最初の不可算序数

数学において、最初の不可算序数は、伝統的に で表される。$\displaystyle \omega _{1}}$または時々${\displaystyle \Omega }$は、非可算整列集合の順序型となる最小の順序数です。これは、すべての可算順序数の上限（最小上界）です。フォン・ノイマン表現では、 の要素は$\displaystyle \omega _{1}}$は可算順序数（有限順序数を含む）であり、^{[ 1 ]}は非可算多数存在する。

集合の濃度$\displaystyle \omega _{1}}$は最初の不可算基数です。$\displaystyle \aleph _{1}}$（アレフワン）。序数$\displaystyle \omega _{1}}$は、したがっての最初の序数です。$\displaystyle \aleph _{1}}$⁠。無限基数の他のすべての初期順序数と同様に、$\displaystyle \omega _{1}}$は限界順序数です。つまり、順序数は存在しません。${\displaystyle \alpha }$そのため、${\displaystyle \omega _{1}=\alpha +1}$形式的には、基数は通常、その最初の序数として表されます。この場合、$\displaystyle \omega _{1}}$そして$\displaystyle \aleph _{1}}$集合として等しいとみなされる。より一般的には、任意の順序数に対して⁠${\displaystyle \alpha }$⁠、${\displaystyle \omega _{\alpha }}$は基数の最初の序数を表します。$\displaystyle \aleph _{\alpha }}$⁠ .

連続体仮説（CH）は次のように述べている。${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$（場所）${\displaystyle \beth _{1}=2^{\aleph _{0}}=\vert \mathbb {R} \vert }$は2 番目のベス数であり、これは を意味します。${\displaystyle \vert \omega _{1}\vert =\vert \mathbb {R} \vert }$すなわち、可算順序数は実数と同数である。CHが成り立たないが選択公理（AC）が成り立つ場合、${\displaystyle \vert \omega _{1}\vert }$最小の不可算基数として、 は より厳密に小さい。${\displaystyle \vert \mathbb {R} \vert }$⁠。ACも成り立たない場合、 ⁠${\displaystyle \vert \omega _{1}\vert }$は比較できないかもしれない${\displaystyle \vert \mathbb {R} \vert }$ただし、最大でも より大きいことはない${\displaystyle \vert \mathbb {R} \vert }$⁠ . ^{[ 2 ]}

の存在$\displaystyle \omega _{1}}$AC に依存しない。これは、のハートッグス数として明示的に構築できる。${\displaystyle \omega _{0}=\mathbb {N} }$⁠より具体的には、 上のすべての整列順序の集合は、${\displaystyle \mathbb {N} }$は、上のすべての二項関係のサブセットとして構築できます。${\displaystyle \mathbb {N} }$したがって、置換公理を適用してすべての整列順序をその順序型で置き換えると、次のようになります。$\displaystyle \omega _{1}}$⁠ .

順序位相を用いることで、任意の順序数を位相空間に変換することができる。位相空間として見た場合、$\displaystyle \omega _{1}}$しばしば次のように書かれる${\displaystyle [0,\omega _{1})}$強調すると、それは、より小さいすべての順序数からなる空間である。$\displaystyle \omega _{1}}$。

可算選択公理が成り立つならば、要素の任意の増加するω列は${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$極限に収束する${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$その理由は、可算順序数の任意の可算集合の和集合（すなわち上限）は、別の可算順序数になるからである。

位相空間${\displaystyle [0,\omega _{1})}$は順次コンパクトであるが、コンパクトではない。したがって、距離化可能ではない。しかし、可算コンパクトであるため、リンデレーフではない（可算コンパクト空間は、リンデレーフである場合に限りコンパクトである）。可算性の公理の観点から、${\displaystyle [0,\omega _{1})}$は第一可算名詞だが、分離可能でも第二可算名詞でもない。

スペース${\displaystyle [0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1}$簡潔であり、第一可算名詞ではない。$\displaystyle \omega _{1}}$は、トポロジーにおける2つの重要な反例である長線とチホノフの板を定義するために使用されます。

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