機構設計

メカニズムデザインは、実装理論や制度 設計とも呼ばれ、^[1]経済学、社会的選択、ゲーム理論の一分野であり、与えられた社会的選択機能を実装するためのゲーム形式（またはメカニズム）の設計を扱っています。ゲームの終了（最適な結果）から始めて、それを実装するゲームを見つけるために逆方向に作業するため、逆ゲーム理論と呼ばれることもあります。^[2]

メカニズムデザインは、市場設計などの伝統的な経済学の領域だけでなく、政治科学（投票理論を通じて）やネットワークシステム（ドメイン間ルーティングなど）にも幅広く応用されています。^[2]

メカニズム設計は、私的情報ゲームの一種に対する解決概念を研究する。レオニード・ハーヴィッツは「設計問題では、目標関数が主な既知であり、メカニズムは未知である。したがって、設計問題は、与えられたメカニズムのパフォーマンスの分析に特化している従来の経済理論の逆である」と説明している。^[3]

2007年のノーベル経済学賞は、レオニード・ハーウィッツ、エリック・マスキン、ロジャー・マイヤーソンの3人に「メカニズムデザイン理論の基礎を築いた」として授与された。 ^{[4]この分野を確立した}ウィリアム・ヴィックリーの関連研究により、彼は1996年のノーベル賞を受賞した。

「プリンシパル」と呼ばれる人物は、ゲームのプレイヤーにしか知られていない情報に基づいて自分の行動を条件付けたいと考えています。たとえば、プリンシパルはセールスマンが売り込んでいる中古車の本当の品質を知りたいと考えています。セールスマンに尋ねるだけでは何もわかりません。真実を歪曲することがセールスマンの利益になるからです。しかし、メカニズムの設計では、プリンシパルには 1 つの利点があります。つまり、ルールが他の人に影響を与えて自分の望むように行動するゲームを設計できるのです。

メカニズム設計理論がなければ、プリンシパルの問題を解決するのは困難でしょう。プリンシパルは、考えられるすべてのゲームを検討し、他のプレイヤーの戦術に最も影響を与えるゲームを選択しなければなりません。さらに、プリンシパルは、自分に嘘をつく可能性のあるエージェントから結論を引き出さなければなりません。啓示原理のおかげで、プリンシパルは、エージェントが自分の個人情報を正直に報告するゲームだけを検討すればよいのです。

メカニズム設計のゲームは、プリンシパルと呼ばれるエージェントの 1 人が報酬構造を選択する、プライベート情報のゲームです。Harsanyi (1967) に従って、 エージェントは報酬に関連する情報を含む秘密の「メッセージ」を自然から受け取ります。たとえば、メッセージには、エージェントの好みや販売する商品の品質に関する情報が含まれます。この情報をエージェントの「タイプ」と呼びます (通常は で示され、それに応じてタイプの空間が になります)。次に、エージェントはプリンシパルにタイプを報告します (通常は帽子 で示されます)。これは戦略的な嘘である可能性があります。報告後、プリンシパルとエージェントは、プリンシパルが選択した報酬構造に従って支払いを受けます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

ゲームのタイミングは次のとおりです。

1. プリンシパルは、報告されたタイプの関数として結果を付与するメカニズムにコミットする${\displaystyle y()}$${\displaystyle y}$
2. エージェントは、おそらく不誠実に、タイププロファイルを報告する${\displaystyle {\hat {\theta }}}$
3. メカニズムが実行される（エージェントが結果を受け取る）${\displaystyle y({\hat {\theta }})}$

誰が何を受け取るかを理解するために、結果を商品の割り当てと金銭の移転に分けるのが一般的です。ここで、 はタイプの関数として提供または受け取った商品の割り当てを表し、 はタイプの関数として金銭の移転を表します。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle y(\theta )=\{x(\theta ),t(\theta )\},\ x\in X,t\in T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

ベンチマークとして、設計者は完全な情報のもとで何が起こるべきかを定義することが多い。 （真の）タイププロファイルを受け取ったりレンダリングしたりする商品の割り当てに直接マッピングする社会的選択関数 を定義する。 ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta ):\Theta \rightarrow Y}$

対照的に、メカニズムは報告されたタイププロファイルを結果（ここでも、商品の割り当てと送金の両方） にマッピングします。${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow Y}$

提案されたメカニズムはベイジアンゲーム（秘密情報のゲーム）を構成し、それが適切に機能する場合、ゲームはベイジアンナッシュ均衡を持つ。均衡では、エージェントはタイプに応じて戦略的にレポートを選択する。

