セミノルム

数学、特に関数解析において、半ノルムは正定値である必要のないノルムです。半ノルムは凸集合と密接に関係しています。すべての半ノルムは何らかの吸収円板のミンコフスキー関数であり、逆に、そのような集合のミンコフスキー関数は半ノルムです。

位相ベクトル空間が局所的に凸となるのは、その位相が半ノルムの族によって誘導される場合のみです。

を実数または複素数上のベクトル空間とします。実数値関数は、 次の 2 つの条件を満たす場合、 半ノルムと呼ばれます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. 劣加法性^[1] /三角不等式：すべての${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$
2. 絶対同次性：^[1] すべてのおよびすべてのスカラーに対して${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s.}$

これら2つの条件は、^[証明1]を意味し、すべての半ノルムには次の性質もある: ^[証明2]${\displaystyle p(0)=0}$${\displaystyle p}$

3. 非負性：^[1] すべての${\displaystyle p(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in X.}$

一部の著者は、非負性を「セミノルム」（場合によっては「ノルム」）の定義の一部として含めていますが、これは他の 2 つの特性から導かれるため必須ではありません。

定義により、上のノルムは点を分離する半ノルムであり、次の追加のプロパティを持つことを意味します。 ${\displaystyle X}$

4. 正定値/ 正^[1] /点分離:が を満たすいつでも${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle p(x)=0,}$${\displaystyle x=0.}$

あ半ノルム空間は、ベクトル空間と半ノルムペアです。半ノルムがノルムでもある場合、半ノルム空間はノルム空間と呼ばれます。 ${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (X,p)}$

絶対同次性は正同次性を意味するので、すべての半ノルムは部分線型関数と呼ばれるタイプの関数です。写像は、劣加法かつ正同次である場合に部分線型関数と呼ばれます。半ノルムとは異なり、部分線型関数は必ずしも非負ではありません。部分線型関数は、ハーン・バナッハの定理の文脈でよく見られます。実数値関数は、部分線型かつ平衡関数である場合に限り、半ノルムです。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

• 上の定数写像を参照する上の自明な半ノルムは、上の非離散位相を誘導する。${\displaystyle X,}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$
• を空間 上の測度とします。任意の定数 に対して、が 存在し、 が有限であるすべての関数の集合を とします。はベクトル空間であり、汎関数 は上の半ノルムであること が示されます。しかし、は常に を意味するわけではないため、常にノルムになるわけではありません (たとえば、 および がルベーグ測度である場合) 。ノルムを作成するには、を持つ関数の閉部分空間でを商します。結果として得られる空間 は、によって誘導されるノルムを持ちます。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle c\geq 1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$$${\displaystyle \lVert f\rVert _{c}:=\left(\int _{\Omega }|f|^{c}\,d\mu \right)^{1/c}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$${\displaystyle h=0}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$${\displaystyle L^{c}(\mu )}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$
• がベクトル空間上の任意の線型形式である場合、によって定義されるその絶対値は半ノルムです。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|,}$${\displaystyle x\mapsto |f(x)|,}$
• 実ベクトル空間上の部分線形関数 が半ノルムとなるのは、それが対称関数である場合のみであり、これはすべての${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$${\displaystyle x\in X.}$
• 実ベクトル空間上のすべての実数値サブ線形関数は、 ^[2]で定義される半ノルムを誘導する。${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.}$
• 半ノルムの有限和はいずれも半ノルムです。半ノルム（またはノルム）をベクトル部分空間に制限すると、これもまた半ノルム（またはノルム）になります。
• とがそれぞれ上の半ノルム（それぞれノルム）であり、によって定義される写像は上の半ノルム（それぞれノルム）である。特に、とによって定義される上の写像は両方とも上の半ノルムである。${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle r:X\times Y\to \mathbb {R} }$${\displaystyle r(x,y)=p(x)+q(y)}$${\displaystyle X\times Y.}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle (x,y)\mapsto p(x)}$${\displaystyle (x,y)\mapsto q(y)}$${\displaystyle X\times Y.}$
• およびが上の半ノルムであるならば 、^[3]および^[4]も半ノルムである。${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}}$$$${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}}$$${\displaystyle p\wedge q\leq p}$${\displaystyle p\wedge q\leq q.}$
• 上の半ノルム空間は、一般に上記の演算に関して分配格子で はない。例えば、 上の は、${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle p(x,y):=\max(|x|,|y|),q(x,y):=2|x|,r(x,y):=2|y|}$$${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (p\vee r))(x,y)=\inf\{\max(2|x_{1}|,|y_{1}|)+\max(|x_{2}|,2|y_{2}|):x=x_{1}+x_{2}{\text{ and }}y=y_{1}+y_{2}\}}$$${\displaystyle (p\vee q\wedge r)(x,y):=\max(|x|,|y|)}$
• が線型写像でが上の半ノルムである場合、は 上の半ノルムである。が単射で、制限が上のノルムである場合に限り、半ノルムは 上のノルムとなる。${\displaystyle L:X\to Y}$${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle q\circ L:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle q\circ L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle q{\big \vert }_{L(X)}}$${\displaystyle L(X).}$

