ムカデゲーム

ゲーム理論において、ムカデゲームは、 1981年にロバート・ローゼンタールが初めて提唱したもので、 2人のプレイヤーが交互に増え続けるポットの少しだけ大きな分け前を取るか、ポットを他のプレイヤーに渡すかを選択する拡張形式のゲームです。一方がポットを相手に渡し、相手が次のラウンドでポットを取った場合、このラウンドでポットを取った場合よりも受け取る金額が少し少なくなりますが、さらに切り替えを行うと、潜在的な報酬は高くなります。したがって、各ラウンドでプレイヤーはポットを取るインセンティブがありますが、待つ方がよいでしょう。従来のムカデゲームは100ラウンドの制限がありましたが（これが名前の由来です）、この構造でラウンド数が異なるゲームはすべてムカデゲームと呼ばれます。

これらのゲームの唯一の部分ゲーム完全均衡（およびすべてのナッシュ均衡）により、最初のプレイヤーがゲームの第 1 ラウンドでポットを獲得することになります。ただし、実証的なテストでは、比較的少数のプレイヤーのみがポットを獲得し、結果として、部分ゲーム完全均衡やナッシュ均衡よりも高い報酬を得ています。これらの結果は、部分ゲーム完全均衡とナッシュ均衡では、状況によっては人間のプレイを予測できないことを示しています。ムカデ ゲームは、ゲーム理論の入門コースやテキストで、ゲームの標準的な解法である 後方帰納法と支配戦略の反復消去法の概念を強調するためによく使用されます。

ムカデゲームの 1 つのバージョンは次のようにプレイできます。

2 人のプレイヤー、アリスとボブを考えてみましょう。アリスが最初に動きます。ゲームの開始時に、アリスの前に 2 つのコインの山があります。1 つの山には 4 枚のコインがあり、もう 1 つの山には 1 枚のコインがあります。各プレイヤーには 2 つの動きがあります。大きい方のコインの山を「取って」、小さい方の山を他のプレイヤーに渡すか、両方の山をテーブルの向こう側の他のプレイヤーに「押し出す」かです。コインの山がテーブルを横切るたびに、各山のコインの枚数は 2 倍になります。たとえば、アリスが最初の動きで山を「押し出す」ことを選択し、1 枚と 4 枚のコインの山をボブに渡して、2 枚と 8 枚に倍増したとします。ボブは最初の動きで、8 枚のコインの山を「取って」、アリスに 2 枚のコインを渡すか、2 つの山を再びテーブルの向こう側のアリスに「押し出す」ことができ、山のサイズが再び 4 枚と 16 枚に増えます。ゲームは、一定数のラウンドの間、またはプレイヤーがコインの山をポケットに入れてゲームを終了することを決定するまで続きます。

コインの追加はどちらのプレイヤーからも貢献されていないため、 外部性であると見なされます。

ムカデゲームは、およびと記述できます。プレイヤーと は交互に、プレイヤー から開始し、各ターンで から の手番を最大ラウンドプレイできます。が初めてプレイされたときにゲームが終了し、 がプレイされない場合は の手番が終了しました。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(N,~m_{0},~m_{1})}$${\displaystyle N,m_{0},m_{1}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m_{0}>m_{1}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle II}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \{\mathrm {take} ,\mathrm {push} \}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathrm {take} }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathrm {take} }$

プレイヤーが最後の手番を行ってゲームが終了したとします。その場合、ゲームの結果は次のように定義されます。 ${\displaystyle t\in \{0,\ldots ,N-1\}}$${\displaystyle p\in \{I,II\}}$

• をプレイすると、コインを獲得し、 を獲得します。${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathrm {take} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2^{t}m_{0}}$${\displaystyle p^{\ast}}$${\displaystyle 2^{t}m_{1}}$
• をプレイすると、コインを獲得し、 を獲得します。${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathrm {push} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2^{t+1}m_{1}}$${\displaystyle p^{\ast}}$${\displaystyle 2^{t+1}m_{0}}$

ここで、 は他のプレイヤーを表します。 ${\displaystyle p^{\ast }\in \{I,II\}}$

標準的なゲーム理論ツールでは、最初のプレイヤーが最初のラウンドで裏切り、コインの山を自分のものにすると予測されます。ムカデ ゲームでは、純粋戦略は一連のアクション (ゲーム内の各選択ポイントに 1 つずつ、ただし、これらの選択ポイントのいくつかには決して到達できない場合もあります) で構成され、混合戦略は可能な純粋戦略の確率分布です。ムカデ ゲームには、純粋戦略のナッシュ均衡がいくつかあり、混合戦略のナッシュ均衡は無限にあります。ただし、サブゲーム完全均衡は1 つしかありません(ナッシュ均衡の概念に対する一般的な改良)。