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\theta )}$

このような設定でベイジアン均衡を解くのは困難です。なぜなら、エージェントの最善の対応戦略と、考えられる戦略的嘘からの最善の推論を解く必要があるからです。啓示原理と呼ばれる包括的な結果のおかげで、メカニズムに関係なく、設計者は^[5]エージェントがタイプを正直に報告する均衡に注意を限定することができます。啓示原理は、「すべてのベイジアン ナッシュ均衡には、同じ均衡結果を持つベイジアン ゲームが対応しますが、そのゲームではプレイヤーはタイプを正直に報告します」と述べています。

これは非常に便利です。この原理により、すべてのプレイヤーがタイプを正直に報告すると仮定してベイジアン均衡を解くことができます (インセンティブ適合性制約に従う)。これにより、戦略的行動や嘘を考慮する必要がなくなります。

その証明は非常に直接的です。エージェントの戦略と報酬がそのタイプと他のエージェントの行動の関数であるベイジアンゲームを想定します。定義により、エージェントiの均衡戦略は期待効用におけるナッシュです。 ${\displaystyle u_{i}\left(s_{i}(\theta _{i}),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)}$${\displaystyle s(\theta _{i})}$

${\displaystyle s_{i}(\theta _{i})\in \arg \max _{s'_{i}\in S_{i}}\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s'_{i},s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)}$

エージェントが同じ均衡を選択するように誘導するメカニズムを定義するだけです。最も簡単に定義できるのは、エージェントの均衡戦略を実行することをメカニズムに約束させることです。

${\displaystyle y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow S(\Theta )\rightarrow Y}$

この ようなメカニズムの下では、エージェントは当然、メカニズムが最適だと判断した戦略を実行するため、タイプを明らかにすることが最適だと判断する。形式的には、${\displaystyle y(\theta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{i}\in {}&\arg \max _{\theta '_{i}\in \Theta }\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(y(\theta '_{i},\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\\[5pt]&=\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s_{i}(\theta ),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\end{aligned}}}$

メカニズムの設計者は一般的に、

• 社会的選択機能を「実装」するメカニズムを設計する${\displaystyle y()}$
• 何らかの価値基準（例えば利益）を最大化するメカニズムを見つける${\displaystyle y()}$

社会的選択関数を実装することは、エージェントが選択するように動機付ける何らかの伝達関数を見つけることである。正式には、メカニズムの下での均衡戦略プロファイルが社会的選択関数と同じ財の配分にマッピングされる場合、 ${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle t(\theta )}$${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta )=x\left({\hat {\theta }}(\theta )\right)}$

このメカニズムは社会的選択機能を実装していると言えます。

啓示原理のおかげで、デザイナーは通常、関連する真実を告げるゲームを解くことによって社会的選択を実装するための伝達関数を見つけることができます。エージェントがタイプを正直に報告することが最適であると判断した場合、 ${\displaystyle t(\theta )}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\theta )=\theta }$

このようなメカニズムは真に実装可能であると言う。課題は真に実装可能なものを解き、この伝達関数を元のゲームに代入することである。配分が真に実装可能であるのは、次のような伝達関数が存在する場合である。 ${\displaystyle t(\theta )}$${\displaystyle x(\theta )}$${\displaystyle t(\theta )}$

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x({\hat {\theta }}),t({\hat {\theta }}),\theta )\ \forall \theta ,{\hat {\theta }}\in \Theta }$

これはインセンティブ適合性(IC) 制約 とも呼ばれます。

アプリケーションでは、IC 条件は の形状を有用な方法で記述するための鍵となります。特定の条件下では、伝達関数を分析的に分離することもできます。さらに、エージェントがプレイしないオプションを持っている場合は、 参加 (個人の合理性) 制約が追加されることがあります。${\displaystyle t(\theta )}$

すべてのエージェントがタイプに依存する効用関数を持つ設定を考えてみましょう。また、ベクトル値とサイズ（商品の数を許容する）の商品割り当ても考え、その引数に関して区分的に連続していると仮定します。 ${\displaystyle u(x,t,\theta )}$${\displaystyle x(\theta )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

この関数は、以下の場合にのみ実装可能です。 ${\displaystyle x(\theta )}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}\right){\frac {\partial x}{\partial \theta }}\geq 0}$

かつxが で連続である場合は常に です。これは必要条件であり、真実を告げることを前提としたエージェントの最適化問題の 1 次および 2 次条件から導き出されます。 ${\displaystyle x=x(\theta )}$${\displaystyle t=t(\theta )}$${\displaystyle \theta }$

その意味は2つの部分から理解できる。最初の部分は、エージェントの限界代替率（MRS）がタイプの関数として増加すると述べている。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}\right)={\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathrm {MRS} _{x,t}}$

