期待値

確率論では、期待値(期待値、期待度、期待演算子、数学的期待値、平均、期待値、または第 1モーメントとも呼ばれる)は、加重平均を一般化したものです。非公式には、期待値は、ランダム変数が取り得る値の平均であり、それらの結果の確率によって重み付けされます。期待値は算術的に得られるため、サンプル データ セットに含まれない場合もあります。つまり、期待値は、実際に得られると「期待される」値ではありません。

有限数の結果を持つランダム変数の期待値は、すべての可能な結果の加重平均です。可能な結果が連続している場合、期待値は積分によって定義されます。測度論によって提供される確率の公理的基礎では、期待値はルベーグ積分によって与えられます。

確率変数Xの期待値は、 E( X )、E[ X ]、またはEXと表記されることが多く、 EはまたはEと表記されることも多い。^{[1] [2] [3]}${\displaystyle \mathbb {E} }$

期待値というアイデアは、17世紀半ばに、いわゆるポイント問題の研究から生まれました。ポイント問題とは、ゲームが適切に終了する前にゲームを終了しなければならない2人のプレーヤーの間で賭け金を公平に分割しようとするものです。 ^[4]この問題は、何世紀にもわたって議論されてきました。1654年にフランスの作家でアマチュア数学者のシュヴァリエ・ド・メレがブレーズ・パスカルにこの問題を提示して以来、多くの矛盾する提案や解決法が長年にわたって示されてきました。メレは、この問題は解くことができず、現実世界への応用に関しては数学がいかに欠陥があるかを示していると主張しました。数学者であったパスカルは刺激を受け、この問題を永久に解決することを決意しました。

彼はピエール・ド・フェルマーに宛てた有名な一連の手紙の中で、この問題について議論し始めた。やがて、二人は独立して解決策を思いついた。二人は異なる計算方法で問題を解いたが、彼らの計算は同じ基本原理に基づいていたため、結果は同じだった。その原理とは、将来の利益の価値はそれを得る可能性に正比例するはずである、というものである。この原理は二人にとって自然に身についたようだった。二人は本質的に同じ解決策を見つけたことに非常に満足し、その結果、問題を決定的に解決したと確信した。しかし、彼らはその発見を公表しなかった。パリにいる共通の科学者仲間の小さなグループにだけ知らせた。^[5]

オランダの数学者クリスティアーン・ホイヘンスは、その著書の中で、点の問題を考察し、パスカルやフェルマーの解法と同じ原理に基づく解法を提示した。ホイヘンスは、パリを訪れた直後の1657年に、確率論に関する論文「De ratiociniis in ludo aleæ」を出版した（ホイヘンス（1657）を参照）。この本は、元の問題よりも複雑な状況（たとえば、3人以上のプレーヤーの場合）での期待値を計算する方法の規則を追加することで期待値の概念を拡張しており、確率論の基礎を築く最初の成功した試みと見なすことができます。

ホイヘンスは論文の序文で次のように書いている。

また、フランスの最も優れた数学者たちがしばらくの間この種の計算に取り組んできたので、誰も私に最初の発明の栄誉を帰すべきではないとも言っておかなければなりません。これは私のものではありません。しかし、これらの学者たちは、解決困難な多くの問題を互いに提案して互いに試練を与えましたが、その方法を隠しました。したがって、私は要素から始めてこの問題を自分で調べ、深く掘り下げなければなりませんでした。このため、同じ原理から始めたと断言することは不可能です。しかし、最終的に、私の答えは多くの場合彼らの答えと変わらないことがわかりました。

— エドワーズ（2002）

19世紀半ば、パフヌティ・チェビシェフはランダム変数の期待値について体系的に考えた最初の人物となった。^[6]

パスカルもホイヘンスも「期待」という言葉を現代的な意味では使っていない。特にホイヘンスは次のように書いている。^[7]

何かを勝ち取るチャンスや期待は、公正な賭けで同じチャンスと期待で得られる金額とまったく同じ価値がある。... 私が a または b を期待し、それらを獲得するチャンスが等しい場合、私の期待は (a+b)/2 の価値がある。

それから100年以上経った1814年、ピエール＝シモン・ラプラスは『確率分析理論』を出版し、その中で期待値の概念が明確に定義された。^[8]

