ネット（数学）

ネット${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$最終的にまたは残余的に セットに含まれると言われている${\displaystyle S}$もし存在するならば${\displaystyle a\in A}$すべての${\displaystyle b\in A}$と${\displaystyle b\geq a,}$要点${\displaystyle x_{b}\in S.}$ある点${\displaystyle x\in X}$と呼ばれる限界点またはネットの制限${\displaystyle x_{\bullet }}$で${\displaystyle X}$いつでも：

すべてのオープンな近隣地域${\displaystyle U}$の${\displaystyle x,}$ネット${\displaystyle x_{\bullet }}$最終的には${\displaystyle U}$、

同等に表現すると次のようになります。収束する${\displaystyle x}$または持っている${\displaystyle x}$限界として；また、以下のように様々に表記される：$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X.\end{alignedat}}}$$もし${\displaystyle X}$文脈から明らかであれば、表記から省略してもよい。

もし${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$そしてこの制限は一意である（つまり${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to y}$のみ${\displaystyle x=y}$）すると、次のように書く。$${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ または }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ または }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x}$$矢印の代わりに等号を使用する${\displaystyle \to .}$^{[ 4 ]}ハウスドルフ空間では、収束ネットの極限は一意である。 ^{[ 4 ]} 一部の著者は、表記法を区別していない。${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$そして${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$しかし、周囲の空間によっては曖昧さが生じる可能性がある${\displaystyle X}$ハウスドルフではない。

ネット${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$と言われている頻繁にまたは最終的に${\displaystyle S}$すべての${\displaystyle a\in A}$いくつか存在する${\displaystyle b\in A}$そのため${\displaystyle b\geq a}$そして${\displaystyle x_{b}\in S.}$^{[ 5 ]} 1点${\displaystyle x\in X}$と言われているネットの集積点またはクラスター点が${\displaystyle U}$の${\displaystyle x,}$ネットは頻繁に/最終的に${\displaystyle U.}$^{[ 5 ]}実際、${\displaystyle x\in X}$は、 に収束するサブネットを持つ場合に限り、クラスタポイントである。${\displaystyle x.}$^{[ 6 ]}セット${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\bullet }\right)}$すべてのクラスターポイントのうち${\displaystyle x_{\bullet }}$で${\displaystyle X}$に等しい${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$各${\displaystyle a\in A}$、 どこ${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$。

ネットにおける「部分列」に相当する概念は「サブネット」です。「サブネット」にはいくつかの異なる非等価な定義がありますが、この記事では1970年にStephen Willardによって導入された定義^{[ 7 ]}を使用します。それは次のとおりです。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$そして$\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ネットは$s_{\bullet }}$サブネットまたは​ウィラードサブネット^{[ 7 ]}${\displaystyle x_{\bullet }}$順序保存マップが存在する場合${\displaystyle h:I\to A}$そのため${\displaystyle h(I)}$は、の共終部分集合である。${\displaystyle A}$そして $$すべての i ∈ I に対して、s_{i}=x_{h(i)} が成り立つ。$$ 地図${\displaystyle h:I\to A}$は、 のとき、 が であるとき、順序保存性および順序準同型性を持つと呼ばれます。${\displaystyle i\leq j}$それから${\displaystyle h(i)\leq h(j).}$ セット${\displaystyle h(I)}$共同決勝進出${\displaystyle A}$は、すべての${\displaystyle a\in A,}$いくつか存在する${\displaystyle b\in h(I)}$そのため${\displaystyle b\geq a.}$

もし${\displaystyle x\in X}$あるサブネットのクラスタポイントです${\displaystyle x_{\bullet }}$それから${\displaystyle x}$また、クラスターポイントでもある${\displaystyle x_{\bullet }.}$^{[ 6 ]}

