安っぽい話

送信者Sは、世界の状況、あるいは自身の「タイプ」tに関する情報を得る。受信者Rはtを知らない 。受信者Rはtについて事前の信念しか持っておらず、Sからのメッセージによってその信念の精度を高める可能性がある。

Sはメッセージmを送信することにした。メッセージmは完全な情報を開示するかもしれないが、限定的で曖昧な情報を提供するかもしれない。例えば、「世界の状況はt1とt2の_{間である」}といった内容になる。あるいは、全く情報を提供しない場合もある。

メッセージの形式は、相互理解と共通の解釈さえあれば問題ない。中央銀行総裁による一般的な声明でも、あらゆる言語での政治演説でも構わない。形式がどうであれ、最終的には「世界の状況はt1とt2の間にある」という_意味として_受け止められる。

受信者Rはメッセージmを受け取ります。Rは、ベイズの定理を用いて、入手する可能性のある新しい情報に基づいて、世界の状況に関する自身の信念を更新します。Rは行動aを取ることを決定します。この行動は、R自身の効用と送信者の効用の両方に影響を与えます。

Sがmの内容について下す決定は、 Rが何をすると期待しているかを踏まえて、Sの効用を最大化することに基づいています。効用とは、満足度や欲求を定量化する方法です。それは金銭的な利益であったり、非金銭的な満足度（例えば、環境がどの程度保護されているか）であったりします。 → 二次効用：SとR それぞれの効用は、次のように指定できます。 $${\displaystyle U^{S}(a,t)=-(atb)^{2}}$$$${\displaystyle U^{R}(a,t)=-(at)^{2}}$$

この理論はより一般的な効用形態にも適用できますが、二次選好を用いると説明が容易になります。したがって、b ≠ 0の場合、 SとR は異なる目的を持ちます。パラメータbは、2 人のプレイヤー間の利害の衝突、またはバイアスとして解釈されます。U ^{R は}a = tのときに最大化されます。これは、受信者が一般的には知らない世界の状態に一致する行動を取りたいことを意味します。U ^{S は}a = t + bのときに最大化されます。これは、 b > 0の場合、 Sがわずかに高い行動を取りたいことを意味します。Sは行動を制御しないため、 S はどの情報を開示するかを選択することによって望ましい行動を取得する必要があります。各プレイヤーの効用は、世界の状態と、最終的に行動aにつながる両プレイヤーの決定に依存します。

我々は、各プレイヤーが最適な意思決定を行うという均衡状態を、相手プレイヤーも最適な意思決定を行うという前提のもとに求める。プレイヤーは合理的であるが、Rは限られた情報しか持っていない。期待は実現され、この状況から逸脱するインセンティブは存在しない。

メッセージは、世界の状態tの無限の数に対して、事前に無限の数の可能な値μ(t)を想定できますが、実際には有限の数の値(m ₁、 m ₂、 ... 、 m _N )しか取らない場合があります。

したがって、均衡は、タイプ[0, 1]の集合の分割(t ₀ (N), t ₁ (N), ... t _N (N))によって特徴付けられる。ここで、 0 = t ₀ (N) < t ₁ (N) < ... < t _N (N) = 1である。この分割は、図1の右上部分に示されている。

t i (N)はメッセージが一定である区間の境界です。t i-1 (N) < t < t i (N) の場合_、μ ( t ₎ = m _iです。

アクションはメッセージの関数であるため、アクションもこれらの区間で一定です。t i-1 (N) < t < t i (N) の場合、_α ( _t ) = α(m _i ) = a _iとなります。

アクション関数は、tがt ₁とt ₂の間にあることを知っている場合、各値a _{i が}Rのリターンを最適化するという事実によって間接的に特徴付けられます。数学的には ( t が[0, 1] 上で一様に分布していると仮定して)、

${\displaystyle a_{i}={\bar {a}}(t_{i-1},t_{i})=\mathrm {arg} \max _{a}\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}U^{R}(a,t)dt}$

→二次効用関数:

Rがtがt _i-1とt _iの間にあることを知っており、 Rが行動aをtにできるだけ近づけたい二次効用関数の特殊な場合においては、最適な行動は区間の中央値であることが直感的にわかる。 $${\displaystyle a_{i}={\frac {t_{i-1}+t_{i}}{2}}}$$

t = t _iのとき、送信者はメッセージm _i-1またはm _iのどちらを送信しても構わないという条件を満たさなければならない。 ${\displaystyle U^{S}(a_{i},t_{i})=U^{S}(a_{i+1},t_{i})}$   1 ≤ i ≤ N-1

これはNとt _iに関する情報を提供します。

→ 実際には：サイズN の分割を考えます。以下が示せます。$${\displaystyle t_{i}=t_{1}i+2bi(i-1)\qquad t_{1}={\frac {1-2bN(N-1)}{N}}}$$

Nは分子が正になるように十分に小さくなければならない。これにより、許容される最大値が決まる。$${\displaystyle N^{*}=\langle -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{b}}}}\rangle }$$どこ${\displaystyle \langle Z\rangle }$天井は${\displaystyle Z}$つまり、以上で最小の正の整数${\displaystyle Z}$例： b = 1/20と仮定します。するとN ^* = 3になります。次に、 N = 1、2、または3の場合のすべての平衡について説明します（図 2 を参照）。

N = 1:これはバブリング平衡です。t 0 = ₀、t ₁ = 1 ; a ₁ = 1/2 = 0.5。

N = 2: t ₀ = 0、t ₁ = 2/5 = 0.4、t ₂ = 1 ; a ₁ = 1/5 = 0.2、a ₂ = 7/10 = 0.7。

N = N ^* = 3: t ₀ = 0、t ₁ = 2/15、t ₂ = 7/15、t ₃ = 1 ; a ₁ = 1/15、a ₂ = 3/10 = 0.3、a ₃ = 11/15。

N = 1の場合、最も粗いメッセージが得られ、情報は一切得られません。そのため、左上のパネルはすべて赤色で表示されます。N = 3の場合、メッセージはより細かくなります。しかし、完全な情報開示（45°の線）と比べると、依然としてかなり粗いままです。ただし、完全な情報開示はナッシュ均衡ではありません。

Nの値が大きく、メッセージがより詳細であればあるほど、青色の領域の重要性が増します。これは、より高い有用性を意味します。より多くの情報を開示することは、双方にとって有益です。