震える手は完璧な平衡を保つ

ゲーム理論において、震える手完全均衡は、ラインハルト・ゼルテンによって最初に提案されたナッシュ均衡の一種の改良である。^[1]震える手完全均衡は、プレイヤーが「手を滑らせる」または震えによって、たとえ確率が無視できるものであっても、意図しない戦略を選択する可能性があると仮定して、均衡から外れたプレイの可能性を考慮した均衡である。

まず、摂動ゲームを定義します。摂動ゲームは、完全に混合された戦略のみがプレイできるという制限があるベース ゲームのコピーです。完全に混合された戦略は、すべての 戦略(純粋および混合の両方) が 0 以外の確率でプレイされる混合戦略です。これは、プレーヤーの「震える手」です。プレーヤーは、意図した戦略以外の戦略をプレイすることがあります。次に、一連の摂動ゲームがベース ゲームに収束し、その中にS に収束する 一連のナッシュ均衡がある場合、戦略セット S (ベース ゲーム内) を震える手として定義します。

注:完全に混合されたナッシュ均衡はすべて完全です。

注2:有限正規形ゲームの混合戦略拡張には少なくとも1つの完全均衡が存在する。^[2]

次の正規形行列で表されるゲームには、とという2 つの純粋戦略ナッシュ均衡があります。ただし、 だけが震える手完全です。 ${\displaystyle \langle {\text{上}},{\text{左}}\rangle }$${\displaystyle \langle {\text{下}},{\text{右}}\rangle }$${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$

プレイヤー 1 (行プレイヤー) がに対して 混合戦略 を プレイしていると仮定します。 ${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

プレイヤー2がLをプレイすることで期待される利益は次のとおりです。

${\displaystyle 1(1-\varepsilon )+2\varepsilon =1+\varepsilon }$

プレイヤー2が戦略Rを実行した場合に期待される利益は次のとおりです。

${\displaystyle 0(1-\varepsilon )+2\varepsilon =2\varepsilon }$

の値が小さい場合、プレイヤー 2 は R に最小の重みを、L に最大の重みを置くことで期待される利益を最大化します。対称性により、プレイヤー 2 が混合戦略 をプレイしている場合、プレイヤー 1 は D に最小の重みを、U に最大の重みを置く必要があります。したがって、震える手は完璧です。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$

しかし、戦略プロファイルでは同様の分析は失敗します。 ${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$

プレイヤー2が混合戦略 をプレイしていると仮定します。プレイヤー1がUをプレイすることで期待される利益は次のようになります。 ${\displaystyle (\varepsilon ,1-\varepsilon )}$

${\displaystyle 1\varepsilon +2(1-\varepsilon )=2-\varepsilon }$

プレイヤー 1 が D をプレイすることで期待される利益は次のとおりです。

${\displaystyle 0(\varepsilon )+2(1-\varepsilon )=2-2\varepsilon }$

のすべての正の値について、プレーヤー 1 は、D に最小の重みを付け、U に最大の重みを付けることで、期待される利得を最大化します。したがって、プレーヤー 1 の動作にエラーが発生する可能性がわずかにある場合、プレーヤー 2 (および対称性によりプレーヤー 1) は、L に最も頻繁に逸脱することで期待される利得を最大化するため、は震える手完全ではありません。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$

2x2ゲームの場合、震える手の完全均衡の集合は、2つの非優位戦略からなる均衡の集合と一致します。上記の例では、均衡<下、右>は不完全であり、プレイヤー2では左（弱く）が右を優位にし、プレイヤー1では上（弱く）が下を優位にしています。^[3]

震える手の完璧さの定義を拡張形式のゲームに拡張する方法は 2 つあります。

• 拡張形式を単に標準形式ゲームの簡潔な記述であると解釈し、上記の概念をこの標準形式ゲームに適用することができます。結果として生じる摂動ゲームでは、拡張形式ゲームのすべての戦略は、ゼロ以外の確率でプレイされる必要があります。これは、標準形式の震える手の完全な均衡の概念につながります。
• あるいは、震えは、ゲームをプレイしているときにプレイヤーが無視できる確率で犯すミスをモデル化するものとして解釈されるべきであることを思い出すかもしれません。そのようなミスは、プレイヤーがプレイ中のある時点で意図したものとは異なる動きをすることで発生する可能性が最も高いでしょう。プレイヤーが意図したものとは異なる戦略、つまりゲーム全体をプレイするための間違った計画を選択することで発生する可能性はほとんどありません。これを捉えるために、あらゆる情報セットでのすべての動きがゼロ以外の確率で行われることを要求することで、摂動ゲームを定義することができます。震えの確率がゼロになるような摂動ゲームの均衡の限界は、拡張型震え手完全均衡と呼ばれます。

通常形式と拡張形式の震え手完全均衡の概念は比較不可能である。つまり、拡張形式ゲームの均衡は、通常形式震え手完全であっても拡張形式震え手完全ではない可能性があり、その逆も同様である。この極端な例として、ジャン＝フランソワ・メルテンスは、拡張形式震え手完全均衡が認められない 2 人用拡張形式ゲームの例を示した。つまり、このゲームの拡張形式と通常形式震え手完全均衡の集合は互いに素である。^[要出典]

展開形式震え手完全均衡は、連続均衡でもあります。展開形式ゲームの通常形式震え手完全均衡は連続的である場合もありますが、必ずしもそうであるとは限りません。実際、通常形式震え手完全均衡は、サブゲーム完全である必要さえありません。

マイヤーソン（1978）^[4]は、完全性は厳密に支配された戦略の追加に敏感であることを指摘し、代わりに適切な均衡として知られる別の改良を提案した。

• オズボーン、マーティン J.; ルビンスタイン、アリエル (1994)。ゲーム理論講座。MIT 出版。pp. 246–254。ISBN 9780262650403。