ネット${\displaystyle x_{\bullet }}$セット内${\displaystyle X}$と呼ばれるユニバーサルネットまたはウルトラネットは、すべての部分集合に対して${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$最終的には${\displaystyle S}$または${\displaystyle x_{\bullet }}$最終的には補集合の中にある${\displaystyle X\setminus S.}$^{[ 5 ]}

すべての定数ネットは（自明な）ウルトラネットである。ウルトラネットのすべてのサブネットはウルトラネットである。^{[ 8 ]}選択公理を仮定すると、すべてのネットにはウルトラネットであるサブネットが存在するが、非自明なウルトラネットは明示的に構築されたことはない。^{[ 5 ]} もし${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ウルトラネットは${\displaystyle X}$そして${\displaystyle f:X\to Y}$関数である場合${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ウルトラネットは${\displaystyle Y.}$^{[ 5 ]}

与えられた${\displaystyle x\in X,}$ウルトラネットクラスター${\displaystyle x}$収束する場合に限り${\displaystyle x.}$^{[ 5 ]}

コーシーネットは、コーシー列の概念を一様空間上で定義されたネットに一般化したものである。^{[ 9 ]}

ネット${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$はコーシーネットは、すべてのアントラージュに対して${\displaystyle V}$存在する${\displaystyle c\in A}$すべての${\displaystyle a,b\geq c,}$${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$のメンバーです${\displaystyle V.}$^{[ 9 ] [ 10 ]}より一般的には、コーシー空間、ネット${\displaystyle x_{\bullet }}$ネットによって生成されたフィルタがコーシーフィルタである場合、それはコーシーフィルタである。

位相ベクトル空間（TVS）は、すべてのコーシーネットが何らかの点に収束する場合に完全であると呼ばれる。位相ベクトル空間の特殊なタイプであるノルム空間は、すべてのコーシー列が何らかの点に収束する場合（この性質は列完全性と呼ばれる）に限り、完全TVS（同等にバナッハ空間）となる。ノルム空間の完全性を記述するのにコーシーネットは必要ないが、より一般的な（場合によってはノルム化できない）位相ベクトル空間の完全性を記述するにはコーシーネットが必要となる。

サブセット${\displaystyle S\subseteq X}$閉鎖中${\displaystyle X}$すべての限界点が${\displaystyle X}$ネットの${\displaystyle S}$必然的に${\displaystyle S}$具体的に言うと、もし${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ネットには${\displaystyle s_{a}\in S}$すべての人々のために${\displaystyle a\in A}$、 そして${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x}$で${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle x\in S.}$

より一般的に言えば、${\displaystyle S\subseteq X}$は任意の部分集合であり、${\displaystyle S}$点の集合${\displaystyle x\in X}$と${\displaystyle \lim _{a\in A}s_{\bullet }\to x}$一部のネット${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$で${\displaystyle S}$[ ^{6 ]​}

サブセット${\displaystyle S\subseteq X}$ネットがない場合に限りオープンします${\displaystyle X\setminus S}$収束して${\displaystyle S.}$^{[ 11 ]}また、部分集合${\displaystyle S\subseteq X}$は、すべてのネットが の要素に収束する場合に限り開いている。${\displaystyle S}$最終的には${\displaystyle S.}$ こうした「開集合」の特性によって、ネットワークはトポロジーを特徴づけることができる。集合が開集合であるのは、その補集合が閉集合である場合に限るため、トポロジーは閉集合によっても特徴づけることができる。したがって、ネットワークにおける「閉集合」の特性は、トポロジーを特徴づけるためにも利用できる。

関数${\displaystyle f:X\to Y}$位相空間間の連続性は一点で成り立つ${\displaystyle x}$すべてのネットに対して${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ドメインでは、${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$で${\displaystyle X}$暗示する${\displaystyle \lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$で${\displaystyle Y.}$^{[ 6 ]} 簡単に言うと、関数${\displaystyle f:X\to Y}$連続であるのは、${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$で${\displaystyle X}$暗示する${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$で${\displaystyle Y.}$ 一般的に、「ネット」という単語を「シーケンス」に置き換えると、この記述は正しくなくなります。つまり、自然数以外の有向集合も考慮する必要があります。${\displaystyle X}$第一可算空間ではない（または順次空間ではない）。