... 偶然の理論におけるこの利点は、期待される合計とそれを得る確率の積です。これは、確率に比例して分割が行われると仮定してイベントのリスクを負うことを望まない場合に生じる部分的な合計です。この分割は、すべての奇妙な状況が排除された場合に唯一公平な分割です。なぜなら、確率の度合いが等しい場合、期待される合計に対する権利が等しいからです。この利点を数学的希望と呼ぶことにします。

「期待値」を表すために文字Eが使われるようになったのは、1901年のWA・ホイットワースに遡る。 ^[9]この記号はそれ以来、英語の作家の間で人気を博している。ドイツ語ではEはErwartungswert、スペイン語ではesperanza matemática、フランス語ではespérance mathématiqueを意味する。^[10]

「E」が「期待値」を表すために使用される場合、著者はさまざまな様式を使用します。期待値演算子は、E (直立)、E (斜体)、または(黒板太字) として様式化される可能性があり、さまざまな括弧表記 ( E( X )、E[ X ]、およびE Xなど) がすべて使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {E} }$

もう一つの一般的な表記法はμXである_。⟨X⟩、_⟨X⟩avは物理学でよく使われる。[ ^11] M( X )はロシア語の文献で使わ れる。${\displaystyle {\overline {X}}}$

上で論じたように、期待値を定義する方法は状況に応じていくつかあります。最も単純で独創的な定義は、コインを投げた場合のように、結果が有限個考えられるケースを扱います。無限級数の理論を用いると、これは可算数に考えられる結果の場合にまで拡張できます。また、多くの自然な状況で生じるため、(区分的)連続確率密度関数によって決まるランダム変数の特殊なケースを検討することも非常に一般的です。これらの特定の定義はすべて、測度論とルベーグ積分の数学的ツールに基づく一般的な定義の特殊なケースと見なすことができます。これらの数学的ツールは、これらの異なる状況に公理的な基盤と共通言語を提供します。

期待値の定義はどれも、多次元ランダム変数、つまりランダムベクトル Xの期待値を定義するために拡張できます。これは、 E[ X ] _i = E[ X _i ]のように、コンポーネントごとに定義されます。同様に、コンポーネントX _ijを持つランダム行列 Xの期待値は、E[ X ] _ij = E[ X _ij ]によって定義できます。

確率変数Xが有限リストx ₁ , ..., x _kを持ち、それぞれの結果の発生確率がp ₁ , ..., p _kであるとする。Xの期待値は次のように定義される^[12] 。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.}$$

確率はp ₁ + ⋅⋅⋅ + p _k = 1を満たす必要があるため、 E[ X ]を、確率p _{iによって重みが与え}られたxi値の加重平均として解釈するのが自然です。

すべての起こり得る結果が等確率である特殊なケース（つまり、p ₁ = ⋅⋅⋅ = p _k）では、加重平均は標準平均によって与えられます。一般的なケースでは、期待値は、一部の結果が他の結果よりも起こりやすいという事実を考慮に入れます。

• は、公平な6面サイコロを振った結果を表します。より具体的には、はサイコロを投げた後にサイコロの上面に現れる目の数です。 の可能な値は1、2、3、4、5、6で、すべて確率 ⁠ で等しく発生します。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$1/6⁠。 の期待値は、サイコロを回振って結果の平均 (算術平均) を計算すると、 が大きくなるにつれて、平均はほぼ確実に期待値に収束します。この事実は、大数の強い法則として知られています。${\displaystyle X}$$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• ルーレットゲームは、小さなボールと、縁に38個の番号付きポケットがあるホイールで構成されています。ホイールが回転すると、ボールはランダムに跳ね回り、ポケットの1つに落ち着くまで続きます。ランダム変数が、1つの数字に1ドル賭けた場合の（金銭的な）結果を表すとします（「ストレートアップ」ベット）。賭けが勝った場合（確率⁠${\displaystyle X}$1/38⁠アメリカンルーレットの場合、配当は35ドルです。そうでない場合は、プレイヤーは賭け金を失います。このような賭けから期待される利益は、つまり、1ドルの賭けから得られる期待値は−$ ⁠$${\displaystyle \operatorname {E} [\,{\text{gain from }}\$1{\text{ bet}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\${\frac {1}{19}}.}$$1/19したがって、190 回の賭けでは、純損失はおそらく約 10 ドルになります。

