ブラウワーの不動点定理

関数を考えてみましょう

${\displaystyle f(x)=x+1}$

ドメイン付き${\displaystyle [-1,1]}$関数の値域は${\displaystyle [0,2]}$したがって、f は自己準同型ではない。

関数を考えてみましょう

${\displaystyle f(x)=x+1,}$

これは連続関数です${\displaystyle \mathbb {R} }$それ自体に対して。すべての点を右に移動させるので、固定点を持つことはできません。空間${\displaystyle \mathbb {R} }$凸関数で閉関数であるが、有界ではない。

関数を考えてみましょう

${\displaystyle f(x)={\frac {x+1}{2}},}$

これは開区間からの連続関数です${\displaystyle (-1,1)}$それ自体に。その時点から${\displaystyle x=1}$は区間の一部ではないので、定義域内には、${\displaystyle f(x)=x}$セット${\displaystyle (-1,1)}$は凸関数で有界であるが、閉関数ではない。一方、関数は${\displaystyle f}$閉区間 内に固定点を持つ${\displaystyle [-1,1]}$すなわち${\displaystyle x=1}$閉区間${\displaystyle [-1,1]}$コンパクトで、開区間${\displaystyle (-1,1)}$そうではない。

ブロワーの不動点定理には、凸性は厳密には必要条件ではない。関連する性質（連続性、不動点であること）は同相写像の下で不変であるため、ブロワーの不動点定理は、領域が閉じた単位球であることを要求される形式と同等である。${\displaystyle D^{n}}$同じ理由で、閉じた球と同相なすべての集合（したがって、閉じていて、有界で、連結していて、穴がないなど）についても、このことが成り立ちます。

次の例は、穴のある領域ではブロウワーの不動点定理が機能しないことを示しています。関数を考えてみましょう。${\displaystyle f(x)=-x}$これは単位円からそれ自身への連続関数です。${\displaystyle -x\neq x}$単位円の任意の点に対して成り立つ。${\displaystyle f}$固定点はありません。同様の例は、${\displaystyle n}$次元球（または原点を含まない任意の対称領域）。単位円は閉じていて境界がありますが、穴があります（したがって凸ではありません）。関数${\displaystyle f}$単位円盤には固定点が存在する。なぜなら、単位円盤は原点を自身に合わせるからである。

「穴のない」領域に対するブロワーの不動点定理の形式的な一般化は、レフシェッツの不動点定理から導き出すことができる。^{[ 11 ]}

この定理における連続関数は、全単射または全射である必要はない。

この定理は、ブロウワーが高級コーヒーを一杯観察したことに由来すると考えられている。^{[ 12 ]} 砂糖の塊をかき混ぜて溶かすと、常に動かない点があるように見える。彼は、どの瞬間にも表面上に動かない点があるという結論を導き出した。^{[ 13 ]} 乱流の中心が少し動くため、固定点は必ずしも動かないように見える点ではない。別の固定点が現れると元の固定点が動くようになる可能性があるため、この結果は直感的ではない。

ブロウワーは次のように付け加えたと言われている。「この素晴らしい結果を別の形で定式化することもできます。水平な紙を1枚用意し、もう1枚の同じ紙をくしゃくしゃにして平らにし、その上に重ねます。すると、くしゃくしゃにした紙の点が、もう1枚の紙の点と同じ位置になります。」^{[ 13 ]} ブロウワーは、折り目やしわを取り除かずに、まるでアイロンで紙を「平らにする」ようにしています。コーヒーカップの例とは異なり、くしゃくしゃにした紙の例は、複数の不動点が存在する可能性があることも示しています。この点が、一意性を保証するシュテファン・バナッハの定理など、他の不動点定理とブロウワーの結果を区別する点です。

一次元の場合、結果は直感的で証明も容易です。連続関数fは閉区間 [ a , b ] で定義され、同じ区間の値をとります。この関数が不動点を持つということは、そのグラフ (右図の濃い緑色) が、同じ区間 [ a , b ] で定義され、x を x に写像する関数 (薄い緑色) のグラフと交差することを意味します。  

