演出されたセット

させて${\displaystyle \mathbb {D} _{1}}$そして${\displaystyle \mathbb {D} _{2}}$有向集合である。すると、デカルト積集合は${\displaystyle \mathbb {D} _{1}\times \mathbb {D} _{2}}$定義することで有向集合にすることができる${\displaystyle \left(n_{1},n_{2}\right)\leq \left(m_{1},m_{2}\right)}$かつその場合に限り${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}}$そして${\displaystyle n_{2}\leq m_{2}.}$積の順序に類似して、これはデカルト積の積の方向です。たとえば、集合$\displaystyle \mathbb{N} \times \mathbb{N} }$自然数のペアは、定義することで有向集合にすることができる。${\displaystyle \left(n_{0},n_{1}\right)\leq \left(m_{0},m_{1}\right)}$かつその場合に限り${\displaystyle n_{0}\leq m_{0}}$そして${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}.}$

もし${\displaystyle x_{0}}$が実数である場合、集合${\displaystyle I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$定義することで有向集合に変換できる${\displaystyle a\leq _{I}b}$もし${\displaystyle \left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|}$（つまり「より大きな」要素は${\displaystyle x_{0}}$) そして、実数は${\displaystyle x_{0}.}$これは、部分順序で も全順序でもない有向集合の例です。これは、すべてのペアに対して反対称性が破綻するためです。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$から等距離${\displaystyle x_{0},}$どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$反対側にある${\displaystyle x_{0}.}$具体的には、これは次のような場合に起こります。${\displaystyle \{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}}$本当の${\displaystyle r\neq 0,}$その場合${\displaystyle a\leq _{I}b}$そして${\displaystyle b\leq _{I}a}$それでも${\displaystyle a\neq b.}$この予約注文が定義されていたら${\displaystyle \mathbb {R} }$の代わりに$\displaystyle \mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$そうすれば、依然として有向集合を形成するが、今度は（唯一の）最大要素を持つことになる。具体的には${\displaystyle x_{0}}$しかし、それでも部分順序付けはされません。この例は距離空間に一般化できます。${\displaystyle (X,d)}$定義により${\displaystyle X}$または${\displaystyle X\setminus \left\{x_{0}\right\}}$予約注文${\displaystyle a\leq b}$かつその場合に限り$\displaystyle d\left(a,x_{0}\right)\geq d\left(b,x_{0}\right).$

要素${\displaystyle m}$予約注文したセットの${\displaystyle (I,\leq )}$は、すべての に対して であれば極大要素である。${\displaystyle j\in I,}$${\displaystyle m\leq j}$暗示する${\displaystyle j\leq m.}$^{[ b ]} すべての​${\displaystyle j\in I,}$${\displaystyle j\leq m.}$

最大要素を持つ任意の順序付き集合は、同じ順序を持つ有向集合である。例えば、半順序集合では${\displaystyle P,}$要素のすべての下閉包。つまり、形式のすべての部分集合。${\displaystyle \{a\in P:a\leq x\}}$どこ${\displaystyle x}$固定要素${\displaystyle P,}$指示されている。

順序付けられた集合は、最大要素の集合（空集合である可能性もある）が最大要素の集合と等しい場合に限り、方向性を持つ。

部分集合包含関係${\displaystyle \,\subseteq ,\,}$二重の${\displaystyle \,\supseteq ,\,}$任意の集合族に対して半順序を定義する。空でない集合族は、半順序に関して有向集合である。${\displaystyle \,\supseteq \,}$（それぞれ、${\displaystyle \,\subseteq \,}$) は、そのメンバーの任意の 2 つの共通部分 (または和集合) が、ある第 3 メンバーを部分集合として含む (または部分集合として含む) 場合に限ります。記号で表すと、ファミリーは${\displaystyle I}$集合の方向は${\displaystyle \,\supseteq \,}$（それぞれ、${\displaystyle \,\subseteq \,}$) の場合に限り

すべての人々のために${\displaystyle A,B\in I,}$いくつか存在する${\displaystyle C\in I}$そのため${\displaystyle A\supseteq C}$そして${\displaystyle B\supseteq C}$（それぞれ、${\displaystyle A\subseteq C}$そして${\displaystyle B\subseteq C}$）

または同等に、

すべての人々のために${\displaystyle A,B\in I,}$いくつか存在する${\displaystyle C\in I}$そのため${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$（それぞれ、${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$)

これらの半順序を用いて、有向集合の重要な例を数多く定義することができる。例えば、定義によれば、プリフィルタまたはフィルタ基底は、半順序に関して有向集合である空でない集合族である。${\displaystyle \,\supseteq \,}$また、空集合も含まない（この条件は自明性を防ぐ。そうでなければ、空集合はに関して最大​​の要素となるからである）。${\displaystyle \,\supseteq \,}$) πシステム(空でない集合族であり、そのメンバーの任意の 2 つの共通部分に関して閉じている) は、 に関して有向集合である。${\displaystyle \,\supseteq \,.}$すべてのλシステムは、${\displaystyle \,\subseteq \,.}$すべてのフィルター、トポロジー、およびσ代数は、両方に関して有向集合である。${\displaystyle \,\supseteq \,}$そして${\displaystyle \,\subseteq \,.}$

させて${\displaystyle S}$形式理論とは、特定の性質を持つ文の集合である（その詳細は、この主題に関する記事を参照）。例えば、${\displaystyle S}$一次理論（ツェルメロ・フレンケル集合論など）またはより単純な零次理論である可能性がある。前順序集合${\displaystyle (S,\Leftarrow )}$は有向集合です。${\displaystyle A,B\in S}$そしてもし${\displaystyle C:=A\wedge B}$論理結合によって形成された文を表す${\displaystyle \,\wedge ,\,}$それから${\displaystyle A\Leftarrow C}$そして${\displaystyle B\Leftarrow C}$どこ${\displaystyle C\in S.}$ もし${\displaystyle S/\sim }$は、リンデンバウム・タルスキー代数に関連付けられています。${\displaystyle S}$それから${\displaystyle \left(S/\sim ,\Leftarrow \right)}$これは、半順序集合であり、かつ有向集合でもある。

• ケリー、ジョン・L. (1975) [1955].一般位相幾何学.大学院数学テキスト. 第27巻 （第2 版）. ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-0-387-90125-1OCLC 1365153。​ 
• Gierz, G.; Hofmann, KH; Keimel, K.; Lawson, JD; Mislove, M.; Scott, DS (2003). Continuous Lattices and Domains . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511542725 . ISBN 9780511542725OCLC 7334257218。​