点ごとの収束

数学において、点収束とは、関数の列が特定の関数に収束するさまざまな意味の1つです。これは、よく比較される一様収束よりも弱いものです。 ^{[1] [2]}

が集合で、が位相空間、例えば実数や複素数、距離空間であるとする。同じ定義域と共存域を持つ関数の列は、与えられた関数に点ごとに収束すると言われ、の定義域の各点で評価される列の極限が に等しい 場合（そしてその場合のみ）と表記されることが多い 。 関数はの点ごとの極限関数と呼ばれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{pointwise}}}$$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle \forall x\in X.\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(f_{n}\right).}$

定義は、シーケンスからネット に簡単に一般化できます。 は、 のドメイン内の各点で評価されるネットの唯一の集積点である場合に限り、 と書き表さ れ、 に点ごとに収束すると言います 。 は、のドメイン内の各点で評価されるネットの唯一の集積点である場合に限り、 と書き表されます。 ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle f_{\bullet}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{a\in A}f_{a}=f\ {\mbox{pointwise}}}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{\bullet }(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \forall x\in X.\lim _{a\in A}f_{a}(x)=f(x).}$$

時々、定数が存在する場合に 、著者は有界点収束という 用語を使用する 。^[3]${\displaystyle C}$${\displaystyle \forall n,x,\;|f_{n}(x)|<C}$

この概念は、一様収束と対比されることが多いです。 ということは、 が との共通定義域であり 、が上限を表すこと を意味します 。 これは、点収束の主張よりも強い主張です。すべての一様収束する列は同じ極限関数に対して点収束しますが、点収束する列の中には一様収束しないものもあります。 たとえば、がによって定義される関数の列である場合、区間 に対して点収束しますが、一様収束ではありません。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{一様}}}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in A\,\}=0,}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \sup}$${\displaystyle f_{n}:[0,1)\to [0,1)}$${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n},}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}$${\displaystyle [0,1),}$

連続関数の列の点ごとの極限は不連続関数になることがあります。ただし、収束が一様でない場合に限られます。たとえば、 が整数のときは、 が整数でないときは の 値を取り、したがって はすべての整数で不連続になります。 $${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }\cos(\pi x)^{2n}}$$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$

関数の値は実数である必要はなく、任意の位相空間内の値であってもよく、その場合、点ごとの収束の概念は意味を持ちます。一方、一様収束は、一般に位相空間 内の値を取る関数に対しては意味を持ちませんが、計量空間内の値を取る関数、およびより一般的には一様空間内の値を取る関数に対しては意味を持ちます。 ${\displaystyle f_{n}}$

ある与えられた集合からある位相空間へのすべての関数の集合を と表すとしよう。位相空間のカテゴリの特徴付け に関する記事で述べたように、特定の条件が満たされれば、ネットが収束するかしないかという点で集合上の一意の位相を定義することが可能である。点ごとの収束の定義はこれらの条件を満たしており、したがって と呼ばれる位相を誘導する。${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$形式 A のすべての関数の集合上の点収束の位相。 の ネットがこの位相で収束するのは、点収束する場合に限ります。 ${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X\to Y.}$${\displaystyle Y^{X}}$

点ごとの収束の位相は、が定義域でが余領域である空間上の積位相における収束と同じである。明示的には、が何らかの集合から何らかの位相空間への関数の集合である場合、点ごとの収束の位相は、が定義される標準包含写像を介してこの直積の部分集合として識別される ときに積空間から継承する部分空間位相に等しい。${\displaystyle Y^{X},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to \prod _{x\in X}Y}$${\displaystyle f\mapsto (f(x))_{x\in X}.}$

余域がコンパクトであれば、チコノフの定理により、空間もコンパクトになります。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{X}}$

測度論では、測定可能な空間上で定義された測定可能な関数 の列がほぼどこでも収束することについて論じます。つまり、補集合が測度ゼロである領域の部分集合上で、ほぼどこでも点ごとに収束することを意味します。エゴロフの定理によれば、有限測度の集合上でほぼどこでも点ごとに収束することは、それよりわずかに小さい集合上で一様収束することを意味します。

測度空間上の関数の空間における点ごとの収束は、測度空間上の測定可能な関数の空間上の位相構造をほとんどどこでも定義しません（収束構造ではありますが）。位相空間では、シーケンスのすべての部分列に同じ後続極限を持つ部分列がある場合、シーケンス自体はその極限に収束する必要があります。

しかし、いわゆる「ギャロッピング長方形」関数のシーケンスを考えてみましょう。これは、床関数letとmodとletを 使用して定義されます。${\displaystyle N=\operatorname {floor} \left(\log _{2}n\right)}$${\displaystyle k=n}$ ${\displaystyle 2^{N},}$$${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\frac {k}{2^{N}}}\leq x\leq {\frac {k+1}{2^{N}}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

すると、数列の任意の部分列には、それ自体がほぼどこでもゼロに収束する部分部分列が存在します。たとえば、 で消えない関数の部分列です。しかし、元の数列が点ごとにゼロに収束する点はありません。したがって、測度での収束やでの収束とは異なり、ほぼどこでも点ごとの収束は、関数の空間上の任意の位相の収束ではありません。 ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n}}$${\displaystyle x=0.}$${\displaystyle L^{p}}$

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