直感的に、正方形の左端から右端までの連続した線は必ず緑色の対角線と交差します。これを証明するために、xをf ( x ) − xに写像する関数gを考えます。これはa上で≥ 0 、 b上で≤ 0です。中間値の定理により、gは[ a , b ] 内に零点を持ちます。この零点は不動点です。      

ブロウワーはこれを次のように表現したと言われている。「表面を調べる代わりに、弦に関する定理を証明しよう。まず、弦を広げた状態から始め、次にそれを折り畳む。折り畳んだ弦を平らにする。ここでも、弦上の点は、広げた弦上の元の位置に対して位置を変えていない。」^{[ 13 ]}

19 世紀末、太陽系の安定性という古くからの問題^{[ 17 ]}が数学界の注目を集めるようになった。^{[ 18 ]} その解決には新しい方法が必要だった。三体問題に取り組んだアンリ・ポアンカレが指摘したように、厳密解を見つけることは望めない。「三体問題、そして一般的には一様積分がなくボーリン級数が発散する力学のすべての問題の難しさを理解する上で、これほど適切なものはない。」^{[ 19 ]} また、近似解の探索も効率的ではないと指摘している。「より正確な近似を得ようとすればするほど、結果はますます不正確さを増す方向に発散していく。」^{[ 20 ]}

彼は、コーヒーカップ内の表面の動きに類似した問題を研究しました。一定の流れによって動かされる表面上の軌跡について、一般に何が言えるでしょうか? ^{[ 21 ]}ポアンカレは、その答えは、現在私たちが軌跡を含む領域の位相的性質と呼んでいるものに見出すことができることを発見しました。この領域がコンパクト、つまり閉じていて有界である場合、軌跡は静止するか、またはリミットサイクルに近づきます。^{[ 22 ]}ポアンカレはさらに進みました。領域がコーヒーカップの場合のように円盤と同じ種類である場合、必ず固定点が存在するはずです。この固定点は、元の曲面の各点に短い時間間隔tの後の位置を関連付けるすべての関数に対して不変です。領域が円形の帯である場合、または閉じていない場合、^{[ 23 ]}これは必ずしも当てはまりません。 

微分方程式をよりよく理解するために、数学の新しい分野が誕生しました。ポアンカレはそれを解析的位置論と呼びました。フランスのEncyclopædia Universalisは、これを「引き裂くことなく、連続的に変形しても不変な対象の性質を扱う」分野と定義しています。^{[ 24 ]} 1886年、ポアンカレはブロウワーの不動点定理と同等の結果を証明しましたが、^{[ 25 ]}この記事の主題との関連性はまだ明らかではありませんでした。^{[ 26 ]}少し後、彼は解析的位置論をよりよく理解するための基本的なツールの1つを開発しました。これは現在、基本群またはポアンカレ群として知られています。^{[ 27 ]}この方法は、議論中の定理の非常に簡潔な証明に使用できます。

ポアンカレの方法は、コーシー・リプシッツの定理を一般化した同時代の数学者エミール・ピカールの方法と類似していた。^{[ 28 ]}ピカールのアプローチは、後にバナッハにちなんで名付けられた別の不動点定理によって形式化される結果に基づいている。この定理は、領域の位相的性質の代わりに、問題の関数が縮小であるという事実を使用している。

20 世紀の幕開けには、解析的手法への関心が見過ごされることはありませんでした。しかし、この記事で議論されている定理と同等の定理の必要性はまだ明らかではありませんでした。ラトビアの数学者ピアーズ・ボールは、位相幾何学的手法を微分方程式の研究に応用しました。^{[ 29 ]} 1904 年に彼はこの定理の 3 次元の場合を証明しましたが、^{[ 14 ]}彼の発表は注目されませんでした。^{[ 30 ]}