非公式には、可能な結果の 無限集合を持つランダム変数の期待値は、すべての可能な結果の加重平均として類似して定義され、重みは各与えられた値を実現する確率によって与えられます。 つまり、 x ₁、x ₂、...はランダム変数Xの可能な結果であり、p ₁、p ₂、...はそれに対応する確率です。多くの非数学の教科書では、これがこの文脈での期待値の完全な定義として提示されています。^[13]$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},}$$

しかし、無限和には微妙な点がいくつかあるため、上記の式は数学的な定義としては適切ではありません。特に、数学的解析のリーマン級数定理は、正と負の被加数を含む特定の無限和の値が、被加数が与えられる順序に依存することを示しています。ランダム変数の結果には自然に与えられる順序がないため、期待値を正確に定義することが困難になります。

このため、多くの数学の教科書では、上記の無限和が絶対収束する場合のみを扱っており、これは、無限和が被加数の順序に関わらず有限数になることを意味する。^[14]無限和が絶対収束しない場合は、確率変数に有限の期待値がないと言われる。^[14]

• と仮定すると、は確率の合計が1になるようなスケーリング係数です。すると、${\displaystyle x_{i}=i}$${\displaystyle p_{i}={\tfrac {c}{i\cdot 2^{i}}}}$${\displaystyle i=1,2,3,\ldots ,}$${\displaystyle c={\tfrac {1}{\ln 2}}}$$${\displaystyle \operatorname {E} [X]\,=\sum _{i}x_{i}p_{i}=1({\tfrac {c}{2}})+2({\tfrac {c}{8}})+3({\tfrac {c}{24}})+\cdots \,=\,{\tfrac {c}{2}}+{\tfrac {c}{4}}+{\tfrac {c}{8}}+\cdots \,=\,c\,=\,{\tfrac {1}{\ln 2}}.}$$

ここで、確率密度関数が実数直線上の関数fによって与えられるランダム変数Xについて考えます。これは、任意の開区間でXが値を取る確率が、その区間でのfの積分によって与えられることを意味します。Xの期待値は、積分によって与えられます。 ^[15] この定義の一般的かつ数学的に正確な定式化には、測度論とルベーグ積分が使用され、絶対連続ランダム変数の対応する理論については次のセクションで説明します。多くの一般的な分布の密度関数は区分的に連続しており、そのため、理論は多くの場合、この制限された設定で展開されます。^{[16]このような関数については、標準的な}リーマン積分のみを考えれば十分です。連続ランダム変数は、この特別なクラスの密度に対応するものとして定義されることもありますが、この用語はさまざまな著者によって異なる意味で使用されています。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.}$$

上記の可算無限の場合と同様に、この式には積分領域が無限大であることによる微妙な点があります。このような微妙な点は、Xの分布がコーシー分布 Cauchy(0, π)で与えられ、 f ( x ) = ( x ² + π ² ) ⁻¹となる場合に具体的に確認できます。この場合、 次の式を計算するのは簡単です 。 a → −∞およびb → ∞としてのこの式の極限は存在しません。a = − bとなるように極限をとれば極限は 0 になりますが、制約2 a = − bをとると極限はln(2)になります。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+\pi ^{2}}{a^{2}+\pi ^{2}}}.}$$

このような曖昧さを避けるために、数学の教科書では、与えられた積分が絶対収束することを要求し、そうでなければE [ X ]は未定義のままにしておくのが一般的です。^[17]しかし、以下に示す測度論的概念は、より一般的な確率変数Xに対するE[ X ]の体系的な定義を与えるために使用することができます。

期待値の定義はすべて、測度論の言語で表現できます。一般に、X が確率空間(Ω, Σ, P)上で定義された実数値のランダム変数である場合、 E[ X ]で表されるXの期待値は、ルベーグ積分として定義されます^{[18] 。} 新しい抽象的な状況にもかかわらず、この定義は、特定の加重平均として上記に示した期待値の最も単純な定義と本質的に非常に似ています。これは、測度論では、Xのルベーグ積分の値が、有限個の値を取るXの近似値の加重平均によって定義されるためです。 ^[19]さらに、有限個または可算個の可能な値を持つランダム変数が与えられた場合、ルベーグの期待値理論は上記の総和式と同一です。ただし、ルベーグ理論は確率密度関数の理論の範囲を明確にします。ランダム変数X は、次の条件のいずれかが満たされる場合、 絶対連続であると言われます。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} .}$$

