同時ゲーム

ゲーム理論において、同時ゲームまたは静的ゲーム^[1]は、各プレイヤーが他のプレイヤーの選択するアクションを知らずに自分のアクションを選択するゲームです。^{[2]同時ゲームは、プレイヤーが順番にプレイする（プレイヤー間で動きが交互に行われる）}逐次ゲームとは対照的です。言い換えれば、同時ゲームでは通常、両方のプレイヤーが同時に行動します。プレイヤーが同時に行動しない場合でも、両方のプレイヤーは決定を下す際に互いの動きを知りません。^{[3]同時ゲームでは、通常} 、正規形表現が使用されます。^[4]連続ゲームが与えられた場合、ゲームが同時である場合と逐次である場合ではプレイヤーの情報セットが異なります。これは、ゲームの各ステップで行動するための情報が少ないためです。たとえば、2人のプレイヤーによる逐次的な連続ゲームでは、2番目のプレイヤーは最初のプレイヤーのアクションに応じて行動できます。ただし、両方のプレイヤーが同時に行動する同時ゲームでは、これは不可能です。

順次ゲームでは、プレイヤーはライバルが過去に何をしたかを観察し、特定のプレイ順序があります。^[5]しかし、同時ゲームでは、すべてのプレイヤーがライバルの選択を観察せずに戦略を選択し、プレイヤーはまったく同時に選択します。^[5]

簡単な例としては、すべてのプレイヤーが同時に選択を行うじゃんけんが挙げられます。ただし、同時に動くことは必ずしも文字通りに解釈されるわけではなく、代わりにプレイヤーは他のプレイヤーの選択を見ることなく動くことがあります。^[5]簡単な例としては、すべての投票者が文字通り同時に投票するのではなく、各投票者が他の人の選択を知らずに投票する選挙が挙げられます。

意思決定者が合理的であるならば、個人の合理性も合理的である。結果が各プレイヤーに少なくとも自身のセキュリティレベルをもたらす場合、結果は個別に合理的である。^[6]プレイヤーiのセキュリティレベルは、プレイヤーが単独で、つまり他のプレイヤーの行動を考慮せずに保証できる量max min Hi (s)である。

同時ゲームでは、プレイヤーは同時に動き、ゲームの結果を決定し、報酬を受け取ります。

同時ゲームの最も一般的な表現は、通常形式（マトリックス形式）です。2人プレイのゲームでは、1人のプレイヤーが行を選択し、もう1人のプレイヤーが同時に列を選択します。伝統的に、セル内の最初のエントリは行プレイヤーのペイオフ、2番目のエントリは列プレイヤーのペイオフです。選択された「セル」がゲームの結果です。^[4]どの「セル」を選択するかを決定するには、行プレイヤーと列プレイヤーの両方のペイオフをそれぞれ比較する必要があります。各プレイヤーは、ペイオフが高いところで有利になります。

広くプレイされている手札ゲームであるじゃんけんは、同時ゲームの一例です。両プレイヤーは相手の決定を知らずに決定を下し、同時に手札を公開します。このゲームには2人のプレイヤーがいて、それぞれが決定を下すための3つの異なる戦略を持っています。戦略プロファイル（各プレイヤーの可能な戦略の完全なセット）の組み合わせは、3×3の表を形成します。プレイヤー1の戦略を行に、プレイヤー2の戦略を列に表示します。表では、赤い数字はプレイヤー1の報酬を表し、青い数字はプレイヤー2の報酬を表します。したがって、じゃんけんの2人ゲームの報酬は次のようになります。^[4]

同時ゲームのもう一つの一般的な表現は拡張形式（ゲームツリー）である。情報セットは不完全情報を強調するために使用される。単純ではないが、2人以上のプレイヤーがいるゲームではゲームツリーを使用する方が簡単である。^[4]

同時ゲームは通常、通常の形式で表現されますが、拡張形式を使用して表現することもできます。拡張形式では、一方のプレイヤーの決定はもう一方の決定よりも前に行われなければなりませんが、定義上、このような表現は同時ゲームにおけるプレイヤーの決定の実際のタイミングに対応しません。拡張形式で同時ゲームをモデル化する鍵は、情報セットを正しく取得することです。ゲームの拡張形式表現におけるノード間の破線は、情報の非対称性を表し、ゲーム中、パーティがノードを区別できないことを指定します^[7]。これは、パーティが他のパーティの決定を認識していないためです (「同時ゲーム」の定義による)。

このクラスのゲームに属するチェスのバリエーションには、同期チェスやパリティチェスなどがあります。^[8]