最終的に、この定理に最初の権威を与えたのはブロウワーであった。彼の目標はポアンカレの目標とは異なっていた。この数学者は数学の基礎、特に数理論理学と位相幾何学に触発された。彼の最初の関心は、ヒルベルトの第 5 問題の解決に向けられていた。^{[ 31 ]} 1909 年、パリへの航海中に、彼はアンリ・ポアンカレ、ジャック・アダマール、エミール・ボレルに会った。その後の議論で、ブロウワーはユークリッド空間をよりよく理解することの重要性を確信し、アダマールとの実りある書簡のやり取りの始まりとなった。次の 4 年間、彼はこの問題に関するいくつかの偉大な定理の証明に集中した。1912 年に、彼は2 次元球面の毛玉定理と、2 次元球面からそれ自身へのすべての連続写像が不動点を持つという事実を証明した。^{[ 32 ]}これらの 2 つの結果自体は、実際には新しいものではありませんでした。アダマールが指摘したように、ポアンカレは毛玉定理と同等の定理を示していました。^{[ 33 ]}ブロウワーのアプローチの革新的な側面は、ポアンカレ群の基礎概念であるホモトピーなどの最近開発されたツールを体系的に使用したことでした。翌年、アダマールは議論されている定理を任意の有限次元に一般化しましたが、異なる方法を用いました。ハンス・フロイデンタールはそれぞれの役割について次のようにコメントしています。「ブロウワーの革新的な方法と比較すると、アダマールの方法は非常に伝統的でしたが、ブロウワーのアイデアの誕生におけるアダマールの関与は、単なる傍観者というよりは助産婦に似ています。」^{[ 34 ]}

ブロウワーのアプローチは成果を上げ、1910年には任意の有限次元に対して有効な証明^{[ 5 ]}や、次元の不変性などの他の重要な定理も発見した^{[ 35 ]} 。この研究の文脈で、ブロウワーはジョルダン曲線定理を任意の次元に一般化し、連続写像の次数に関連する性質を確立した^{[ 36 ]}。ポアンカレが最初に構想し、ブロウワーが発展させたこの数学の分野は、その名前を変えた。1930年代には、解析学は代数トポロジーになった^{[ 37 ]}。

この定理は、複数の点でその価値を証明しました。20世紀には数多くの不動点定理が開発され、不動点理論と呼ばれる数学の一分野も生まれました。^{[ 38 ]} ブロウワーの定理はおそらく最も重要なものです。^{[ 39 ]}また、位相多様体のトポロジーに関する基礎定理の一つであり、ジョルダン曲線定理などの他の重要な結果を証明するためによく使用されます。^{[ 40 ]}

多かれ少なかれ縮小する関数に対する不動点定理の他に、議論されている結果から直接的または間接的に生じた定理が多数あります。ユークリッド空間の閉球からその境界への連続写像は、境界上で恒等写像にはなり得ません。同様に、ボルスク・ウラムの定理は、n次元球面からR ⁿへの連続写像には、同じ点に写像される一対の対蹠点が存在すると述べています。有限次元の場合、レフシェッツの不動点定理は1926 年以来、不動点を数える方法を提供してきました。1930 年に、ブロウワーの不動点定理はバナッハ空間に一般化されました。^{[ 41 ]}この一般化はシャウダーの不動点定理として知られており、S. カクタニによってさらに集合値関数に一般化された結果です。^{[ 42 ]}また、位相以外の分野でもこの定理とその変形に出会うことがあります。これは、特定の平衡点の近傍における特定の微分方程式の定性的な挙動を記述するハートマン・グロブマンの定理を証明するために使用できます。同様に、ブロワーの定理は中心極限定理の証明に使用されます。この定理は、特定の偏微分方程式の解の存在証明にも見られます。^{[ 43 ]}

他の分野にも影響が見られます。ゲーム理論では、ジョン・ナッシュはこの定理を用いて、ヘックスというゲームにおいて白の勝ち戦略が存在することを証明しました。^{[ 44 ]}経済学では、P. ビッチは、この定理のいくつかの一般化によって、ゲーム理論におけるいくつかの古典的な問題や、一般的に均衡（ホテリングの法則）、金融均衡、不完全市場においてその利用が役立つことが示されていると説明しています。^{[ 45 ]}

ブロウワーの名声は、彼の位相幾何学の研究だけによるものではない。彼の偉大な位相幾何学の定理の証明は構成的ではなく、^{[ 46 ]}ブロウワーがこれに不満を抱いたことが、構成性の概念を明確にするに至った一因である。彼は直観主義として知られる数学の形式化方法の創始者であり熱心な擁護者となった。直観主義は当時、集合論に反対する立場をとっていた。^{[ 47 ]}ブロウワーは、不動点定理の自身の最初の証明を否定した。