• 実数直線上に非負の可測関数 fが存在し、任意のボレル集合Aに対して、積分がルベーグとなる。$${\displaystyle \operatorname {P} (X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx,}$$
• Xの累積分布関数は絶対連続である。
• ルベーグ測度がゼロである実数の任意のボレル集合Aに対して、 XがAに含まれる確率もゼロである。
• 任意の正の数εに対して、正の数δが存在し、A がδ未満のルベーグ測度を持つボレル集合である場合、 Aに含まれるXの値の確率はε未満です。

これらの条件はすべて同等であるが、これを証明するのは簡単ではない。^[20]この定義では、f はXの確率密度関数（ルベーグ測度に対する相対的）と呼ばれる。ルベーグ積分の変数変換式^[21]と無意識の統計学者の法則^[22]を組み合わせると、 任意の絶対連続ランダム変数Xに対してとなる 。したがって、連続ランダム変数に関する上記の議論は、すべての区分連続関数が測定可能であるという事実により、一般ルベーグ理論の特殊なケースである。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]\equiv \int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx}$$

実数値のランダム変数の期待値は、その累積分布関数のグラフ上で、面積の近似値によって定義することもできます。実際、実数の場合、それぞれによって記述される -平面の2つの表面が 同じ有限面積を持つ場合、つまり 、両方の不定リーマン積分が収束する場合に限ります。最終的に、これは次の表現と同等です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle x\leq \mu ,\;\,0\leq y\leq F(x)\quad {\text{or}}\quad x\geq \mu ,\;\,F(x)\leq y\leq 1}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\mu }F(x)\,dx=\int _{\mu }^{\infty }{\big (}1-F(x){\big )}\,dx}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}1-F(x){\bigr )}\,dx-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,dx,}$$ 収束積分も同様である。^[23]

上記で定義した期待値は、自動的に有限数になります。ただし、多くの場合、期待値±∞を考慮できることが基本です。これは、たとえば、サンクトペテルブルクのパラドックスの場合に直感的です。このパラドックスでは、すべての正の整数にわたるiに対して、可能な結果x _i = 2 ⁱと、関連する確率p _i = 2 ^{− i}を持つランダム変数を考慮します。可算な数の結果を持つランダム変数の場合の合計式によると、 期待値は+∞に等しいと言うのが自然です。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=2\cdot {\frac {1}{2}}+4\cdot {\frac {1}{4}}+8\cdot {\frac {1}{8}}+16\cdot {\frac {1}{16}}+\cdots =1+1+1+1+\cdots .}$$

このような考え方の根底には厳密な数学理論があり、ルベーグ積分の定義の一部としてよく取り上げられています。^[19]最初の基本的な観察は、上記の定義のどちらに従っても、非負のランダム変数には明確な期待値を与えることができるということです。絶対収束が失敗すると、期待値は+∞と定義できます。2 番目の基本的な観察は、任意のランダム変数は 2 つの非負のランダム変数の差として記述できることです。ランダム変数Xが与えられた場合、正の部分と負の部分をX ⁺ = max( X , 0)およびX ⁻ = −min( X , 0)で定義します。これらは非負のランダム変数であり、 X = X ⁺ − X ^{− で}あることが直接確認できます。E [ X ⁺ ]とE[ X ⁻ ]はどちらも非負の数または+∞として定義されるため、次のように定義するのが自然です。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\begin{cases}\operatorname {E} [X^{+}]-\operatorname {E} [X^{-}]&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty ;\\+\infty &{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty ;\\-\infty &{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty ;\\{\text{undefined}}&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty .\end{cases}}}$$

この定義によれば、E[ X ] が存在し有限であるためには、E[ X ⁺ ]とE[ X ⁻ ]が両方とも有限である必要があります。式| X | = X ⁺ + X ⁻により、これはE| X |が有限である場合にのみ当てはまり、これは上記の定義の絶対収束条件に相当します。そのため、現在の考察では、これまで考慮されていなかったケースでは有限の期待値を定義するものではなく、無限の期待値に対してのみ役立ちます。

