アラン・ギバード

メカニズム設計と社会選択理論の分野において、「ギバードの定理」は1973年にギバードによって証明された結果である。^{[ 2 ]}この定理は、集団的意思決定の決定論的プロセスにおいては、次の3つの特性のうち少なくとも1つが成り立たなければならないと述べている。

1. このプロセスは独裁的である。つまり、結果を強制できる特別な主体が存在する。
2. このプロセスでは、起こりうる結果は2つの選択肢のみに限定されます。
3. このプロセスは戦略的投票に開かれている。つまり、あるエージェントが自分の好みを特定した後、他のエージェントの行動に関係なく、その好みを最もよく守るための行動が自分には存在しない可能性がある。

この定理の系として、投票規則に関するギバード＝サタースウェイトの定理があります。両者の主な違いは、ギバード＝サタースウェイトの定理は順位付けされた（順序付けられた）投票規則に限定されている点です。投票者の行動は、利用可能な選択肢に対して優先順位を付けることにあります。ギバードの定理はより一般的で、順序付けされていない可能性のある集団的意思決定のプロセスも考慮します。例えば、投票者が候補者に評価を与える投票システム（基数投票）などです。ギバードの定理は、アローの不可能性定理を用いて証明できます。

ギバードの定理は、ギバードの1978年の定理^{[ 11 ]}とハイランドの定理によって一般化されており、これらの定理は、結果がエージェントの行動だけでなく偶然の要素も含む非決定論的プロセスにこれらの結果を拡張しています。ギバードの定理は、集団的決定の結果、勝者がちょうど1人になることを前提としており、複数勝者投票には適用されません。

社会選択理論において、ギバード＝サタースウェイト定理は、1973年にギバード^{[ 12 ]}が、 1975年に経済学者のマーク・サタースウェイト^{[ 13 ]}がそれぞれ独立に発表した結果である。これは、単一の勝者を選ぶ決定論的な順序選挙制度に関するもので、あらゆる投票規則において、次の3つのうちいずれか1つが成り立つ必要があると述べている。

1. このルールは独裁的である。つまり、勝者を選ぶことができる特別な投票者が存在する。
2. このルールは、可能な結果を​​2つの選択肢のみに制限します。
3. このルールは戦術的な投票に利用されやすい。つまり、特定の状況下では、投票者の誠実な投票が必ずしもその意見を最も適切に擁護するとは限らない。

この定理の適用範囲は順序投票に限定されていますが、ギバードの定理はより一般的で、順序的ではない集団的意思決定プロセス、例えば有権者が候補者に評価を与える投票システムなども扱います。ギバードの1978年の定理とハイランドの定理はさらに一般的で、これらの結果を非決定論的プロセス、つまり結果が有権者の行動だけでなく偶然性も含むプロセスにまで拡張しています。