ベクトル空間上の半ノルムは、ミンコフスキー関数を介して、凸、バランス、吸収であるのサブセットに密接に結びついています。のミンコフスキー関数のそのようなサブセットが与えられた場合、 は半ノルムです。逆に、集合と上の半ノルムが凸、バランス、吸収であり、さらに、これら 2 つの集合 (および「それらの間」にある任意の集合) のミンコフスキー関数は^[5]です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$${\displaystyle p.}$

全ての半ノルムは部分線形関数であり、したがって凸性を含む部分線形関数のすべての性質を満たし、全てのベクトルに対して逆三角不等式：^{[2] [6]} および ^{[2] [6]}も満たす。${\displaystyle p(0)=0,}$${\displaystyle x,y\in X}$ $${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y)}$$${\textstyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$

任意のベクトルと正の実数^[7]に対して 、さらに^[3]の吸収円板である。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r>0:}$ $${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(x-y)<r\}}$$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle X.}$

が実ベクトル空間上の部分線型関数である場合、上の線型関数が存在し、 ^{[6] を}満たす。さらに、 上の任意の線型関数に対して、を満たすことが、^{[6] を満たすことに限る。}${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g\leq p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

半ノルムのその他の性質

すべての半ノルムはバランスのとれた関数です。半ノルムは、非自明なベクトル部分空間を含まない 場合にのみ、上のノルムになります。${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

が上の半ノルムである場合、は のベクトル部分空間であり、任意の に対して は集合上の定数であり、 に等しい^{[証明 3]}${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ker p:=p^{-1}(0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle x+\ker p=\{x+k:p(k)=0\}}$${\displaystyle p(x).}$

さらに、任意の実数^[3]${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}.}$$

がを満たす集合である場合、はに吸収され、はに関連付けられたミンコフスキー関数（つまり のゲージ）を表します。^[5]特に、が上記と同じであり が上の任意の半ノルムである場合、 であることは^{[5]に限ります。}${\displaystyle D}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p=p_{D}}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle q=p}$${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.}$

がノルム空間である場合、区間^[8]内のすべての${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|}$${\displaystyle z}$${\displaystyle [x,y].}$

すべてのノルムは凸関数であるため、ノルムベースの目的関数のグローバル最大値を見つけることは、時には扱いやすい場合があります。

を非負関数と します。以下は同等です。${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$半正規分布です。
2. ${\displaystyle p}$は凸半 ノルムです。${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle p}$は凸バランスのとれたG半正規分布である。^[9]

上記の条件のいずれかが満たされる場合、以下は同等です。

1. ${\displaystyle p}$標準です。
2. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$非自明なベクトル部分空間を含まない。^[10]
3. に関して、 は有界である、という規範が存在する。${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

が実ベクトル空間上の部分線形関数である場合、以下は同値である：^[6]${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$は線形関数です。
2. ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0{\text{ for every }}x\in X}$;
3. ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0{\text{ for every }}x\in X}$;

が半ノルムである場合、次のようになります。 ${\displaystyle p,q:X\to [0,\infty )}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle p\leq q}$が成り立つ場合のみ^[11]${\displaystyle q(x)\leq 1}$${\displaystyle p(x)\leq 1.}$
• およびが成り立つ場合、すべての^[12]に対して成り立つ。${\displaystyle a>0}$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle p(x)<a}$${\displaystyle q(x)\leq b,}$${\displaystyle aq(x)\leq bp(x)}$${\displaystyle x\in X.}$
• およびが正の実数であり、任意のに対してとなる半ノルムであるとすると、^[10]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \max\{p_{1}(x),\ldots ,p_{n}(x)\}<a}$${\displaystyle q(x)<b.}$${\displaystyle aq\leq b\left(p_{1}+\cdots +p_{n}\right).}$
• が実数上のベクトル空間であり、が上の非零線形関数である場合、次の式が成り立つ。[ ^11]${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}.}$