• サンクトペテルブルクのパラドックスの場合、X ⁻ = 0となり、E[ X ] = +∞となります。
• ランダム変数X が、それぞれ6π ⁻²、 6(2π) ⁻²、 6(3π) ⁻²、 6(4π) ⁻²、 ...の確率で値1、 −2、 3、 −4、 ...を取るとします。すると、X ^{+ は}、各正の整数kに対して6((2 k −1)π) ^{−2 の}確率で値2 k −1を取り、残りの確率で値0を取ることになります。同様に、X ^{− は}、各正の整数kに対して6(2 k π) ^{−2 の}確率で値2 kを取り、残りの確率で値0を取ります。非負ランダム変数の定義を使用すると、 E[ X ⁺ ] = ∞とE[ X ⁻ ] = ∞の両方を示すことができます(調和級数を参照)。したがって、この場合、 Xの期待値は未定義です。
• 同様に、上で説明したように、コーシー分布には定義されていない期待値があります。

次の表は、一般的に発生する確率分布の期待値を示しています。3 列目には、定義から直接得られる形式と、そこから計算によって得られる簡略化された形式の両方で期待値を示しています。これらの計算の詳細は必ずしも簡単ではありませんが、示されている参考文献で見つけることができます。

以下の基本的な性質（太字で表記）は、ルベーグ積分のそれと重複するか、そのまま従う。文字「as」は「ほぼ確実に」を表しており、これはルベーグ積分の中心的な性質である。基本的に、確率測度が補完的なイベントにゼロ質量を帰属させる場合、のような不等式はほぼ確実に真であると言える。${\displaystyle X\geq 0}$${\displaystyle \left\{X<0\right\}.}$

• 非否定性：もし（として）ならば、${\displaystyle X\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]\geq 0.}$
• 期待値の線形性^{: [34]}期待値演算子 (または期待値演算子)、任意のランダム変数およびおよび定数、右辺が明確に定義されている限り、 であるという意味において線形です。帰納法により、これは、任意の有限個のランダム変数の合計の期待値が、個々のランダム変数の期待値の合計であり、期待値は乗法定数で線形にスケールすることを意味します。 記号的に、ランダム変数と定数が得られます。 有限の期待値を持つランダム変数の集合がベクトル空間を形成すると考えると、期待値の線形性は、期待値がこのベクトル空間上の線形形式であることを意味します。${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle a,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X+Y]&=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y],\\\operatorname {E} [aX]&=a\operatorname {E} [X],\end{aligned}}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle a_{i}(1\leq i\leq N),}$${\textstyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\operatorname {E} [X_{i}].}$
• 単調性: (として)であり、かつ との両方が存在する場合、${\displaystyle X\leq Y}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq \operatorname {E} [Y].}$
  証明は (as)の線形性と非負性の性質から導かれます。${\displaystyle Z=Y-X,}$${\displaystyle Z\geq 0}$
• 非退化: If then (as)。${\displaystyle \operatorname {E} [|X|]=0,}$${\displaystyle X=0}$
• (as)の場合、つまり、X と Y が確率 0 で異なる値を取るランダム変数である場合、X の期待値は Y の期待値と等しくなります。${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [Y].}$
• ある実数cについて(as)が成り立つ場合、特に、期待値が明確に定義されたランダム変数については、期待値が明確に定義されたとは、期待値を定義する 1 つの数値、またはむしろ 1 つの定数が存在することを意味します。したがって、この定数の期待値は、元の期待値そのものになります。${\displaystyle X=c}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=c.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X]]=\operatorname {E} [X].}$
• 上で議論した式| X | = X ⁺ + X ⁻の帰結として、三角不等式と合わせて、期待値が明確に定義された任意の確率変数に対して、${\displaystyle X}$${\displaystyle |\operatorname {E} [X]|\leq \operatorname {E} |X|.}$
• 1 _{A が}イベントAの指標関数を表すとすると、E[ 1 _A ] はAの確率で与えられます。これは、上の表で計算されたベルヌーイ確率変数の期待値を別の方法で表したものに他なりません。
• CDF に関する公式: が確率変数Xの累積分布関数である場合、両辺の値が同時に明確に定義されているか明確に定義されていない場合、積分はルベーグ-スティルチェスの意味で取られます。E [ X ]のこの表現に適用された部分積分の結果として、積分がルベーグの意味で取られると、次の式が証明できます。 ^[35]特別な場合として、非負の整数{0, 1, 2, 3, ...}の値を持つ任意の確率変数Xに対して、次の式が成り立ちます。ここでP は基礎となる確率測度を表します。${\displaystyle F(x)}$$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,dF(x),}$$$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }(1-F(x))\,dx-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,dx,}$$$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{n=0}^{\infty }\Pr(X>n),}$$
• 非乗法的性: 一般に、期待値は乗法的ではありません。つまり、 は必ずしも と等しくなりません。とが独立している場合、 であることが示されます。ランダム変数が従属している場合、 一般に となりますが、特殊な場合には従属関係にある場合でも等式が成立することがあります。${\displaystyle \operatorname {E} [XY]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y].}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y].}$${\displaystyle \operatorname {E} [XY]\neq \operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y],}$
• 無意識の統計学者の法則：確率密度関数を持つ測定可能な関数の期待値は、との内積で与えられる：^[34]この式は、が複数のランダム変数の関数であり、 がそれらの結合密度である多次元の場合にも成立する。^{[34] [36]}${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g(X),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]=\int _{\mathbb {R} }g(x)f(x)\,dx.}$$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

