• ...集合（S）からノルム空間（N）へ：
  • 点ごとの絶対収束（点ごとの収束）${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$）
  • 一様絶対収束（一様収束）${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$）
  • 通常の収束（一様ノルムの級数の収束）${\displaystyle \Sigma ||g_{k}||_{u}}$）
• ...位相空間（X）からTAG（G）へ：
  • （部分和列の）局所一様収束
  • コンパクト（一様）収束（部分和列の）
• ...位相空間（X）からノルム空間（N）へ：
  • 局所一様絶対収束
  • コンパクト（一様）絶対収束
  • 局所法線収束
  • コンパクト法線収束

• トポロジーにおけるフィルター– フィルターを用いてすべての基本的なトポロジー概念と結果を記述および特徴付ける 
• 数列の極限– 無限数列が収束する値 
• ネット（数学）– 点列の一般化 
• 線形写像の空間上の位相
• 数列の極限
• 指標の収束
• 測定の収束
• 確率変数の収束：
  • 流通において
  • 確率において
  • ほぼ確実
  • もちろん
  • 平均

• フォランド、GB（1999）。実解析：現代の手法とその応用（第2 版）。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 0-471-31716-0。

• Bahr, Patrick (2012). "項グラフ書き換えの収束モード".Logical Methods in Computer Science 8 (2:06). pp. 1–60 –インターネットアーカイブ経由
• ビリングスリー、パトリック（1999）。確率測度の収束。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 0471197459