ブロワーの1911年のオリジナルの証明は、微分位相の考え方から派生した連続写像の次数の概念に基づいていた。この証明に関するいくつかの現代的な説明が文献に見られるが、特にミルナー（1965）が挙げられる。^{[ 48 ] [ 49 ]}

させて${\displaystyle K={\overline {B(0)}}}$閉じた単位球を表す$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$原点を中心とする。簡単のために、${\displaystyle f:K\to K}$は連続的に微分可能です。${\displaystyle f}$ポイント${\displaystyle p\in B(0)}$ヤコビアン​​${\displaystyle f}$は、の原像のすべての点で非特異である。${\displaystyle p}$特に、逆関数定理により、の逆像のすべての点${\displaystyle f}$横たわる${\displaystyle B(0)}$（内部${\displaystyle K}$）${\displaystyle f}$通常の価格で${\displaystyle p\in B(0)}$は、ヤコビ行列式の符号の合計として定義される。${\displaystyle f}$原像の上に${\displaystyle p}$下${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \operatorname {deg} _{p}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(p)}\operatorname {sign} \,\det(df_{x}).}$

次数は、大まかに言えば、p の周りの小さな開集合上に存在する原像fの「シート」の数であり、シートの向きが反対であれば、シートは反対の数として数えられます。したがって、これは巻き数の概念を高次元に一般化したものです。

次数はホモトピー不変性の性質を満たす。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$は連続的に微分可能な2つの関数であり、${\displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g}$のために${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$点が${\displaystyle p}$は、${\displaystyle H_{t}}$すべてのtについて。${\displaystyle \deg _{p}f=\deg _{p}g}$。

境界に固定点がない場合${\displaystyle K}$すると関数

${\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{\sup _{y\in K}\left|yf(y)\right|}}}$

明確に定義されており、

${\displaystyle H(t,x)={\frac {x-tf(x)}{\sup _{y\in K}\left|y-tf(y)\right|}}}$

恒等関数からそれへのホモトピーを定義します。恒等関数はすべての点で次数が 1 です。特に、恒等関数は原点で次数が 1 なので、${\displaystyle g}$原点においても次数が１である。結果として、逆像は${\displaystyle g^{-1}(0)}$空ではありません。${\displaystyle g^{-1}(0)}$これらはまさに元の関数fの不動点です。

これを完全に一般化するには、いくつかの作業が必要となる。次数の定義をfの特異値に拡張し、さらに連続関数にも拡張する必要がある。より現代的なホモロジー理論の登場により、次数の構成が簡略化され、文献における標準的な証明となっている。

毛玉定理は、奇数次元ユークリッド空間の単位球面S上には、 S上にどこにも零にならない連続接ベクトル場wが存在しないことを述べている。（接線条件とは、すべての単位ベクトルxに対してw ( x ) ⋅x =0であることを意味する。）この定理は、「地球上には必ず風のない場所がある」という表現で表されることもある。毛玉定理の初等的な証明は、Milnor (1978)に記載されている。

実際、まずwが連続的に微分可能であると仮定します。スケーリングにより、 wはS上の連続的に微分可能な単位接ベクトルであると仮定できます。これをSの小さな球殻Aに放射状に拡張できます。t が十分に小さい場合 、ルーチン計算により、写像f _t ( x ) = x + t w ( x )がA上の縮小写像であり、その像の体積がtの多項式であることが示されます。一方、縮小写像として、f _{t は}Sから (1 + t ² ) ^{⁠ 1 / 2 ⁠} Sおよび Aから (1 + t ² ) ^{⁠ 1 / 2 ⁠} Aへの同相写像に制限する必要があります。これは矛盾です。なぜなら、ユークリッド空間の次元nが奇数の場合、(1 + t ² ) ^{n /2}は多項式ではないからです。

wがS上の連続単位接ベクトルである場合、ワイエルシュトラスの近似定理により、 Aからユークリッド空間への多項式写像uによって一様に近似できます。接空間への直交射影はv ( x ) = u ( x ) - u ( x ) ⋅ xで与えられます。したがって、vはA上で多項式であり、どこにもゼロになりません。構成により、v /|| v || はS上の滑らかな単位接ベクトル場となり、矛盾が生じます。

