コア（ゲーム理論）

協力ゲーム理論では、コアとは、大連合から離脱してもエージェントの連合が利益を得ることができない、実行可能な割り当てまたは帰属の集合です。コアは、すべてのエージェント間で協力を維持できる状況に対応するものと考えることができます。連合のメンバーが、元の割り当てで割り当てられたよりも多くの価値を自分たちで生み出すことができる場合、連合は実行可能な割り当てを 改善またはブロックすると言われます。そのため、その連合には大連合に留まる動機がありません。

割り当ては、それを改善できる連合がない場合、ゲームの コアにあると言われます。コアとは、実行可能なすべての割り当ての集合です。

コアのアイデアは、エッジワース（1881）の著作にすでに登場しており、当時は契約曲線と呼ばれていました。^[1]フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンはそれを興味深い概念と考えていましたが、彼らはコアが常に空であるゼロサムゲームのみを対象としていました。コアの現代的な定義はギリーズによるものです。^[2]

移転可能な効用 協力ゲームを 考えてみましょう。ここで、 はプレイヤーの集合、 は特性関数です。ある帰属が別の帰属によって支配されるとは、連合 が存在し、その連合 の各プレイヤーが(すべてに対して)を弱く好み、 が( )を厳密に好み、大連合を離脱すると脅すことで( )を形成できる場合です。コアは、他のどの帰属にも支配されない帰属の集合です。^[3]${\displaystyle (N,v)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$${\displaystyle i\in C}$${\displaystyle i\in C}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{i}$${\displaystyle C}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \sum _{i\in C}y_{i}\leq v(C)}$

ある帰属が別の帰属によって強く支配されるとは、連合が存在し、各プレイヤーが(すべてに対して)を厳格に優先することを意味する。弱いコアとは、強く支配されていない帰属の集合である。^[4]${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{i}$${\displaystyle i\in C}$

• 上記と同等の別の定義では、コアは、以下の条件を満たす報酬配分の集合であるとしている。${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$

1. 効率：、${\displaystyle \sum _{i\in N}x_{i}=v(N)}$
2. 連合合理性:すべてのサブセット（連合）に対して。${\displaystyle \sum _{i\in C}x_{i}\geq v(C)}$${\displaystyle C\subseteq N}$

• コアは常に明確に定義されますが、空になることもあります。
• コアは、弱い線形不等式系を満たす集合です。したがって、コアは閉じており、凸です。
• ボンダレヴァ・シャプレー定理：ゲームの核が空でないのは、ゲームが「バランスが取れている」場合のみである。 ^{[5] [6]}
• すべてのワルラス均衡はコア特性を持つが、その逆は当てはまらない。エッジワース予想は、追加の仮定を前提とすると、消費者の数が無限大になるときのコアの極限はワルラス均衡の集合であると述べている。
• プレイヤーがn人いるとします( nは奇数)。少なくとも ( n +1)/2 人のメンバーからなる連合内で 1 単位の財を分配することを提案するゲームには、空のコアがあります。つまり、安定した連合は存在しません。

大きな金塊を発見したn人の鉱夫のグループを考えてみましょう。2人の鉱夫が1つの金塊を運ぶことができる場合、連合Sの利益は

${\displaystyle v(S)={\begin{cases}|S|/2,&{\text{if }}|S|{\text{ is even}};\\(|S|-1)/2,&{\text{if }}|S|{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