が 上の半ノルムであり、が 上の線型汎関数である場合、次のようになります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle |f|\leq p}$オンの場合に限りオンとなる（証明については脚注を参照）。^{[13] [14]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq p}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle f\leq p}$の場合に限り^{[6] [11]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.}$
• およびが成り立つ場合、すべての^[12]に対して成り立つ。${\displaystyle a>0}$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle p(x)<a}$${\displaystyle f(x)\neq b,}$${\displaystyle a|f(x)|\leq bp(x)}$${\displaystyle x\in X.}$

セミノルムはハーン・バナッハの定理を特に明確に定式化します。

が半ノルム空間のベクトル部分空間であり、が上の連続線型関数である場合、は^[15]と同じノルムを持つ上の連続線型関数に拡張できる。${\displaystyle M}$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f.}$

同様の拡張特性は半ノルムにも当てはまります。

証明:を の凸包とすると はの吸収円板となり、したがってのミンコフスキー汎関数はの半ノルムとなる。この半ノルムはおよびを満足する。${\displaystyle S}$${\displaystyle \{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle p=P}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P\leq q}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

上の半ノルムは、標準的な並進不変擬計量を介して、半ノルム誘導位相と呼ばれる位相を誘導します。この位相は、 が計量である場合に限りハウスドルフ であり、計量はがノルムである場合に限り発生します。^[4] この位相により、 は、原点の有界近傍と、原点を中心とする次の開球 (または閉球) で構成される原点における 近傍基底を持つ、局所凸擬計量可能位相ベクトル空間になります。 は、正の実数上の範囲 です。特に断りのない限り、すべての半ノルム空間はこの位相を備えていると仮定する必要があります。何らかの半ノルムによって位相が誘導される位相ベクトル空間は、半ノルム可能と呼ばれます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{p}:X\times X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle d_{p}(x,y):=p(x-y)=p(y-x).}$${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}\quad {\text{ or }}\quad \{x\in X:p(x)\leq r\}}$$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (X,p)}$

同様に、半ノルムを持つすべてのベクトル空間は、ベクトル空間商を誘導します。ここで、は、を持つすべてのベクトルからなる部分空間です。そして、は、によって定義されるノルムを持ちます 。結果として得られる位相は、によって誘導される位相とまったく同じです。${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X/W,}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle p(x)=0.}$${\displaystyle X/W}$${\displaystyle p(x+W)=p(x).}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p.}$

任意の半ノルム誘導位相は、次のように局所的に凸となる。が 上の半ノルムである場合、集合を原点 の周りの半径 の開球と呼ぶ。同様に、半径 の閉球は である。原点におけるすべての開（または閉） -球の集合は、上の -位相で開（または閉）である凸均衡集合の近傍基底を形成する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle X.}$

より強い半ノルムとより弱い半ノルムの概念は、より強いノルムとより弱いノルムの概念に似ています。とが上の半ノルムである場合、次の同値な条件のいずれかが成立する場合、 はよりも強く、 はよりも弱いと言えます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

1. によって誘導される位相は、によって誘導される位相よりも細かい。${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p.}$
2. が内のシーケンスである場合、内のシーケンスは^[4]内のシーケンスを意味する。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
3. が のネットである場合、はを意味する。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
4. ${\displaystyle p}$^は[4]で制限される${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}.}$
5. ならば、すべての^[4]${\displaystyle \inf {}\{q(x):p(x)=1,x\in X\}=0}$${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle x\in X.}$
6. ^[4]となる実数が存在する。${\displaystyle K>0}$${\displaystyle p\leq Kq}$${\displaystyle X.}$

半ノルムとが同等であるとは、両方が互いより弱い（または両方が強い）場合です。これは、これらが以下の条件のいずれかを満たす場合に発生します。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

1. によって誘導される位相は、によって誘導される位相と同じである。${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p.}$
2. ${\displaystyle q}$はより強く、はより強い^[4]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q.}$
3. がシーケンスである場合、${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0.}$
4. 正の実数が存在し、${\displaystyle r>0}$${\displaystyle R>0}$${\displaystyle rq\leq p\leq Rq.}$