つまり、メカニズムが高位のエージェントタイプにより良い条件を提供しなければ、エージェントは真実を語らない。そうでなければ、高位のエージェントタイプが報告したことを罰するメカニズムに直面した高位のエージェントタイプは嘘をつき、自分は低位のエージェントタイプであると宣言し、真実を語るインセンティブ適合性制約に違反する。2番目の部分は、単調性条件が起こりそうな状況である。^{[説明が必要]}

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \theta }}}$

これが肯定的であるためには、より高次のタイプにより多くの財が与えられなければならないことを意味します。

2 つの部分が相互作用する可能性があります。あるタイプ範囲で、契約が高タイプに少ない数量を提供する場合、メカニズムは高タイプに割引を与えることで補償できる可能性があります。しかし、そのような契約は低タイプのエージェントに対してすでに存在しているため、このソリューションは異常です。このようなソリューションは、メカニズムを解決するプロセスで時々発生します。これらのケースでは、「アイロンがけ」が必要です。複数の財がある環境では、デザイナーがエージェントに報酬として 1 つの財を増やして、別の財を減らすこともできます (例:バターをマーガリンに)。複数の財のメカニズムは、メカニズム設計における継続的な研究分野です。 ${\displaystyle \partial x/\partial \theta <0}$

メカニズム設計論文では通常、実装可能性を確保するために 2 つの仮定が立てられます。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}>0\ \forall k}$

これは、単一交差条件、ソート条件、スペンス・ミルリーズ条件など、いくつかの名前で知られています。これは、効用関数が、エージェントのMRSが増加するような形になっていることを意味します。^{[説明が必要]}

${\displaystyle \exists K_{0},K_{1}{\text{ such that }}\left|{\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\partial u/\partial t}}\right|\leq K_{0}+K_{1}|t|}$

これは、MRS の成長率を制限する技術的な条件です。

これらの仮定は、任意の単調が実装可能であること（それを実装できる が存在すること）を示すのに十分です。さらに、単一財の設定では、単一交差条件は単調のみが実装可能であることを示すのに十分であるため、設計者は検索を単調に限定できます。 ${\displaystyle x(\theta )}$${\displaystyle t(\theta )}$${\displaystyle x(\theta )}$${\displaystyle x(\theta )}$

ヴィックレイ （1961）は、オークションの大きなクラスのどのメンバーも売り手に同じ期待収益を保証し、期待収益は売り手が達成できる最高のものであるという有名な結果を示しています。これは、

1. 買い手は同一の評価関数（タイプ関数である可能性がある）を持っている
2. 購入者のタイプは独立して分布している
3. 購入者のタイプは連続分布から抽出される
4. この型分布は単調なハザード率特性を持つ。
5. この仕組みは、最も高い評価を得た買い手に商品を販売するものである。

最後の条件は定理にとって極めて重要です。つまり、売り手がより高い収益を得るには、より低い評価のエージェントに商品を渡すというリスクを負わなければならないということです。通常、これは売り手が商品をまったく売れないリスクを負わなければならないことを意味します。

Vickrey (1961) のオークション モデルは、その後Clarke (1971) と Grovesによって拡張され、 公共プロジェクトのコストがすべてのエージェントによって負担される公共選択問題 (市営橋を建設するかどうかなど) を扱うようになりました。その結果生まれた「Vickrey-Clarke-Groves」メカニズムは、エージェントが個人的に評価を知っている場合でも、公共財の社会的に効率的な割り当てを選択するようエージェントを動機付けることができます。言い換えると、特定の条件、特に準線形効用の場合や予算均衡が要求されない場合、「コモンズの悲劇」を解決できます。

通貨が線形に評価される私的評価で準線形効用を持つエージェントの数の設定を考えてみましょう。VCG設計者は、真のタイププロファイルを取得するためにインセンティブ互換（したがって、真に実装可能な）メカニズムを設計し、そこから社会的に最適な配分を実装します。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle v(x,t,\theta )}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle x_{I}^{*}(\theta )\in {\underset {x\in X}{\operatorname {argmax} }}\sum _{i\in I}v(x,\theta _{i})}$

VCG メカニズムの巧妙さは、真実の開示を促す方法にあります。エージェントが引き起こした歪曲のコストによってエージェントにペナルティを課すことで、誤った報告をする動機を排除します。エージェントが行う報告の中で、VCG メカニズムは、彼が公共の利益に無関心であり、お金の移転のみを気にしているという「ヌル」報告を許可します。これにより、エージェントは事実上ゲームから排除されます。エージェントがタイプを報告することを選択した場合、VCG メカニズムは、その報告が重要な場合、つまり、その報告が他のエージェントに損害を与えるように最適な割り当てx を変更する場合、エージェントに料金を請求します。支払いは次のように計算されます。