スペース${\displaystyle X}$コンパクトであるのは、すべてのネットがコンパクトである場合に限る。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$で${\displaystyle X}$制限のあるサブネットがあります${\displaystyle X.}$これは、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの定理の一般化と見なすことができる。

ネットのクラスタ点の集合は、その収束するサブネットワークの境界の集合と等しい。

ネットワークに制限が存在するのは、そのすべてのサブネットに制限が存在する場合に限る。この場合、ネットワークのすべての制限は、すべてのサブネットの制限でもある。

一般的に、空間内のネット${\displaystyle X}$複数の制限を持つことができますが、${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間であれば、ネットの極限は存在する場合、一意である。逆に、${\displaystyle X}$ハウスドルフでないならば、ネットが存在する${\displaystyle X}$2つの異なる極限を持つ。したがって、極限の一意性は空間上のハウスドルフ条件と同等であり、実際、これを定義とみなすこともできる。この結果は方向性条件に依存する。一般的な前順序または半順序でインデックス付けされた集合は、ハウスドルフ空間であっても異なる極限点を持つ可能性がある。

セットの場合${\displaystyle S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$によって誘導される部分空間トポロジーが備わっている。${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$で${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$で${\displaystyle S.}$このように、ネットが${\displaystyle x_{\bullet }}$与えられた点に収束する${\displaystyle x}$この位相部分空間にのみ依存する${\displaystyle S}$から構成される${\displaystyle x}$そしてネットの画像（つまりネットの点）${\displaystyle x_{\bullet }.}$

直感的に言えば、ネットの収束は${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$値${\displaystyle x_{a}}$来て、私たちが望む限り近くに滞在してください${\displaystyle x}$十分に大きい${\displaystyle a.}$ある点が与えられた場合${\displaystyle x}$位相空間において、${\displaystyle N_{x}}$を含むすべての近隣の集合を表す${\displaystyle x.}$それから${\displaystyle N_{x}}$は有向集合であり、方向は逆包含によって与えられるので、${\displaystyle S\geq T}$かつその場合に限り${\displaystyle S}$に含まれる${\displaystyle T.}$のために${\displaystyle S\in N_{x},}$させて${\displaystyle x_{S}}$ポイントになる${\displaystyle S.}$それから${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$ネットです。${\displaystyle S}$に関して増加する${\displaystyle \,\geq ,}$ポイント${\displaystyle x_{S}}$ネット内の要素は、減少する近傍に存在するように制約されている。${\displaystyle x,}$したがって、点のこの近傍システムでは${\displaystyle x}$、${\displaystyle x_{S}}$実際に収束する${\displaystyle x}$正味収束の定義によれば。

サブベースが与えられた場合${\displaystyle {\mathcal {B}}}$トポロジーについては${\displaystyle X}$（ここで、位相のすべての基底は部分基底でもあることに注意してください）そして、ある点が与えられたとき${\displaystyle x\in X,}$ネット${\displaystyle x_{\bullet }}$で${\displaystyle X}$収束して${\displaystyle x}$最終的にすべての地域に広がる場合に限り${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$の${\displaystyle x.}$この特徴付けは、与えられた点の近傍サブベース（したがって近傍ベースも）にまで及ぶ。${\displaystyle x.}$

積空間におけるネットが極限を持つのは、各射影が極限を持つ場合かつその場合に限る。

具体的には、${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$位相空間であり、それらのデカルト積を与える$${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$積トポロジー を持ち、すべてのインデックスに対して${\displaystyle l\in I,}$を正準射影とします${\displaystyle X_{l}}$による $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}}$$

