構成的ゲーム理論

構成的ゲーム理論はゲーム理論とコンピュータサイエンスの一分野であり、大規模で複雑なゲームを単純な小さなゲームの構成として表現することを目的としています。^{[1] [2] [3]}

コンピュータサイエンスの主なテーマは、単純な構成要素（プログラミング言語の関数や手順など）を構築し、それをより大きな構造（より複雑な関数やプログラムなど）に構成する能力です。この原則はモジュール性とも呼ばれます。

対照的に、古典的なゲーム理論では、複雑なゲームであっても単一のモノリシックなオブジェクトとして扱われます。これにより、ゲームの分析をスケール化することが困難になります。

構成的ゲーム理論 (CGT)は、モジュール化の原理をゲーム理論に適用することを目的としています。主な目的は、ソフトウェア ツールを使用して大規模なゲームを分析しやすくすることです。

高階同時ゲーム^[4]は同時ゲームの一般化であり、プレイヤーは効用関数ではなく選択関数によって定義されます。正式には、 n人のプレイヤーの高階同時ゲームには次の要素が含まれます。

• 結果の集合 R 。
• 各プレイヤーiに対して、選択肢（可能なアクション） のセットX _{i があります。}
  • Σ をすべてのX _iの直積として定義し、これを戦略プロファイルの集合と呼びます。
• ΣからRまでの結果関数。この関数は、プレイヤーのアクションの各組み合わせに対して、結果がどうなるかを決定します。
• 各プレイヤーiには、 d _{i で}示される選択関数があります。選択関数は、 X _iからRへの関数であるコンテキストを入力として受け取り、 X _iのサブセットである最適な応答のセットを返します。

「高次」という用語は後者の要素に由来しています。各プレイヤーの最適な応答対応は高次関数であり、入力自体も関数です。Σのすべての戦略プロファイル s ₁は、各プレイヤー i に対して X i から R への関数を定義します。関数は、 X iの各可能なアクションx _iを、_{i以外のすべてのプレイヤーが s 1}のようにプレイし、プレイヤーi がアクションをx _iに切り替えた場合に生じる結果にマッピングします。言い換えると、 s _{1 は}プレイヤーi が動作するコンテキストを定義します。

Σ内の2 つの戦略タプル s ₁と s _{2 が与え}られたとき、各プレイヤーiについて、 s _{2,i がs 1}によって生成されたコンテキスト上のd _iの出力に含まれている場合、s 2 はs _{1に対する}最善の応答であると言えます。最善の応答関係は、 Σ x Σに含まれる2 項関係であり、 Bで表されます。

標準的なゲームでは、選択関数の代わりに、各プレイヤーiに対して効用関数 u _iが存在します。効用関数は、Rからの出力を入力として受け取り、実数を返します。このようなゲームは、次のように高階ゲームとして表すことができます。各プレイヤーiに対して、選択関数は、コンテキストが与えられた場合に エージェントiの効用を最大化するアクションのセットをX _{iから返します。}

CGT の主な研究対象はオープン ゲームです。オープン ゲームには次の要素があります。

• 観測値の集合X ;
• 結果のセットY。
• 戦略プロファイルの集合Σ。
• Σ x XからYへの関数であるプレイ 関数P。
• Σ x X x Rから S への関数である共役関数 C 。
• 最適応答関数Bは、X x (Y -> R) から Σ x Σ の関係への関数です。

これは高階ゲームの抽象化です。

オープンゲームは2つの方法で分解できる: ^[2]

• 順番に -連続したゲームを生成します。
• 並行して -同時ゲームを生み出します。

• ベイジアンオープンゲーム^[5]

• オープン ゲーム エンジン -オープン ゲームを構築および分析するためのHaskellコード。