マイナーが 2 人以上いて、その数が偶数の場合、コアは各マイナーが 1/2 を受け取る単一の支払いで構成されます。マイナーが奇数の場合、コアは空になります。

AさんとBさんは手袋を編んでいます。手袋はフリーサイズで、2つで1組になり、5ユーロで販売しています。2人はそれぞれ3つの手袋を作りました。販売による収益をどのように分配するのでしょうか。この問題は、次の特性関数を持つ特性関数形式ゲームで説明できます。各人は手袋を3つ持っており、1組の市場価値は5ユーロです。2人を合わせると手袋は6つ、つまり3組になり、市場価値は15ユーロです。シングルトン連合（1人の男性で構成）はゲームで唯一の非自明な連合であるため、両方の男性が少なくとも5ユーロを獲得することを条件として、この合計のすべての可能な分配はコアに属します。これは、彼らが単独で達成できる金額です。たとえば、(7.5、7.5)はコアに属しますが、(5、10)や(9、6)もコアに属します。

今のところ、靴のサイズは無視してください。靴は左足と右足で構成され、10 ユーロで販売できます。2001 人のプレイヤーがいるゲームを考えてみましょう。そのうち 1000 人が左足の靴を 1 足持っていて、1001 人が右足の靴を 1 足持っています。このゲームの核となる部分は、いくぶん驚くべきものです。それは、(不足している) 左足の靴を持っている人に 10 を与え、(供給過剰の) 右足の靴を持っている人に 0 を与える単一の帰属で構成されています。左足の靴の所有者は 10 未満を受け入れないため、どの連合もこの結果を阻止することはできません。また、右足の靴の所有者に正の金額を支払う帰属は、他のプレイヤーに合計 10000 未満を支払う必要があり、他のプレイヤーは自分で 10000 を得ることができます。したがって、核となる部分には 1 つの帰属しかありません。

たとえ選手数を増やしても、選手不足が続く限り、メッセージは同じです。コアチームは、あるタイプの選手の過剰供給に非常に敏感であると批判されてきました。

一般均衡モデルにおける交換経済のワルラス均衡は、エージェント間の協力ゲームの中核にあります。図式的に、2 エージェント経済 (エッジワース ボックスを参照) では、中核は、初期賦存量で定義された各エージェントの無差別曲線の間にある契約曲線 (パレート最適配分のセット) 上の点の集合です。

選択肢が割り当て（消費バンドルのリスト）である場合、任意の空でない個人のサブセットが特定の割り当てをブロックできると想定するのが自然です。ただし、選択肢が公的なもの（特定の公共財の量など）である場合は、十分に大きい連合のみが特定の選択肢をブロックできると想定する方が適切です。このような大きな（「勝利」）連合の集まりは、単純ゲームと呼ばれます。選好プロファイルに関する単純ゲームのコアは、勝利連合のみが代替案を拒否して別の代替案を支持できるという考えに基づいています。すべての選好プロファイルに対してコアが空でないための必要かつ十分な条件は、単純ゲームの ナカムラ数によって提供されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• 協力的な交渉
• 福祉経済学
• パレート効率
• クナスター・クラトフスキー・マズルキエヴィチ・シャプレーの定理- コアが空でないことを証明するのに役立ちます。

• エッジワース、フランシス・イシドロ（1881）。『数学的心霊術：道徳科学への数学の応用に関する試論』ロンドン：CKポール。

• 一石達郎 (1983)「協力行動と安定性」経済分析のためのゲーム理論。ニューヨーク：アカデミック・プレス。pp. 77–117。ISBN 0-12-370180-5。
• オズボーン、マーティン J.、ルビンスタイン、アリエル(1994)。『ゲーム理論講座』MIT 出版。
• Peleg, B (1992)。「コアの公理化」。Aumann , Robert J.、Hart, Sergiu (編)。経済応用のためのゲーム理論ハンドブック。第 1 巻。アムステルダム: Elsevier。pp. 397–412。ISBN 978-0-444-88098-7。
• ショーハム、ヨアブ、レイトンブラウン、ケビン (2009)。マルチエージェントシステム：アルゴリズム、ゲーム理論、論理的基礎。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-89943-7。
• テルサー、レスター・G. ( 1994)。「経済学におけるコア理論の有用性」。経済展望ジャーナル。8 (2): 151–164。doi : 10.1257/jep.8.2.151。