唯一のサブゲーム完全均衡では、各プレイヤーはあらゆる機会に裏切りを選択します。これはもちろん、最初の段階での裏切りを意味します。ただし、ナッシュ均衡では、最初の選択機会の後に取られるアクションは (最初のプレイヤーがすぐに裏切るため、その機会に到達することはありませんが) 協力的である可能性があります。

最初のプレイヤーによる裏切りは、唯一のサブゲーム完全均衡であり、あらゆるナッシュ均衡に必要なものであり、後方帰納法によって確立できます。 2 人のプレイヤーがゲームの最終ラウンドに到達したとします。2 番目のプレイヤーは裏切り、ポットの少し大きな分け前を獲得した方が有利になります。 2 番目のプレイヤーが裏切ると想定しているため、最初のプレイヤーは、最後から 2 番目のラウンドで裏切った方が有利になります。これは、最後のラウンドで 2 番目のプレイヤーが裏切ることを許可した場合に受け取るよりも少し高い報酬を得ることになります。 しかし、これを知っているため、2 番目のプレイヤーは最後から 3 番目のラウンドで裏切るべきです。これは、最後から 2 番目のラウンドで最初のプレイヤーが裏切ることを許可した場合に受け取るよりも少し高い報酬を得ることになります。 この推論は、ゲーム ツリーを後方に進んでいき、最初のプレイヤーが最初のラウンドで裏切ることが最善のアクションであると結論付けます。 同じ推論は、ゲーム ツリーのどのノードにも適用できます。

4 ラウンド後に終了するゲームの場合、この推論は次のように進行します。ゲームの最終ラウンドに到達した場合、プレーヤー2 はrではなくd を選択して、3 枚ではなく 4 枚のコインを受け取る方が得策です。ただし、 2 がd を選択することを考えると、プレーヤー 1 は最後から 2 番目のラウンドでD を選択し、2 枚ではなく 3 枚を受け取る必要があります。1 が最後から 2 番目のラウンドでD を選択することを考えると、プレーヤー2 は最後から 3 番目のラウンドでd を選択し、1 枚ではなく 2 枚を受け取る必要があります。ただし、これを考慮すると、プレーヤー1 は最初のラウンドでD を選択し、0 枚ではなく 1 枚を受け取る必要があります。

ムカデゲームには多数のナッシュ均衡がありますが、どのナッシュ均衡でも、最初のプレイヤーが最初のラウンドで裏切り、次のラウンドで 2 番目のプレイヤーが裏切ることが、最初のプレイヤーがパスするのを思いとどまらせるのに十分な頻度で起こります。ナッシュ均衡にあるということは、サブゲーム完全均衡のように、ゲームのすべての時点で戦略が合理的である必要はありません。つまり、ゲームの後のラウンドでは決して到達できない戦略が協力的であれば、ナッシュ均衡にある可能性があるということです。上記の例では、1 つのナッシュ均衡では、両方のプレイヤーが各ラウンドで裏切ります (決して到達できない後のラウンドでも)。もう 1 つのナッシュ均衡では、プレイヤー 1 が最初のラウンドで裏切るが、3 番目のラウンドではパスし、プレイヤー 2 は機会があれば裏切ります。

いくつかの研究は、ナッシュ均衡（および同様に、サブゲーム完全均衡）プレイがめったに見られないことを実証している。代わりに、被験者は定期的に部分的な協力を示し、数手「R」（または「r」）をプレイしてから最終的に「D」（または「d」）を選択する。被験者がゲーム全体を通して協力することもまれである。例としては、McKelveyとPalfrey（1992）、NagelとTang（1998）、またはKrockowら（2016）^[1]の調査を参照。学者は、賭け金の増加の影響を調査した。他のゲーム、たとえば最後通牒ゲームと同様に、賭け金が増加すると、プレイはナッシュ均衡プレイに近づく（ただし、到達しない）。^[2]実証研究は従来の均衡分析と矛盾する結果をもたらしたため、この行動についていくつかの説明が提示されている。実験データを説明するには、利他的なエージェントまたは限定合理的なエージェントのいずれかが必要である。

人々が均衡行動から逸脱する理由の 1 つは、一部の人が利他的である場合です。基本的な考え方は、各ゲームで利他的なエージェントと対戦する一定の確率があり、この確率が十分に高い場合は、最初のラウンドではなく最後のラウンドで裏切る必要があるというものです。十分な数の人々が利他主義者である場合、対戦相手が利他主義者かどうかを判断するために、最初のラウンドの裏切りの見返りを犠牲にすることは価値があります。