毛玉定理の連続版を用いて、ブロワーの不動点定理を証明することができる。まず、nが偶数であると仮定する。n次元ユークリッド空間Vの閉単位球Bの不動点のない連続自己写像f が存在する場合、

${\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })=(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {f} }({\mathbf {x} }))\,{\mathbf {x} }-(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} })\,{\mathbf {f} }({\mathbf {x} }).}$

f は不動点を持たないため、 Bの内部にあるxに対してはベクトルw ( x ) はゼロではなく、S内のxに対してはスカラー積x ⋅ w ( x ) = 1 – x ⋅ f ( x ) は厳密に正となる。元のn次元ユークリッド空間Vから、座標y = ( x , t )を持つ新しい補助( n + 1 ) 次元空間W = V x Rを構築する。

${\displaystyle {\mathbf {X} }({\mathbf {x} },t)=(-t\,{\mathbf {w} }({\mathbf {x} }),{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })).}$

構成上、XはWの単位球上の連続ベクトル場であり、接条件y ⋅ X ( y )  =  0 を満たします。さらに、X ( y ) はどこにもゼロになりません (なぜなら、xのノルムが 1 であれば、x ⋅ w ( x ) はゼロではなく、x のノルムが厳密に 1 より小さい場合、tとw ( x ) は両方ともゼロではないからです)。この矛盾は、nが偶数の場合の不動点定理を証明します。n が奇数の場合、 n + 1 次元の閉じた単位球Bと写像F ( x , y ) = ( f ( x ),0 )に不動点定理を適用できます。この証明の利点は、初等的な手法のみを使用することです。ボルスク・ウラムの定理のようなより一般的な結果には、代数トポロジーのツールが必要です。^{[ 50 ]}

この証明では、 n 次元円盤D ⁿの境界がS ^{n −1}、すなわち ( n − 1) 次元球面であるという観察を利用しています。

矛盾を導くために、連続関数f  : D ⁿ → D ^{n が}不動点を持たないと仮定します。これは、 D ⁿ内の任意の点 x に対して、点xとf ( x ) が異なることを意味します。これらが異なるため、 D ⁿ内の任意の点 x に対して、 f ( x )からxへの一意の光線を構成し、境界S ^{n −1}と交わるまで光線をたどることができます(図を参照)。この交点をF ( x ) と呼ぶことで、ディスク内の各点を境界上の対応する交点に送る関数F  : D ⁿ → S ^{n −1を定義します。特別な場合として、} x自体が境界上にあるときはいつでも、交点F ( x ) はxでなければなりません。   

したがって、Fはレトラクションと呼ばれる特殊なタイプの連続関数です。つまり、終域(この場合はS ^{n −1 ) のすべての点が}Fの不動点です。

直感的には、 D ⁿからS ^{n −1}への縮退はありそうにないように思えます。n = 1の場合、 S ⁰ (つまり、閉区間D ^{1の端点) は連結ですらないため、不可能であることはより基本的です。n = 2}の場合はそれほど明白ではありませんが、それぞれの空間の基本群に関する基本的な議論を用いることで証明できます。縮退によって、D ²の基本群からS ¹の基本群への全射群準同型が誘導されますが、後者の群はZと同型であり、前者の群は自明であるため、これは不可能です。n = 2の場合は、非零ベクトル場に関する定理に基づく背理法によっても証明できます。

しかし、 n > 2の場合、撤回が不可能であることを証明するのはより困難です。一つの方法は、ホモロジー群を利用することです。ホモロジー群H _{n −1} ( D ⁿ ) は自明ですが、H _{n −1} ( S ^{n −1} ) は無限巡回群です。これは、撤回が後者の群から前者の群への単射群準同型を誘導するため、撤回が不可能であることを示しています。

収縮が不可能であることは、ユークリッド空間E ⁿの開部分集合のド・ラーム・コホモロジーを用いて示すこともできる。n ≥ 2 の場合、U = E ⁿ – (0)のド・ラーム・コホモロジーは次数 0 とn – 1で 1 次元であり、それ以外の場合はゼロになる。収縮が存在する場合、U は可縮でなければならず、次数n – 1 のド・ラーム・コホモロジーはゼロにならなければならないが、これは矛盾である。^{[ 51 ]}