させて${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$ネットになる${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$監督${\displaystyle A}$そして各インデックスについて${\displaystyle i\in I,}$させて $${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$ 「差し込む」の結果を示す${\displaystyle f_{\bullet }}$の中へ${\displaystyle \pi _{i}}$結果として正味${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$この定義を関数合成の 観点から考えると便利な場合がある。${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ネットの構成に等しい${\displaystyle f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$投影と共に${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};}$つまり、${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

任意の点において${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ネット${\displaystyle f_{\bullet }}$収束して${\displaystyle L}$製品分野で${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$すべてのインデックスに対して${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$収束して${\displaystyle L_{i}}$で${\displaystyle X_{i}.}$^{[ 15 ]} そしてネットが${\displaystyle f_{\bullet }}$クラスターは${\displaystyle L}$で${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$それから${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$クラスターは${\displaystyle L_{i}}$すべてのインデックスについて${\displaystyle i\in I.}$^{[ 8 ]}しかし、一般に逆は成り立たない。 ^{[ 8 ]}例えば、${\displaystyle X_{1}=X_{2}=\mathbb {R} }$そして${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }}$数列を表す${\displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots }$交互に${\displaystyle (1,1)}$そして${\displaystyle (0,0).}$それから${\displaystyle L_{1}:=0}$そして${\displaystyle L_{2}:=1}$両方のクラスターポイントです${\displaystyle \pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)}$そして${\displaystyle \pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)}$で${\displaystyle X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$しかし${\displaystyle \left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)}$クラスターポイントではありません${\displaystyle f_{\bullet }}$半径の開いた球${\displaystyle 1}$中心は${\displaystyle (0,1)}$1点も含まれていない${\displaystyle f_{\bullet }}$

いいえの場合${\displaystyle L\in X}$が与えられますが、すべての${\displaystyle i\in I,}$いくつか存在する${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$そのため${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$で${\displaystyle X_{i}}$次に、タプルは次のように定義されます。${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$制限があります${\displaystyle f_{\bullet }}$で${\displaystyle X.}$ しかし、このタプルが${\displaystyle L}$が存在する。選択公理は、次のような状況では必要ない。${\displaystyle I}$有限であるか、またはすべての${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ネットの唯一の制限${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$（そうすれば選択肢がなくなるため）これは、例えば、すべての${\displaystyle X_{i}}$はハウスドルフ空間である。${\displaystyle I}$無限であり${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}}$が空でないならば、選択公理は（一般に）射影が${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}}$これらは全射写像です。

選択公理は、任意のコンパクト位相空間の集合の積がコンパクトであることを述べるチコノフの定理と同等です。しかし、すべてのコンパクト空間がハウスドルフ空間でもある場合、代わりにいわゆる「コンパクトハウスドルフ空間に対するチコノフの定理」を使用できます。これは超フィルター補題と同等であり、選択公理よりも厳密に弱いものです。ネットを使用すると、上記のネット収束の特徴付けと、すべてのネットが収束する部分空間を持つ場合に限り空間がコンパクトであるという事実を組み合わせることで、チコノフの定理のどちらのバージョンについても簡潔な証明を与えることができます。

実数のネットの上限と下限は、数列の場合と同様の方法で定義できます。 ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}一部の著者は、完全格子のような実数直線よりも一般的な構造を扱っています。^{[ 19 ]}

ネットの場合${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$置く $${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$$

実数のネットの上限極限は、数列の場合と類似した多くの性質を持つ。例えば、 $${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$$ 等号は、いずれかのネットが収束する場合に常に成立する。

リーマン積分の値の定義は、リーマン和のネットワークの極限として解釈することができ、そのネットワークの有向集合は、積分区間のすべての分割の集合であり、包含関係によって部分的に順序付けられている。