McKelveyとPalfrey (1992)は、一部の利他的なエージェントと一部の合理的エージェントが混合戦略（つまり、ある確率で複数のノードでプレイする）をプレイするモデルを作成しました。実験データとよく一致させるには、モデル内のプレイヤーの約5％が利他的である必要があります。Elmshauser (2022) ^[3]は、利他的なエージェントと不確実性回避エージェント（合理的エージェントの代わりに）を含むモデルが実験データをさらによく説明することを示しています。いくつかの実験では、パスを多く行うプレイヤーが他のゲームや他の生活状況でも最も利他的なエージェントになるかどうかを確認しようとしました（たとえば、社会的価値志向を評価したPulfordら^[4]やGambaとRegner (2019) ^[5]を参照）。パスを多く行うプレイヤーは確かにより利他的でしたが、その差はそれほど大きくありませんでした。

Rosenthal (1981) は、相手がナッシュ行動から逸脱すると信じる理由がある場合、最初のラウンドで裏切らない方が有利かもしれないと示唆しました。別の可能性はエラーです。相手が後ろ向き帰納法を完全に推論していないなど、行動にエラーが発生する可能性が高い場合は、最初のラウンドで協力することが有利 (かつ合理的) かもしれません。McKelveyと Palfrey (1995) ^[6]の量子応答均衡は、エラーのあるナッシュ均衡を実行するエージェントのモデルを作成し、それをムカデゲームに適用しました。

ムカデゲームにおける行動を説明できる別のモデル化は、認知階層理論であるレベルkモデルである 。L0プレイヤーはランダムにプレイし、L1プレイヤーはL0プレイヤーに最もよく反応し、L2プレイヤーはL1プレイヤーに最もよく反応する、というように続く。多くのゲームで、研究者はプレイヤーのほとんどがL2またはL3プレイヤーであることを観察し、これはムカデゲームの実験データと一致している。Garcia-Polaら(2020) ^[7]は、実験から、ほとんどのプレイヤーがレベルkロジックまたは量子応答ロジックに従ってプレイすると結論付けた。

しかし、Parco、Rapoport、Stein (2002) は、金銭的インセンティブのレベルが 3 人プレイのゲームの結果に大きな影響を与える可能性があることを示しました。逸脱に対するインセンティブが大きいほど、繰り返しシングルプレイの実験設計における学習行動がナッシュ均衡に近づく傾向が高くなります。

Palacios-Huerta と Volij (2009) は、チェスのエキスパートは大学生とは異なるプレイをすることを発見しました。Eloが上昇するにつれて、ゲームを続ける確率は低下します。実験に参加したグランドマスターは全員、最初のチャンスでゲームを止めました。彼らは、チェス プレイヤーは後方帰納的推論に慣れているため、均衡点に到達するのに必要な学習が少なくて済むと結論付けています。しかし、これらの発見を再現しようとして、Levitt、List、および Sadoff (2010) は、16 人のグランドマスターのうち、最初のノードでゲームを止めた人はゼロという、非常に矛盾した結果を発見しました。

Krockowらによる質的研究では、センチピードゲームのプレイヤーにゲーム中に自分の推論を声に出して言うことを要求する思考発話プロトコルを採用し、行動バイアスや完了バイアスなどのさまざまな意思決定バイアスがゲーム内で非合理的な選択を促す可能性があることを示しました。^[8]

囚人のジレンマと同様に、このゲームは自己利益と相互利益の対立を呈示します。これが強制可能であれば、両方のプレーヤーはゲーム全体を通して協力することを望むでしょう。しかし、プレーヤーの自己利益またはプレーヤー間の不信が干渉し、盲目的に協力した場合よりも両者にとって悪い結果になる状況を作り出す可能性があります。囚人のジレンマはこの事実でかなりの注目を集めましたが、ムカデゲームは比較的注目されていません。

さらに、ビンモア (2005) は、現実世界の状況のいくつかはムカデゲームで説明できると主張しています。彼が挙げる例の 1 つは、互いに不信感を抱いている当事者間の物品の交換です。ビンモア (2005) がムカデゲームに例えるもう 1 つの例は、交尾のために卵子を交互に交換する雌雄同体のスズキの交尾行動です。これらのケースでは、協力が盛んに行われていることがわかります。

ムカデゲームでは、ある程度の協力に対する見返りが即座に裏切るよりもはるかに大きいため、後方誘導によって得られる「合理的な」解決策は矛盾しているように見える。このことと、実験対象がムカデゲームで定期的に協力するという事実が相まって、後方誘導の解決策に含まれる理想化の有用性に関する議論が巻き起こっている。Aumann (1995、1996) および Binmore (1996) を参照。

• 後方誘導
• 実験経済学
• 旅行者のジレンマ
• 予期せぬ吊り下げパラドックス

• ムカデゲームに関するEconPortの記事
• 合理性とゲーム理論 - ムカデゲームに関する AMS コラム
• VeconLabでのオンライン実験
• gametheorygame.nl のブラウザで Centipede ゲームをプレイしましょう