ゲーム理論の用語集

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ゲーム理論は、ゲーム、つまり人間の行動を記述するモデルを研究する数学の分野です。これは、ゲーム理論に関する用語集です。

実数

${\displaystyle \mathbb {R} }$。

プレイヤーのセット

${\displaystyle \mathrm {N} }$。

戦略スペース

${\displaystyle \Sigma \ =\prod _{i\in \mathrm {N} }\Sigma \ ^{i}}$、 どこ

プレイヤーiの戦略空間

${\displaystyle \Sigma \^{i}}$プレイヤーがゲームをプレイできるすべての可能な方法の空間です。

プレイヤーiの戦略

${\displaystyle \sigma \_{i}}$ は の要素です 。 ${\displaystyle \Sigma \^{i}}$

補足

${\displaystyle \sigma \_{-i}}$ の要素は、 i以外のすべてのプレイヤーの戦略のタプルです。 ${\displaystyle \Sigma \^{-i}=\prod _{j\in \mathrm {N} ,j\neq i}\Sigma \^{j}}$

結果スペース

${\displaystyle \ガンマ}$ほとんどの教科書では以下と同一である -

報酬

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathrm {N} }}$ゲームの終了までにプレイヤーにどれだけの利益（お金、喜びなど）が割り当てられるかを説明します。

正規形のゲームは次の関数です。

${\displaystyle \pi \ :\prod _{i\in \mathrm {N} }\Sigma \ ^{i}\to \mathbb {R} ^{\mathrm {N} }}$

プレイヤーが選択した戦略の組が与えられると、支払いの割り当て（実数として与えられる）が与えられます。

ゲームを2 つの関数の構成に 分割することで、さらに一般化できます。

${\displaystyle \pi \ :\prod _{i\in \mathrm {N} }\Sigma \ ^{i}\to \Gamma }$

ゲームの 結果関数（一部の著者はこの関数を「ゲーム形式」と呼んでいます）、および：

${\displaystyle \nu \ :\Gamma \ \to \mathbb {R} ^{\mathrm {N} }}$

ゲームの各結果に対するプレイヤーへの 報酬（または好み）の割り当て。

これは木によって与えられ、木の各頂点では異なるプレイヤーが辺を選択する選択肢を持ちます。拡張形式ゲームの結果セットは通常、木の葉のセットです。

プレイヤーが連合を組むことができる（そして連合の規律を強制できる）ゲーム。協力ゲームは、各連合の価値を述べることによって与えられます。

${\displaystyle \nu \ :2^{\mathbb {P} (N)}\to \mathbb {R} }$

空の連合は常にゼロの利益を得ると想定されます。協力ゲームのソリューション コンセプトでは通常、プレーヤーが大連合 を形成し、その価値がプレーヤー間で分割されて割り当てが行われると想定されます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \nu (N)}$

シンプル ゲームは協力ゲームの簡略化された形式であり、可能な利得は '0' または '1' のいずれかであると想定されます。シンプル ゲームはカップル ( N、W ) であり、W は戦利品 ('1') を獲得できる「勝利」連合のリストであり、 Nはプレイヤーの集合です。

許容できるゲーム

あらゆる可能な選好プロファイルに対して、ゲームが純粋ナッシュ均衡を持ち、そのすべてがパレート効率的であるようなゲーム形式です。

商品の割り当て

は関数です。配分は、ゲームのさまざまな結果に応じてプレイヤーに与えられる財（たとえばお金）を決定するための基本的なアプローチです。${\displaystyle \nu \ :\Gamma \ \to \mathbb {R} ^{\mathrm {N} }}$

ベストリプライ

与えられた補足に対する最善の応答は、 プレイヤーi の支払いを最大化する戦略です。 正式には、次のようになります。${\displaystyle \sigma \ _{-i}}$${\displaystyle \tau \ _{i}}$
${\displaystyle \forall \sigma \ _{i}\in \ \Sigma \ ^{i}\quad \quad \pi \ (\sigma \ _{i},\sigma \ _{-i})\leq \pi \ (\tau \ _{i},\sigma \ _{-i})}$