${\displaystyle t_{i}({\hat {\theta }})=\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I-i}^{*}(\theta _{I-i}),\theta _{j})-\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I}^{*}({\hat {\theta }}_{i},\theta _{I}),\theta _{j})}$

これは、1 人のエージェントが報告することによって生じた他のエージェントの効用 (自分自身の効用ではない) の歪みを合計したものです。

ギバード (1973) とサッタースウェイト(1975) は、アローの不可能定理 と精神において類似した不可能性の結果を示しています。非常に一般的なクラスのゲームでは、「独裁的」な社会的選択機能のみが実装可能です。

社会選択関数f ()は、ある主体が常に最も好ましい財の配分を受ける場合、 独裁的である。

${\displaystyle {\text{for }}f(\Theta ){\text{, }}\exists i\in I{\text{ such that }}u_{i}(x,\theta _{i})\geq u_{i}(x',\theta _{i})\ \forall x'\in X}$

この定理は、一般的な条件下では、真に実行可能な社会的選択関数は、以下の条件を満たす場合には独裁的である必要があると述べている。

1. Xは有限であり、少なくとも3つの要素を含む
2. 好みは合理的である
3. ${\displaystyle f(\Theta )=X}$

マイヤーソンとサッタースウェイト（1983）は、2つの当事者がそれぞれ秘密かつ確率的に異なる商品の価値を持っている場合、一方が損失を被るリスクを負わずに商品を取引する効率的な方法は存在しないことを示している。これは経済学における最も顕著な否定的な結果の1つであり、厚生経済学の基本定理の一種の否定的な鏡である。

フィリップスとマーデン（2018）は、凹コスト関数を持つコストシェアリングゲームの場合、まずゲームにおける最悪の非効率性（無政府状態のコスト）を最適化し、次に最良の結果（安定のコスト）を最適化する最適なコストシェアリングルールは、まさにシャプレー値のコストシェアリングルールであることを証明しました。^[6]対称的なステートメントは、凸効用関数を持つ効用シェアリングゲームでも同様に有効です。

Mirrlees (1971)は、伝達関数t ()を簡単に解くことが できる設定を導入しています。その関連性と扱いやすさから、文献では一般的な設定となっています。エージェントが未知のタイプパラメータを持つ準線形効用を持つ単一財、単一エージェントの設定を考えてみましょう。${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle u(x,t,\theta )=V(x,\theta )-t}$

そして、プリンシパルはエージェントのタイプに対して事前CDFを持っています。プリンシパルは凸限界費用c（x）で商品を生産することができ、取引からの期待利益を最大化したいと考えています 。${\displaystyle P(\theta )}$

${\displaystyle \max _{x(\theta ),t(\theta )}\mathbb {E} _{\theta }\left[t(\theta )-c\left(x(\theta )\right)\right]}$

ICおよびIR条件に従う

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x(\theta '),t(\theta '),\theta )\ \forall \theta ,\theta '}$

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq {\underline {u}}(\theta )\ \forall \theta }$

ここでの主体は、顧客のタイプを識別できない状態で利益を最大化する価格体系を設定しようとする独占企業です。一般的な例としては、ビジネス、レジャー、学生の旅行者向けに運賃を設定する航空会社が挙げられます。IR 条件により、参加を促すには、すべてのタイプの顧客に十分に良い取引を提供する必要があります。IC 条件により、すべてのタイプの顧客に、そのタイプが他のどの取引よりも自社の取引を好むほど十分に良い取引を提供する必要があります。

ミルリーズ（1971）が示したトリックは、エンベロープ定理を使用して、伝達関数を最大化される期待値から除去することです。

${\displaystyle {\text{let }}U(\theta )=\max _{\theta '}u\left(x(\theta '),t(\theta '),\theta \right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{d\theta }}={\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\partial V}{\partial \theta }}}$

統合、

${\displaystyle U(\theta )={\underline {u}}(\theta _{0})+\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}}$

ここで、は何らかのインデックス型です。最大項の インセンティブ両立性を置き換えると、${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle t(\theta )=V(x(\theta ),\theta )-U(\theta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\\&{}=\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\end{aligned}}}$