ホモロジーを用いた連続写像に対するブロウワーの不動点定理の証明と同様に、球Bからその境界 ∂ Bへの連続的な収縮F が存在しないことを証明することに帰着する。この場合、 Fは滑らかであると仮定できる。なぜなら、ワイエルシュトラスの近似定理を使用するか、十分小さなサポートと整数値を持つ非負の滑らかなバンプ関数との畳み込みによって近似できるからである(つまり、を軟化させる)。ωが境界上の体積形式である場合、ストークスの定理により、

${\displaystyle 0<\int _{\partial B}\omega =\int _{\partial B}F^{*}(\omega )=\int _{B}dF^{*}(\omega )=\int _{B}F^{*}(d\omega )=\int _{B}F^{*}(0)=0,}$

矛盾が生じる。^{[ 52 ] [ 53 ]}

より一般的には、これは、任意の空でない滑らかな向き付けられたコンパクト多様体Mからその境界への滑らかな引き込みが存在しないことを示しています。ストークスの定理を用いた証明は、ホモロジーを用いた証明と密接に関連しています。なぜなら、形式ωは、ド・ラームの定理によりホモロジー群H ^{n -1} (∂ M ) と同型であるド・ラームコホモロジー群H _{n -1} (∂ M )を生成するからです。^{[ 54 ]}

BFPTはKnaster-Kuratowski-MazurkiewiczによってSpernerの補題を用いて証明された。ここでは、 fが標準n単体からの関数である特殊な場合の証明の概要を示す。${\displaystyle \Delta ^{n},}$それ自体に、

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{P\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1{\text{ and }}P_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

各ポイントについて${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$また${\displaystyle f(P)\in \Delta ^{n}.}$したがって、それらの座標の合計は等しい。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=\sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}}$

したがって、鳩の巣原理によ​​り、すべての${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$索引が必要だ${\displaystyle j\in \{0,\ldots ,n\}}$そのため${\displaystyle j}$の 番目の座標${\displaystyle P}$以上${\displaystyle j}$fによるその像の 番目の座標:

${\displaystyle P_{j}\geq f(P)_{j}.}$

さらに、もし${\displaystyle P}$k次元サブフェイス上に位置する${\displaystyle \Delta ^{n},}$そして同じ議論により、インデックス${\displaystyle j}$このサブフェイス上のゼロでないk +1個の座標の中から選択できます。

この事実を利用して、スペルナー彩色を構築します。${\displaystyle \Delta ^{n},}$各頂点の色${\displaystyle P}$インデックスです${\displaystyle j}$そのため${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}.}$

構成上、これはスペルナー彩色である。したがって、スペルナーの補題により、 n次元単体が存在し、その頂点は利用可能なn +1色の全色で彩色される。

fは連続であるため、任意の細かい三角形分割を選択することで、この単体を任意の大きさにすることができる。したがって、点が存在する必要がある。${\displaystyle P}$これは、すべての座標においてラベル付け条件を満たします。${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}}$すべての人々のために${\displaystyle j.}$

座標の合計は${\displaystyle P}$そして${\displaystyle f(P)}$等しくなければならない、これらの不等式はすべて実際には等式でなければならない。しかし、これは次のことを意味する。

${\displaystyle f(P)=P.}$

つまり、${\displaystyle P}$は固定点である${\displaystyle f.}$

また、微分可能なリトラクションが不可能であることに基づく、 Morris Hirschによる簡単な証明もあります。n次元ユークリッド空間の単位球 D ^{nから自身への連続写像を}fとし、 fがどの点も固定しないと仮定します。連続性と D ^{n が}コンパクトであるという事実から、ある ε > 0 に対して、 D ^{n内のすべての x に対して ∥x -} f (x)∥ > εが成り立ちます。すると、写像fは、点を固定しない性質を保持する滑らかな写像で近似できます。これは、ワイエルシュトラスの近似定理を使用するか、滑らかなバンプ関数との畳み込みによって行うことができます。次に、各 x を、x からf (x) を通る唯一の光線が ∂D n と交わる^{∂D nの}点に移動させることによって、上記のようにリトラクションを定義します。これは、微分可能な写像でなければなりません。このようなリトラクションは、サードの定理により、非特異値 p ∈ ∂D ⁿを持たなければならず、境界への制限 (これは恒等写像にすぎない) でも非特異である。したがって、逆像f ^-1 (p) は境界を持つコンパクトな 1 次元多様体となる。このような境界は少なくとも 2 つの端点を含み、それらは元の球の境界上になければならない。これは、∂D n 上の 1 つの点の逆像が^{∂D n}上の別の点を含むことを意味し、リトラクション D ⁿ → ∂D ⁿの定義に矛盾する。^{[ 55 ]}

