収束テスト

項の極限が未定義またはゼロでない場合、つまり${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ならば、級数は発散しなければなりません。この意味で、部分和がコーシー級数となるのは、この極限が存在し、それがゼロに等しい場合のみです。項の極限がゼロの場合、判定は不確定です。これは、n 項判定、発散判定、または発散判定とも呼ばれます。

これはダランベールの基準としても知られています。

2つの極限を考えてみましょう${\displaystyle \ell =\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$そして${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$。 もし${\displaystyle \ell >1}$の場合、級数は発散する。${\displaystyle L<1}$すると級数は絶対収束する。${\displaystyle \ell \leq 1\leq L}$この場合、テストは決定的なものではなく、級数は絶対収束、条件収束、または発散する可能性がある。

これはn乗根判定法またはコーシーの基準とも呼ばれます。

させて

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

どこ${\displaystyle \limsup }$上限を示す（おそらく）${\displaystyle \infty }$（制限が存在する場合は同じ値になります）。

r < 1の場合、級数は絶対収束します。r > 1 の場合、級数は発散します。r = 1 の場合、根判定は不確定であり、級数は収束または発散する可能性があります。

根判定法は比率判定法よりも強力である。比率判定法が無限級数の収束または発散を判定する場合、根判定法も同様に判定するが、その逆は成り立たない。^{[ 1 ]}

この級数は、収束または発散を判定するために積分と比較することができる。${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$非負かつ単調減少関数であり、${\displaystyle f(n)=a_{n}}$。 もし $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$$ すると級数は収束する。しかし、積分が発散すれば級数も発散する。言い換えれば、級数は${\displaystyle {a_{n}}}$収束するのは、積分が収束する場合に限る。

シリーズが${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$は絶対収束級数であり、${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$nが十分に大きい場合 、次のシリーズ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$完全に収束する。

もし${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}$（つまり、2 つの数列の各要素は正である）極限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$が存在し、有限かつゼロでない場合、両方の級数は収束するか、両方の級数は発散する。

させて${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$非負で増加しない数列とする。すると、和は${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$収束するのは、和が${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$収束する。さらに、収束すれば、${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$保持する。

以下の記述が真であると仮定します。

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$収束級数である。
2. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$は単調数列であり、
3. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$有界である。

それから${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$収束性も有する。

絶対収束する級数はすべて収束する。

以下の記述が真であると仮定します。

• ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$単調である、
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

それから${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$そして${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$これらは収束級数である。この判定法はライプニッツの基準としても知られている。

もし${\displaystyle \{a_{n}\}}$は実数の数列であり、${\displaystyle \{b_{n}\}}$複素数列が

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$すべての正の整数Nに対して

ここでMは定数であり、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

収束する。

シリーズ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$は、すべての に対して が収束する場合に限り収束する。${\displaystyle \varepsilon >0}$自然数Nが存在し、

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

n > Nおよびp ≥ 1のすべての場合に成り立つ。

させて ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$そして ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$は実数の2つの数列とする。${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$これは厳密に単調かつ発散する数列であり、次の極限が存在する。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$

そして、限界

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$

( f _n ) は集合A上で定義された実数値または複素数値関数の列であり、条件を満たす非負数の列 ( M _{n ) が存在すると仮定します。}

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$すべての人々のために${\displaystyle n\geq 1}$そしてすべて${\displaystyle x\in A}$、 そして
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$収束する。

そしてシリーズ

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

Aに絶対的かつ一様に収束する。

比率の極限が1の場合、比率テストは決定的な結論を出せない可能性がある。しかし、比率テストを拡張することで、このような場合に対処できる場合がある。

させて${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$を実数項を持つ無限級数とし、${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$は、${\displaystyle f(1/n)=a_{n}}$すべての正の整数nに対して、2 階微分${\displaystyle f''}$存在する${\displaystyle x=0}$。 それから${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$絶対収束する場合${\displaystyle f(0)=f'(0)=0}$それ以外の場合は分岐する。^{[ 8 ]}

• 特定の種類の級数には、より専門的な収束判定法があり、例えばフーリエ級数にはディニ判定法があります。