部分積分後。この関数は点ごとに最大化できます。

はすでにインセンティブ両立性があるため、設計者は IC 制約を削除できます。効用関数が Spence–Mirrlees 条件を満たす場合、単調関数が存在します。IR 制約は均衡時にチェックでき、それに応じて料金表を上げたり下げたりできます。また、式にハザード率が存在することに注意してください。タイプ分布が単調ハザード比特性を持つ場合、FOC はt () を解くのに十分です。そうでない場合は、単調性制約 (上記の十分性を参照) が割り当てと料金表のあらゆる場所で満たされているかどうかを確認する必要があります。そうでない場合、設計者は Myerson アイロニングを使用する必要があります。 ${\displaystyle U(\theta )}$${\displaystyle x(\theta )}$

アプリケーションによっては、設計者が価格と割り当てスケジュールの一次条件を解いたとしても、単調ではないことが分かる場合があります。たとえば、準線形設定では、ハザード比自体が単調でない場合に、このようなことがよく起こります。Spence-Mirrlees 条件により、最適な価格と割り当てスケジュールは単調でなければならないため、設計者はスケジュールの方向が変わる間隔を平坦化して排除する必要があります。

直感的に言えば、デザイナーは特定のタイプをまとめて同じ契約を結ぶのが最適だと判断しているのです。通常、デザイナーはより優れたタイプにより良い条件を与えることで、差別化を図ります。マージン上のより優れたタイプが十分に少ない場合、デザイナーはより優れたタイプにタイプ固有の契約を課すために、より低いタイプに譲歩 (情報料と呼ばれる) を与えることに価値を感じません。

上記の例のように、準線形効用を持つエージェントに販売する独占プリンシパルについて考えます。第 1 次条件を満たす割り当てスケジュールには、右に示すように、に単一の内部ピークと に単一の内部谷があるとします。 ${\displaystyle x(\theta )}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}>\theta _{1}}$

• Myerson (1981) に従って、を満たす を選択してこれを平坦化します。ここで、 はへの x の逆関数であり、は への x の逆関数です。つまり、 は内部ピークの前にを返し、内部谷の後にを返します。${\displaystyle x}$$${\displaystyle \int _{\phi _{2}(x)}^{\phi _{1}(x)}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)d\theta =0}$$${\displaystyle \phi _{1}(x)}$${\displaystyle \theta \leq \theta _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}(x)}$${\displaystyle \theta \geq \theta _{2}}$${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \theta }$
• の非単調な領域がタイプ空間の端に接する場合は、適切な関数 (または両方) を境界タイプに設定するだけです。複数の領域がある場合は、反復手順について教科書を参照してください。複数の谷をアイロンでまとめる必要がある場合があります。${\displaystyle x(\theta )}$${\displaystyle \phi (x)}$

証明には最適制御理論が用いられる。これは、スケジュールを平坦化できる非単調領域内の区間集合を考慮する。次に、区間内の 必要条件を得るためのハミルトニアンを書く。${\displaystyle \left[{\underline {\theta }},{\overline {\theta }}\right]}$${\displaystyle x(\theta )}$${\displaystyle x(\theta )}$

1. それは単調性を満たす
2. 単調性制約が区間の境界に拘束力を持たない

条件 2 は、最適制御問題を満たすことが、間隔の境界で元の問題のスケジュールに再接続すること (ジャンプなし) を保証します。必要な条件を満たすものは、単調でありながら境界で再接続する必要があるため、平坦でなければなりません。 ${\displaystyle x(\theta )}$${\displaystyle x(\theta )}$

前回と同様に、元本の期待利得を最大化するが、今回は単調性制約に従う。

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \theta }}\geq 0}$

ハミルトニアンを使って影の価格を算出します${\displaystyle \nu (\theta )}$

${\displaystyle H=\left(V(x,\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}(x,\theta )-c(x)\right)p(\theta )+\nu (\theta ){\frac {\partial x}{\partial \theta }}}$

ここで は状態変数であり、制御である。最適制御では通常、共状態進化方程式は ${\displaystyle x}$${\displaystyle \partial x/\partial \theta }$

${\displaystyle {\frac {\partial \nu }{\partial \theta }}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)p(\theta )}$

条件2を利用すると、単調性制約は区間の境界では拘束されないことに注意する。 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \nu ({\underline {\theta }})=\nu ({\overline {\theta }})=0}$

つまり、共状態変数条件は積分可能であり、0に等しい。

${\displaystyle \int _{\underline {\theta }}^{\overline {\theta }}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)p(\theta )\,d\theta =0}$

元本剰余の平均歪みは 0 でなければなりません。スケジュールを平坦化するには、その逆イメージが上記の条件を満たす区間にマッピングされるようなものを見つけます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$

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• エリック・マスキンの「ノーベル賞講演」は、2007 年 12 月 8 日にストックホルム大学のAula Magnaで行われました。