連合

はプレイヤーの集合の任意の部分集合です。${\displaystyle \mathrm {S} \subseteq \mathrm {N} }$

コンドルセ賞受賞者

結果空間上の選好 νが与えられた場合、すべての非ダミープレイヤーが他のすべての結果よりも結果a を好む場合、結果aはコンドルセ勝者となります。

決定可能性

ゲーム理論に関連して、ゲームが解けるかどうかの答えを返すことができるアルゴリズムの存在に関する問題を指します。^[1]

決定性

集合論のサブフィールドで、ゲームのどちらかのプレイヤーが勝利戦略を持つ条件と、そのような戦略の存在の結果を調べます。集合論で研究されるゲームは、ゲール・スチュワート ゲームです。これは、プレイヤーが無限のシーケンスの動きを行い、引き分けがない、完全情報の 2 人用ゲームです。

決まったゲーム（または厳密に決まったゲーム）

ゲーム理論では、厳密に決定されたゲームとは、両方のプレイヤーが純粋な戦略を使用し、少なくとも1つのナッシュ均衡を持つ2人のプレイヤーのゼロ和ゲームである。^{[2] [3]}

独裁者

他のプレイヤーに関係なく、どんな結果も保証できる場合、そのプレイヤーは強い独裁者です。どんな結果も保証できるが、そのための戦略が補完戦略ベクトルに依存する場合、弱い独裁者です。当然、強い独裁者は弱い独裁者です。正式には、次の場合、nは強い独裁者です。次の場合、mは弱い独裁者です。${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \forall a\in \mathrm {A} ,\;\exists \sigma \ _{n}\in \Sigma \ ^{n}\;s.t.\;\forall \sigma \ _{-n}\in \Sigma \ ^{-n}:\;\Gamma \ (\sigma \ _{-n},\sigma \ _{n})=a}$

${\displaystyle \forall a\in \mathrm {A} ,\;\forall \sigma \ _{-m}\in \Sigma \ ^{-m}\;\exists \sigma \ _{m}\in \Sigma \ ^{m}\;s.t.\;\Gamma \ (\sigma \ _{-m},\sigma \ _{m})=a}$

別の言い方をすると次のようになります。

強力な独裁者はあらゆる可能性のある結果に対して効果的です。${\displaystyle \alpha }$

弱い独裁者はあらゆる可能性のある結果に対して効果的です。${\displaystyle \beta }$

ゲームには、強い独裁者が1 人しか存在できません。ゲームによっては、弱い独裁者が複数存在する場合があります(じゃんけんでは、両方のプレイヤーが弱い独裁者ですが、強い独裁者はいません)。

有効性も参照してください。反意語:ダミー。

支配的な結果

結果空間上の選好 νが与えられたとき、すべてのプレイヤーが結果 a を好む場合、結果bは結果aに支配されている（したがってb が支配戦略である）と言います。さらに、あるプレイヤーがaよりもb を厳密に好む場合、 aは厳密に支配されていると言います。正式には、支配については 、厳密な支配については です。結果aが（厳密に）支配されているとは、それが他の何らかの結果によって（厳密に）支配されているということです。結果a が連合Sに対して支配されているとは、 Sのすべてのプレイヤーがaよりも他の何らかの結果を好むということです。コンドルセ勝者も参照してください。
${\displaystyle \forall j\in \mathrm {N} \;\quad \nu \ _{j}(a)\leq \ \nu \ _{j}(b)}$
${\displaystyle \exists i\in \mathrm {N} \;s.t.\;\nu \ _{i}(a)<\nu \ _{i}(b)}$

支配戦略

任意の補戦略タプル に対して、プレイヤーi がをプレイすることで利益を得る場合、その戦略 は 戦略 によって（強く）支配されているといいます。正式には、かつ です。戦略σが（厳密に）支配されているとは、他の何らかの戦略によって（厳密に）支配されているということです。${\displaystyle \tau \ _{i}}$${\displaystyle \sigma \ _{-i}}$${\displaystyle \tau \ _{i}}$
${\displaystyle \forall \sigma \ _{-i}\in \ \Sigma \ ^{-i}\quad \quad \pi \ (\sigma \ _{i},\sigma \ _{-i})\leq \pi \ (\tau \ _{i},\sigma \ _{-i})}$
${\displaystyle \exists \sigma \ _{-i}\in \ \Sigma \ ^{-i}\quad s.t.\quad \pi \ (\sigma \ _{i},\sigma \ _{-i})<\pi \ (\tau \ _{i},\sigma \ _{-i})}$

