有限ゲーム

ゲーム理論において、有限ゲーム（時には基礎ゲーム^{[ 1 ]}またはウェルファウンデッドゲーム^{[ 2 ]}とも呼ばれる）とは、有限回の手数で必ず終了する2人対戦ゲームのことである。有限ゲームは、無限の数の可能性や無制限の数の手数を持つ場合もあるが、有限回のターンで必ず終了することが保証されている。^{[ 3 ]}

ウィリアム・ズウィッカーは、ゲームGが次の 5 つの条件を満たす場合に、完全に有限であると定義しました。 ^{[ 4 ]}

1. プレイヤーIとプレイヤーIIの2人が交互に駒を動かし、Iが先手となる。両者は互いの動きを完全に把握している。
2. 偶然の要素は一切ない。
3. 引き分けはありません（ Gのプレイが完了した時点で、勝者は1人です）。
4. すべてのゲームは有限回のプレイで終了する。
5. Gのプレイのどの時点においても、次の手として合法的に可能な手は有限個しかない。

• 三目並べ
• チェス^{[ 5 ]}
• チェッカーズ
• ポーカー
• プレイヤー1が任意の数字を選んで即座に勝利するゲーム（これは無限の可能性を持つ有限ゲームの一例です）^{[ 3 ]}
• プレイヤー1が任意の数Nを指定し、その後N手が経過しても何も起こらず、プレイヤー1が勝利するゲーム（これは、無限の手数を持つ有限ゲームの例である）^{[ 3 ]}

スーパーゲームは、ウィリアム・ズウィッカーによって考案された有限ゲームの変種である。ズウィッカーはスーパーゲームを以下のルールを持つものと定義した。

「最初のターンで、私は任意の完全有限ゲームG (サブゲームと呼ばれる) を指定します。その後、プレイヤーはGをプレイし、Gがプレイされている間、 IIはIの役割を果たします。サブゲームのプレイの勝者がスーパーゲームのプレイの勝者と宣言されます。」^{[ 4 ]}

ツヴィッカーは、スーパーゲームは完全有限ゲームの特性1～4を満たすが、特性5は満たさないと指摘している。彼はこのタイプのゲームをある程度有限であると定義している。^{[ 4 ]}

ハイパーゲームは、最初のターンで任意の有限ゲームを指定できる点を除いて、スーパーゲームと同じルールを持つ。ハイパーゲームは、ラッセルのパラドックスやカントールのパラドックスのような自己言及的な集合論的パラドックスである「ハイパーゲームのパラドックス」と密接に関連している。^{[ 2 ]}

ハイパーゲームのパラドックスは、 「ハイパーゲームはいくらか有限か？」という問いに答えようとすることから生じる。ツヴィッカーが指摘するように、このパラドックスは条件1～4を満たし、スーパーゲームと同様にいくらか有限である。^{[ 2 ]} しかし、ハイパーゲームがいくらか有限なゲームであるならば、両プレイヤーがハイパーゲームをサブゲームとして永遠に選択し続けることで、プレイは無限に続く可能性がある。この無限性は特性4に違反しているように見え、ハイパーゲームはいくらか有限ではないことになる。これがパラドックスである。^{[ 1 ]}