仮定する${\displaystyle (M,d)}$は距離空間（または擬距離空間）であり、${\displaystyle M}$は距離位相を備えている。${\displaystyle m\in M}$ポイントであり${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{a\in A}}$ネットの場合、${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$で${\displaystyle (M,d)}$かつその場合に限り${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right)\to 0}$で${\displaystyle \mathbb {R} ,}$どこ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right):=\left(d\left(m,m_{a}\right)\right)_{a\in A}}$は実数のネットです。平易な言葉で言えば、この特徴付けは、ネットが距離空間内の点に収束するのは、ネットと点の間の距離がゼロに収束する場合に限る、ということです。${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$がノルム空間（または半ノルム空間）である場合${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$で${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$かつその場合に限り${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|\to 0}$で${\displaystyle \mathbb {R} ,}$どこ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|m-m_{a}\right\|\right)_{a\in A}.}$

もし${\displaystyle (M,d)}$少なくとも2つの点がある場合、点を固定できます${\displaystyle c\in M}$（のような${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{n}}$ユークリッド距離で${\displaystyle c:=0}$例えば、原点である）セットを方向付ける${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$逆は距離に応じて${\displaystyle c}$宣言することによって${\displaystyle i\leq j}$かつその場合に限り${\displaystyle d(j,c)\leq d(i,c).}$言い換えれば、関係は「少なくとも同じ距離を持つ」${\displaystyle c}$したがって、この関係に関して「十分に大きい」とは「十分に近い」という意味になります。${\displaystyle c}$. 定義域が与えられた任意の関数${\displaystyle M,}$その制限は${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$は、正統的に、方向付けられたネットとして解釈できる。${\displaystyle (I,\leq ).}$^{[ 8 ]}

ネット${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$最終的にはサブセットに含まれる${\displaystyle S}$位相空間の${\displaystyle X}$存在する場合に限り、${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$すべての${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$満足${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c),}$要点${\displaystyle f(m)}$は${\displaystyle S.}$ このようなネット${\displaystyle f}$収束する${\displaystyle X}$ある地点まで${\displaystyle L\in X}$かつその場合に限り${\displaystyle \lim _{m\to c}f(m)\to L}$通常の意味では（つまり、どの地域でも）${\displaystyle V}$の${\displaystyle L,}$${\displaystyle f}$最終的には${\displaystyle V}$[ ^{8 ]​}

ネット${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$サブセットに頻繁に含まれる${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$すべての${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$いくつか存在する${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$と${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c)}$そのため${\displaystyle f(m)}$は${\displaystyle S.}$ したがって、ポイント${\displaystyle L\in X}$はネットワークのクラスターポイントです${\displaystyle f}$すべての近隣について${\displaystyle V}$の${\displaystyle L,}$ネットは頻繁に${\displaystyle V.}$

整列集合を考える${\displaystyle [0,c]}$制限点付き${\displaystyle t}$そして関数${\displaystyle f}$から${\displaystyle [0,t)}$位相空間へ${\displaystyle X.}$この関数はネットです${\displaystyle [0,t).}$

最終的にはサブセットになります${\displaystyle V}$の${\displaystyle X}$存在する場合${\displaystyle r\in [0,t)}$すべての${\displaystyle s\in [r,t)}$要点${\displaystyle f(s)}$は${\displaystyle V.}$

それで${\displaystyle \lim _{x\to t}f(x)\to L}$すべての近隣について${\displaystyle V}$の${\displaystyle L,}$${\displaystyle f}$最終的には${\displaystyle V.}$

ネット${\displaystyle f}$サブセットに頻繁に含まれる${\displaystyle V}$の${\displaystyle X}$すべての${\displaystyle r\in [0,t)}$いくつか存在する${\displaystyle s\in [r,t)}$そのため${\displaystyle f(s)\in V.}$

ある点${\displaystyle y\in X}$はネットワークのクラスターポイントです${\displaystyle f}$すべての近隣について${\displaystyle V}$の${\displaystyle y,}$ネットは頻繁に${\displaystyle V.}$

最初の例は、この特殊なケースで、${\displaystyle c=\omega .}$

順序インデックス付きシーケンスも参照してください。