ダミー

プレイヤーiがゲームの結果に影響を与えない場合、そのプレイヤー i はダミーです。つまり、ゲームの結果がプレイヤーi の戦略に左右されない場合です。

反意語:言う、拒否する、独裁者。

効果

連合（または単独のプレイヤー）S は、ゲームの結果をaに強制できる場合、aに対して効果的 です。Sのメンバーが戦略 st を持っている場合、 S はα 効果的です。Sの補集合が何をしても、結果はaになります。

Sの補集合の任意の戦略に対して、 Sのメンバーが結果aを保証する戦略で応答できる場合、 Sは β 有効です。

有限ゲーム

有限の数のプレイヤーがいて、各プレイヤーが有限の戦略を持つゲームです。

大連立政権

すべてのプレイヤーを含む連合を指します。協力ゲームでは、大連合が形成されると想定されることが多く、ゲームの目的は安​​定した帰属を見つけることです。

混合戦略

プレイヤーiに対しては上の確率分布Pがあります。プレイヤーi はPに従ってランダムに戦略を選択することがわかります。${\displaystyle \Sigma \ ^{i}}$

混合ナッシュ均衡

純粋ナッシュ均衡と同じで、混合戦略の空間で定義されます。すべての有限ゲームには混合ナッシュ均衡が存在します。

パレート効率

ゲーム形式πの結果aは、すべての 選好プロファイルにおいて非劣勢である場合に、（強く）パレート効率的である。

好みのプロフィール

は関数です。これは、ゲームの結果を説明する順序的なアプローチです。選好は、プレイヤーがゲームの可能な結果にどの程度「満足」しているかを説明します。財の割り当てを参照してください。${\displaystyle \nu \ :\Gamma \ \to \mathbb {R} ^{\mathrm {N} }}$

純粋ナッシュ均衡

ゲームの戦略空間の要素は、他のプレイヤーが でプレイしている場合に、どのプレイヤーも自分の戦略から逸脱することで利益を得ることができない場合、純粋ナッシュ均衡点と呼ばれます。正式には、です。均衡点は支配されません。${\displaystyle \sigma \ =(\sigma \ _{i})_{i\in \mathrm {N} }}$${\displaystyle \sigma \ _{i}}$${\displaystyle \sigma }$
${\displaystyle \forall i\in \mathrm {N} \quad \forall \tau \ _{i}\in \ \Sigma \ ^{i}\quad \pi \ (\tau \ ,\sigma \ _{-i})\leq \pi \ (\sigma \ )}$

言う

プレイヤーi がDummyでない場合、つまり補完戦略の組がある場合、 st π (σ_i) は定数関数ではない場合、プレイヤーiにはSayがあります。

反意語:ダミー。

シャノン数

チェスのゲームツリーの複雑さの控えめな下限値（10 ¹²⁰）。

解決したゲーム

すべてのプレイヤーが完璧にプレイすると仮定して、結果（勝ち、負け、引き分け）を正確に予測できるゲーム。

価値

ゲームの価値とは、合理的に期待される結果です。価値にはいくつかの定義があり、ゲームの解決方法を得るためのさまざまな方法を説明します。

拒否

拒否権は、特定の選択肢がゲームの結果となることを防ぐプレイヤーの能力（または権利）を表します。その能力を持つプレイヤーは拒否権プレイヤーと呼ばれます。

反意語:ダミー。

許容できるゲーム

純粋ナッシュ均衡を持ち、その一部はパレート効率的であるゲームです。

ゼロサムゲーム

は、さまざまな結果にわたって配分が一定であるゲームです。正式には、定数はゼロであると想定できます。ゼロサムゲームでは、1人のプレイヤーの利益は別のプレイヤーの損失です。ほとんどの古典的なボードゲーム（チェス、チェッカーなど）はゼロサムです。
${\displaystyle \forall \gamma \ \in \Gamma \ \sum _{i\in \mathrm {N} }\nu \ _{i}(\gamma \ )=const.}$

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