R. Bruce Kellogg、Tien-Yien Li、およびJames A. Yorke は、固定点以外ではレトラクトが実際にはどこでも定義されていることに着目し、Hirsch の証明を計算可能な証明に変えました。 ^{[ 56 ]}境界上の ほぼ任意の点q (固定点ではないと仮定) に対して、上述の境界を持つ 1 次元多様体は確かに存在し、唯一の可能性は、qから固定点へ導くことです。q から固定点へのこのような経路をたどることは数値的に容易な作業であるため、この方法は本質的に計算可能です。^{[ 57 ]}は、概念的に類似した経路追跡バージョンのホモ​​トピー証明を与え、これはさまざまな関連問題に拡張できます。

前述の証明の変形版では、サードの定理を用いず、以下のように証明を進める。${\displaystyle r\colon B\to \partial B}$滑らかな収縮の場合、滑らかな変形を考慮する。${\displaystyle g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,}$そしてスムーズな機能

${\displaystyle \varphi (t):=\int _{B}\det Dg^{t}(x)\,dx.}$

積分記号の下で微分すると、すべてのtに対してφ ′ ( t ) = 0 であることが容易に確認でき、したがってφは定数関数となりますが、これは矛盾です。なぜなら、 φ (0) は球のn次元体積であり、 φ (1) はゼロだからです。幾何学的な考え方としては、φ ( t ) はg ^t ( B )の向き付けられた面積(つまり、多重度と向きを考慮したg ^tによる球の像のルベーグ測度) であり、一定であるはずです (1 次元の場合には非常に明白です)。一方、パラメータt が0 から 1 に変化すると、写像g ^{t は}球の恒等写像から収縮rへと連続的に変化しますが、これは矛盾です。なぜなら、恒等写像の向き付けられた面積は球の体積と一致しますが、 rの向き付けられた面積は必然的に 0 であり、その像は球の境界、つまり零測度の集合だからです。^{[ 58 ]}

デイビッド・ゲイルによる全く異なる証明は、ヘックスのゲームに基づいている。ジョン・ナッシュによって最初に証明されたヘックスに関する基本定理は、ヘックスのゲームは引き分けで終わることはなく、先手プレイヤーは常に必勝戦略を持っているということである（ただし、この定理は非構成的であり、10 x 10 以上の次元の盤面サイズに対する明示的な戦略は完全には開発されていない）。これは、2 次元のブロワーの不動点定理と同等であることが判明している。ヘックスのn次元バージョンを考慮することで、ブロワーの定理がヘックスの決定性定理と同等であることを一般に証明できる。^{[ 59 ]}

レフシェッツの不動点定理によれば、有限単体複体Bからそれ自身への連続写像fが孤立した不動点のみを持つ場合、重複度 (負の値も含む) を考慮して数えた不動点の数はレフシェッツ数に等しい。

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n}(-1)^{n}\operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))}$

特に、レフシェッツ数がゼロでない場合、f は不動点を持つ必要があります。B が球体（またはより一般的には可縮）である場合、レフシェッツ数は 1 になります。なぜなら、ゼロでない単体ホモロジー群は1 しかないからです。${\displaystyle H_{0}(B)}$そして、f はこの群の恒等関数として作用するため、fは不動点を持つ。^{[ 60 ] [ 61 ]}

逆数学では、ブラウワーの定理はシステムWKL ₀で証明でき、逆に基本システムRCA ₀上でも証明できます。正方形に対するブラウワーの定理は弱いケーニッヒの補題を意味するので、これはブラウワーの定理の強さを正確に記述します。