架空の遊び

ゲーム理論において、架空のプレイはジョージ・W・ブラウンが初めて導入した学習ルールです。このルールでは、各プレイヤーは対戦相手が定常戦略（おそらく混合戦略）でプレイしていると想定します。各ラウンドで、各プレイヤーは対戦相手のプレイの実験頻度に最もよく対応します。もちろん、このような方法は対戦相手が定常戦略を使用している場合には適切ですが、対戦相手の戦略が非定常である場合は不適切です。対戦相手の戦略は、たとえば架空のプレイヤーの最後の動きに条件付けられる場合があります。

ブラウンは、ナッシュ均衡プレイの説明として、架空のプレイを初めて導入しました。彼は、プレイヤーが頭の中でゲームのプレイを「シミュレート」し、このシミュレーションに基づいて将来のプレイを更新すると想像しました。これが架空のプレイという名前です。現在の使用法では、この名前は少々不正確な呼び方です。なぜなら、ゲームの各プレイは実際に発生するからです。プレイは、正確には架空のものではありません。

架空のプレイでは、厳密なナッシュ均衡は吸収状態です。つまり、任意の時点ですべてのプレイヤーがナッシュ均衡をプレイする場合、その後のすべてのラウンドでもその状態になります。(Fudenberg and Levine 1998、命題 2.1) さらに、架空のプレイが任意の分布に収束する場合、それらの確率は基礎となるゲームのナッシュ均衡に対応します。(命題 2.2)

したがって、興味深い疑問は、どのような状況で架空のプレイが収束するかということです。2 人ゲームの場合、プロセスは次の場合に収束します。

1. 両プレイヤーの戦略は有限であり、ゲームはゼロサムである（ロビンソン 1951）
2. このゲームは、厳密に支配された戦略の反復消去によって解くことができる(Nachbar 1990)
3. ゲームは潜在的なゲームである(Monderer and Shapley 1996-a,1996-b)
4. このゲームは一般的な報酬を持ち、2 ×  Nである（Berger 2005）

しかし、架空のプレイは常に収束するわけではありません。Shapley (1964) は、ここに示したゲーム (じゃんけんの非ゼロ和バージョン) では、プレイヤーが最初に(a, B)を選択した場合、プレイは無限に循環することを証明しました。

バーガー (2007) は、「現代のゲーム理論家が『架空の遊び』と表現するものは、ジョージ・W・ブラウンが 1951 年の論文で定義した学習プロセスではない」と述べています。ブラウンの「オリジナル版は、現代の用法ではプレイヤーが同時に信念を更新するのに対し、ブラウンはプレイヤーが交互に更新すると説明している点で、微妙な違いがあります」。次にバーガーは、ブラウンのオリジナルの形式を使用して、2 人のプレイヤーが非退化順序ポテンシャル ゲームの場合の収束の単純で直感的な証明を示します。

「架空の」という用語は、ゲーム理論では以前別の意味を与えられていました。フォン・ノイマンとモルゲンシュテルン [1944] は、「架空のプレイヤー」を、n 人のプレイヤーのゲームに追加して ( n  + 1) 人のプレイヤーのゼロサム ゲーム にする、1 つの戦略のみを持つプレイヤーと定義しました。

• Berger, U. (2005)「2xNゲームにおける架空のプレイ」、経済理論ジャーナル120、139-154。
• バーガー、U. (2007)「ブラウンのオリジナルの架空の演劇」経済理論ジャーナル135:572–578
• Brown, GW (1951)「架空の遊びによるゲームの反復的解決」生産と配分の活動分析、TC Koopmans (編)、ニューヨーク: Wiley。
• Fudenberg, D. および DK Levine (1998)ゲームにおける学習理論Cambridge: MIT Press.
• Monderer, D.、および Shapley, LS (1996-a)「潜在的なゲーム」、Games and Economic Behavior 14、124-143。
• Monderer, D.、およびShapley, LS (1996-b)「同一の利益を持つゲームに対する架空のプレイ特性」 Wayback Machineで2021-05-13にアーカイブされました、Journal of Economic Theory 68、258–265。
• Nachbar, J. (1990)「ゲームにおける進化的選択ダイナミクス：収束と限界特性」、国際ゲーム理論ジャーナル19、59–89。
• フォン・ノイマンとモルゲンシュテルン（1944年）、「ゲームと経済行動の理論」、プリンストンおよびウッドストック：プリンストン大学出版局。
• ロビンソン、J. (1951)「ゲームを解く反復法」、Annals of Mathematics 54、296–301。
• Shapley L. (1964)「2人ゲームに関するいくつかのトピック」『ゲーム理論の進歩』 M. Dresher、LS Shapley、AW Tucker (編)、プリンストン: プリンストン大学出版局。

• 架空のプレイを使ったポーカーのゲーム理論的解決