同時ゲームでは、プレイヤーは1手しか打てず、すべてのプレイヤーの手は同時に打たれる。ゲームに参加するプレイヤーの数は規定され、各プレイヤーの可能な手がすべて列挙されていなければならない。各プレイヤーは異なる役割と手番の選択肢を持つことができる。^[9]しかし、各プレイヤーが選択できる選択肢の数は限られている。

2人同時プレイゲームの例:

ある町にA社とB社の2つの会社があり、現在それぞれ800万ドルの利益を上げており、広告を出すかどうかを決める必要があります。下の表は、利益パターンを示しています。行はAのオプション、列はBのオプションです。エントリは、それぞれAとBの利益であり、コンマで区切られています。^[9]

ゼロサムゲームとは、どのような結果であっても、支払いの合計がゼロになるゲーム、つまり敗者が勝者の利益を支払うゲームです。ゼロサムの2人用ゲームでは、プレイヤーAの支払いはプレイヤーBの支払いのマイナスとなるため、表示する必要はありません。^[9]

同時ゼロサム 2 人ゲームの例:

2 人の友人 A と B が 10 ドルをかけてじゃんけんをしています。最初のセルは、両方のプレイヤーの配当が 0 であることを示しています。2 番目のセルは、A の配当が 10 で、B が支払わなければならないため、B の配当は -10 になります。

3人同時プレイゲームの例:

自由時間を増やすかどうかについて教室で投票が行われます。プレイヤーAは行列を選択し、プレイヤーBは行を選択し、プレイヤーCは列を選択します。^[9]報酬は以下のとおりです。

上記の例はすべて対称的です。すべてのプレイヤーは同じ選択肢を持っているため、プレイヤーが動きを交換すると、報酬も交換されます。設計上、対称ゲームは公平であり、すべてのプレイヤーに同じチャンスが与えられます。^[9]

ゲーム理論は、どの動きが最善であるかを見つける方法についてプレイヤーにアドバイスを提供する必要があります。これらは「ベストレスポンス」戦略として知られています。^[10]

純粋戦略とは、プレイヤーが最善の反応から1つの戦略だけを選択する戦略です。純粋戦略は、ゲームで可能なすべての動きを決定し、特定のゲームにおけるプレイヤーの完全な計画です。混合戦略とは、プレイヤーが最善の反応セットで戦略をランダムに選択する戦略です。これらには、各戦略セットに関連付けられた確率があります。^[10]

同時ゲームでは、プレイヤーは通常、混合戦略を選択しますが、ごくまれに純粋戦略を選択します。これは、プレイヤーが他のプレイヤーが何を選択するかわからないゲームでは、他のプレイヤーが何でも選択できる場合、リスクを最小限に抑えて最大の利益をもたらす可能性のあるオプションを選択するのが最善であるためです^[10]。つまり、自分が最善のオプションを選択しても、他のプレイヤーも最善のオプションを選択した場合、誰かが損害を被ることになります。

優勢戦略は、他のプレイヤーの戦略に対して可能な限り最高の利益をプレイヤーに提供します。同時ゲームでは、プレイヤーができる最善の動きは、優勢戦略（存在する場合）に従うことです。^[11]

同時ゲームを分析する場合:

まず、すべてのプレイヤーにとって優位な戦略を特定します。各プレイヤーが優位な戦略を持っている場合、プレイヤーはその戦略を実行しますが、優位な戦略が複数ある場合は、どの戦略でも実行可能です。^[11]

次に、支配的な戦略がない場合、他の戦略によって支配されているすべての戦略を特定します。次に、支配されている戦略を排除し、残った戦略をプレイヤーがプレイします。^[11]

常に最悪の事態を予想し、他の人は自分の利益を最大化したいのに、他の人は自分の利益を最大化したいと望んでいると信じている人もいます。それでも、プレイヤーAは可能な限り最小の利益に集中し、それがプレイヤーAが得られるものだと信じて、最も高い値のオプションを選択します。このオプションは、可能な限り最小の利益を最大化するマキシミンムーブ（戦略）です。したがって、他のプレイヤーがどのようにプレイしているかに関係なく、プレイヤーは少なくともマキシミン値の利益を保証できます。プレイヤーは、マキシミンムーブを選択するために他のプレイヤーの利益を知る必要はありません。したがって、プレイヤーは同時ゲームで、他のプレイヤーが何を選択するかに関係なく、マキシミン戦略を選択できます。^[10]

純粋なナッシュ均衡とは、他のプレイヤーが元の選択に固執する限り、誰も自分の動きから逸脱することでより高い報酬を得ることができない状態です。ナッシュ均衡は自己強制的な契約であり、ゲームが始まる前に交渉が行われ、各プレイヤーは交渉した動きに最も固執します。ナッシュ均衡では、各プレイヤーは他のプレイヤーの選択に最もよく反応します。^[11]

