お揃いのペニー硬貨

マッチングペニーは、ゲーム理論で研究されている非協力ゲームです。このゲームは、イーブンとオッドの2人のプレイヤーで行われます。各プレイヤーは1枚のペニーを持ち、表か裏に秘密裏にひっくり返さなければなりません。その後、プレイヤーは同時に自分の選択を明らかにします。ペニーが一致した場合（両方とも表、または両方とも裏）、イーブンが勝ち、両方のペニーを獲得します。ペニーが一致しない場合（片方が表で片方が裏）、オッドが勝ち、両方のペニーを獲得します。

マッチングペニーズはゼロサムゲームです。なぜなら、各参加者の効用の増減は、他の参加者の効用の増減と完全に釣り合っているからです。参加者の効用の合計を足し合わせ、そこから合計の損失を差し引くと、その合計はゼロになります。

このゲームは、利得行列（右図参照 - イーブンの視点）で表すことができます。行列の各セルには、2人のプレイヤーの利得が示されており、イーブンの利得が最初に記載されています。

マッチングペニーは、主に混合戦略の概念と混合戦略ナッシュ均衡を説明するために使用されます。^{[ 1 ]}

このゲームには、最適反応に対する最適反応となる純粋戦略（表か裏）が存在しないため、純粋戦略ナッシュ均衡は存在しません。言い換えれば、どちらのプレイヤーも、相手が何をするかを知らされたら戦略を変えようとは思わないような純粋戦略のペアは存在しません。その代わりに、このゲームの唯一のナッシュ均衡は混合戦略にあります。つまり、各プレイヤーは表か裏を等しい確率で選択します。^{[ 2 ]}このように、各プレイヤーは表か裏のどちらを選んでも相手に差がないようにするため、どちらのプレイヤーも別の戦略を試みるインセンティブを持ちません。混合戦略の最適反応関数は、以下の図1に示されています。

どちらかのプレイヤーが均衡戦略を選択した場合、全員の期待利得はゼロとなる。

人間プレイヤーは必ずしも均衡戦略をとるとは限らない。実験室での実験により、特にコインのマッチングゲームが繰り返し行われる場合、プレイヤーが均衡戦略から逸脱するいくつかの要因が明らかになっている。

• 人間はランダム化が得意ではありません。表と裏を交互に切り替えることで「ランダム」なシーケンスを作ろうと試みるかもしれませんが、ギャンブラーの誤謬のために行動を頻繁に切り替えすぎてしまいます。そのため、熟練したプレイヤーは次の行動を50%以上の確率で予測することが可能になります。このようにして、プラスの期待収益が得られる可能性があるのです。
• 人間はパターンを検出するように訓練されている。たとえそのようなパターンが存在しない場合でも、相手のシーケンスの中にパターンを検出しようとし、それに応じて戦略を調整する。^{[ 3 ]}
• 人間の行動はフレーミング効果の影響を受ける。^{[ 4 ]}奇数のプレイヤーが「誤解を招く者」、偶数のプレイヤーが「推測者」と呼ばれると、前者はランダム化を試みることに集中し、後者はパターンを検出しようとすることに集中するため、推測者の成功の可能性が高まる。さらに、一致がある場合に偶数が勝つという事実は、人々が不一致よりも一致させる方が得意であるため（刺激反応適合効果による）、偶数に有利に働く。

さらに、利得行列が非対称である場合、ゲームが繰り返されない場合でも、他の要因が人間の行動に影響を与える。

• プレイヤーは、より高い報酬が得られる行動をとる確率を高める傾向があります。たとえば、上記の報酬マトリックスでは、イーブンはより多くの表をプレイする傾向があります。これは直感的に理解できますが、ナッシュ均衡ではありません。前述のように、プレイヤーの混合確率は、自分の報酬ではなく、他のプレイヤーの報酬のみに依存する必要があります。この逸脱は、量子応答均衡として説明できます。^{[ 5 ] [ 6 ]}量子応答均衡では、最適応答曲線は、標準的なナッシュ均衡のように鋭くありません。むしろ、確率が0の行動から確率が1の行動へと滑らかに変化します（言い換えれば、ナッシュ均衡では、プレイヤーは確率1で最善の反応を選択し、確率0で最悪の反応を選択しますが、量子反応均衡では、プレイヤーは1より小さい高い確率で最善の反応を選択し、0より大きい低い確率で最悪の反応を選択します）。均衡点は、2人のプレイヤーの滑らかな曲線の交点であり、ナッシュ均衡点とは異なります。
• 自己利得効果はリスク回避によって緩和される。^{[ 7 ]}プレイヤーは高い利得を過小評価し、高い損失を過大評価する傾向がある。これにより、量子反応曲線が移動し、量子反応均衡点が変化する。これは、有限回繰り返されるゼロサムゲームにおけるリスク回避の無関係性に関する理論的結果と明らかに矛盾する。^{[ 8 ]}

実験室実験の結論は、いくつかの点で批判されてきた。^{[ 9 ] [ 10 ]}

• 実験室で行われるゲームは人工的で単純化されており、現実の行動を模倣するものではない。
• 実験室での実験では報酬が小さいため、被験者は最適な行動をとるインセンティブがあまりない。しかし現実の世界では、市場はそのような非合理的な行動を罰し、プレイヤーをより合理的に行動させる可能性がある。
• 被験者は、金銭的な報酬を最大化すること以外にも、愚かに見られたくない、実験者を喜ばせたいなど、他のことを考慮する。
• 実験室での実験は短時間で終わるため、被験者は最適な戦略を学ぶのに十分な時間がない。

こうした困難を克服するため、多くの研究者がプロスポーツの試合を統計的に分析してきた。これらは非常に高い報酬が得られるゼロサムゲームであり、選手たちはそのエキスパートになるために人生を捧げてきた。こうしたゲームは、戦略的にはコインを合わせるゲームに似ていることが多い。

• サッカーのペナルティキックでは、キッカーには左に蹴るか右に蹴るかの2つの選択肢があり、ゴールキーパーには左にジャンプするか右にジャンプするかの2つの選択肢があります。[ 11 ^{]キッカーが}ゴールを決める確率は、選択肢が一致しない場合の方が高く、選択肢が一致する場合は低くなります。一般的に、各キッカーはより強い足（通常は右足）を持っており、反対方向（左）に蹴った方がチャンスが高いため、利得は非対称です。キッカーとゴールキーパーの行動を詳しく調べたところ、彼らの行動はナッシュ均衡の予測から大きく逸脱していないことがわかりました^{[ 9 ] [ 10 ]}。   
• テニスのサーブ・アンド・リターンで^も状況は似ています。勝率はミニマックス仮説と一致していることがわかっています^が、プレーヤーの選択はランダムではありません。プロのテニスプレーヤーでさえランダム化が得意ではなく、行動を頻繁に切り替えています。

• 奇数と偶数― 同じ戦略構造を持つゲームだが、コインの代わりに指を使ってプレイする。
• じゃんけんは、各プレイヤーが2つではなく3つの戦略を持つ、似たようなゲームです。
• パリティゲーム― 色付きグラフ上でプレイする、より複雑な2人用ロジックゲーム。
• ペニーのゲーム- 悪用可能なシーケンスゲーム