位相ベクトル空間（TVS）は、半正規空間（それぞれ、ノルム可能空間) とは、その位相が単一の半ノルム (または単一のノルム) によって誘導される場合に限ります。TVS がノルム可能であるのは、半ノルム可能かつハウスドルフである場合、または同等に、半ノルム可能かつT ₁である場合に限ります (TVS がハウスドルフであるためには、 T ₁空間である場合に限ります)。局所的に有界な位相ベクトル空間は、原点の有界な近傍を持つ位相ベクトル空間です。

位相ベクトル空間の正規可能性は、コルモゴロフの正規可能性基準によって特徴付けられる。TVS が半正規化可能であるのは、原点の凸有界近傍を持つ場合のみである。^[17] したがって、局所凸TVS が半正規化可能であるのは、空でない有界開集合を持つ場合のみである。^{[18] TVS が正規化可能であるのは、} T ₁空間 であり、原点の有界凸近傍を許容する場合のみである。

がハウスドルフ局所凸TVS である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$規範的です。
2. ${\displaystyle X}$半正規化可能である。
3. ${\displaystyle X}$原点の有界近傍を持ちます。
4. の強い双対 は規範可能である。^[19]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X}$
5. の強い双対は計量化可能である。^[19]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X}$

さらに、が有限次元であるためには、 がノルム可能である必要があります (ここで は弱*位相を備えていることを示します)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

無限個の半正規空間の積が再び半正規となるのは、有限個を除くすべての空間が自明（つまり0次元）である場合に限ります。^[18]

• がTVSで、が上の連続半ノルムである場合、におけるの閉包は^[3]に等しい。${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$
• 連続半ノルム族によって位相が定義される局所凸空間におけるの閉包は^[11]に等しい。${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$
• 半ノルム空間の部分集合が有界となるのは、それが有界となる場合のみである。^[20]${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle p(S)}$
• が半ノルム空間である場合、を誘導する局所凸位相は、すべてのに対して で与えられる標準擬似距離を持つ擬似距離化可能なTVSになる[ ^21]。${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$
• 無限個の半正規空間の積が再び半正規空間となるのは、有限個を除くすべての空間が自明（つまり0次元）である場合に限ります。^[18]

が位相ベクトル空間上の半ノルムである場合、以下は同値である: ^[5]${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle p}$連続的です。
2. ${\displaystyle p}$0で連続である。^[3]
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$はで開かれます; ^[3]${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$は0の閉近傍である; ^[3]${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle p}$は一様連続である。^[3]${\displaystyle X}$
6. 連続半ノルムが存在し、[ ^3]${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\leq q.}$

特に、が半ノルム空間である場合、上の半ノルムが連続であるためには、が^[3]の正のスカラー倍数によって支配される必要がある。${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p.}$

が実TVSで、が上の線型汎関数であり、が上の連続半ノルム（またはより一般的には部分線型関数）である場合、上ではが連続であることを意味する。^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

が半ノルム空間間の写像であるならば、 ^[15]${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$ $${\displaystyle \|F\|_{p,q}:=\sup\{q(F(x)):p(x)\leq 1,x\in X\}.}$$

が半ノルム空間間の線型写像である 場合、以下は同値です。${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$

1. ${\displaystyle F}$連続している。
2. ${\displaystyle \|F\|_{p,q}<\infty }$; ^[15]
3. となる実数が存在する。^[15]${\displaystyle K\geq 0}$${\displaystyle p\leq Kq}$
   • この場合、${\displaystyle \|F\|_{p,q}\leq K.}$

が連続であれば、すべての^[15]${\displaystyle F}$${\displaystyle q(F(x))\leq \|F\|_{p,q}p(x)}$${\displaystyle x\in X.}$

半ノルム空間間の連続線型写像全体の成す空間は、半ノルムの下ではそれ自体が半ノルム空間である。 この半ノルムは、がノルムであればノルムである。^[15]${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$${\displaystyle \|F\|_{p,q}.}$${\displaystyle q}$

合成代数におけるノルムの概念は、ノルムの通常の特性とは一致しませ ん。

合成代数は、体上の代数、反転、および「ノルム」と呼ばれる2 次形式で構成されます。多くの場合、 は等方性 2 次形式であるため、 は少なくとも 1 つのヌル ベクトルを持ちます。これは、この記事で説明する通常のノルムに必要な点の分離とは対照的です。 ${\displaystyle (A,*,N)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \,*,}$ ${\displaystyle N,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle A}$