囚人のジレンマはメリル・フラッドとメルビン・ドレッシャーによって考案され、ゲーム理論で最も有名なゲームの 1 つです。このゲームは通常、次のように表現されます。

犯罪組織のメンバー2人が警察に逮捕された。2人とも現在独房に収監されている。検察は両囚人を軽い罪で収監するのに必要な証拠を持っている。しかし、主な罪で有罪とするのに必要な証拠を持っていない。そこで検察は両囚人に同時に取引を持ちかけ、沈黙を守ることで互いに協力するか、裏切りを選んでパートナーに不利な証言をして減刑を受けるかを選ぶ。囚人同士が意思疎通できないことに注意する必要がある。^[12]したがって、次のような報酬表が生まれる。

このゲームでは、裏切りが明らかに支配的な戦略となり、唯一の強いナッシュ均衡は両方の囚人が自白することです。これは、両方の囚人が合理的で、お互いに忠誠心を持っていないと仮定しているためです。したがって、裏切りは、潜在的な結果の大部分に対してより大きな報酬を提供します。^[12] Bが協力する場合、Aは裏切りを選択する必要があります。3か月の服役は1年の服役よりも良いからです。さらに、Bが裏切りを選択した場合、Aも裏切りを選択する必要があります。2年の服役は3年の服役よりも良いからです。協力するという選択は明らかに2人の囚人にとってより良い結果をもたらしますが、自己利益の観点からは、この選択肢は非合理的であると見なされます。前述の両方とも協力するオプションでは、刑務所で過ごす合計時間が最短で、合計2年の服役となります。この合計は、両方が協力した場合のナッシュ均衡の合計である4年よりも大幅に短いです。ただし、囚人AとBは個別に動機付けられているという制約を考えると、彼らは常に裏切りを選択するでしょう。彼らは、他の囚人のそれぞれの決定を考慮しながら、自分にとって最善の選択肢を選ぶことによってそうします。

男女対決ゲームでは、妻と夫がそれぞれサッカーの試合に行くかバレエに行くか決めます。どちらも一緒に何かをするのが好きですが、夫はサッカーを好み、妻はバレエを好みます。2つのナッシュ均衡、つまり夫と妻の両方にとって最適な反応は、2人とも同じレジャー活動、たとえば（バレエ、バレエ）または（サッカー、サッカー）を選択することです。^[11]以下の表は、各オプションの報酬を示しています。

同時ゲームは、競争環境および非協力環境における戦略的な選択を通知するように設計されています。ただし、ナッシュ均衡と前述の戦略の多くは、一般的に社会的に望ましい結果をもたらさないことに注意することが重要です。

パレート効率は、完全競争の理論的構成に根ざした概念です。イタリアの経済学者ヴィルフレド・パレートに由来するこの概念は、資源配分の点で経済が効率を最大化した状態を指します。パレート効率は、厚生経済学の理想であるパレート最適性と密接に関連しており、倫理的配慮の概念を暗示することがよくあります。たとえば、同時ゲームでは、少なくとも 1 人のプレーヤーの利益を高め、他のすべてのプレーヤーの利益を少なくとも同等にするような代替結果がない場合、パレート最適性に達すると言われています。したがって、これらの結果は社会的に望ましい結果と呼ばれます。^[13]

哲学者ジャン＝ジャック・ルソーの「鹿狩り」は、2人のプレイヤーが同時にプレイするゲームです。各プレイヤーが鹿を狩るか野ウサギを狩るかを決める必要があります。当然、鹿を狩る方が野ウサギを狩るよりも効用が大きいでしょう。しかし、鹿を狩るには、両方のプレイヤーが協力する必要があります。一方、野ウサギなら各プレイヤーが単独で狩ることもできます。結果として生じるジレンマは、どちらのプレイヤーも相手が何を選択するか確信が持てないことです。そのため、自分だけが鹿を狩ることを選択した場合、そのプレイヤーは報酬を受け取れない可能性があります。^[14]したがって、次のような報酬マトリックスになります。

このゲームは、両プレイヤーが協力して鹿を狩るという明確なパレート最適性を示すように設計されています。しかし、ゲームに内在するリスクのため、そのような結果が常に実現するとは限りません。パレート最適性は同時ゲームに対する戦略的解決策ではないことに注意する必要があります。しかし、この理想は、より効率的な結果の可能性についてプレイヤーに知らせます。さらに、プレイヤーが時間の経過とともにどのようにプレイを学ぶべきかについての洞察を提供する可能性があります。^[15]

• 連続ゲーム
• 同時アクション選択

文献

• プリチャード、DB (2007)。ビーズリー、ジョン (編)。チェスのバリエーションの分類百科事典。ジョン・ビーズリー。ISBN 978-0-9555168-0-1。