濃度不等式は、ランダム変数が大きな値を取る可能性を制御する。マルコフの不等式は最もよく知られており、証明が最も簡単なものの一つである。非負のランダム変数Xと任意の正の数aに対して、マルコフの不等式は^[37] $${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}.}$$

X が有限の期待値を持つ任意のランダム変数である場合、マルコフの不等式をランダム変数| X −E[ X ]| ²に適用してチェビシェフの不等式 を得ることができます。 ここでVarは分散です。 ^[37]これらの不等式は、条件付きの仮定がほぼ完全に欠如している点で重要です。たとえば、有限の期待値を持つ任意のランダム変数の場合、チェビシェフの不等式は、結果が期待値の 2標準偏差以内になる確率が少なくとも 75% あることを意味します。ただし、特殊なケースでは、マルコフの不等式とチェビシェフの不等式は、他の方法で利用できるよりもはるかに弱い情報を提供することがよくあります。たとえば、重み付けされていないサイコロの場合、チェビシェフの不等式は、1 から 6 の間で転がる確率が少なくとも 53% であることを示していますが、実際には、もちろんその確率は 100% です。^[38]コルモゴロフの不等式はチェビシェフの不等式をランダム変数の和の文脈に拡張したものである。^[39]$${\displaystyle \operatorname {P} (|X-{\text{E}}[X]|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} [X]}{a^{2}}},}$$

次の 3 つの不等式は、数学的分析の分野と確率論への応用 において根本的に重要です。

• イェンセンの不等式: f : R → Rを凸関数、X を有限の期待値を持つランダム変数とします。このとき^[40] 主張の一部は、f ( X )の負の部分は有限の期待値を持つため、右辺は明確に定義される (おそらく無限大) というものです。fの凸性は、 2 つの入力の加重平均の出力が、2 つの出力の同じ加重平均を過小評価すると表現できます。イェンセンの不等式は、これを、期待値で表される完全に一般的な加重平均の設定に拡張します。正の数s < tに対してf ( x ) = | x | ^{t / s}となる特別なケースでは、リャプノフの不等式が得られます^[41]これは、ヘルダーの不等式によっても証明できます。^{[40]測度論では、}確率空間の特殊な場合において、Lp空間の包含Ls⊂Lt^{を証明したことで}特に注目^される。$${\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X)).}$$ $${\displaystyle \left(\operatorname {E} |X|^{s}\right)^{1/s}\leq \left(\operatorname {E} |X|^{t}\right)^{1/t}.}$$
• ホルダーの不等式：p > 1かつq > 1がp ⁻¹ + q ⁻¹ = 1を満たす数であるならば、任意のランダム変数XとYに対して。^[40] p = q = 2の特別な場合はコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれ、特によく知られています。^[40]$${\displaystyle \operatorname {E} |XY|\leq (\operatorname {E} |X|^{p})^{1/p}(\operatorname {E} |Y|^{q})^{1/q}.}$$
• ミンコフスキー不等式：任意の数p ≥ 1が与えられたとき、任意の確率変数XとYに対して、E| X | ^pとE| Y | ^pがともに有限であれば、E| X + Y | ^pも有限となり、^[42] $${\displaystyle {\Bigl (}\operatorname {E} |X+Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{p}{\Bigr )}^{1/p}+{\Bigl (}\operatorname {E} |Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}.}$$

ヘルダー不等式とミンコフスキー不等式は一般測度空間に拡張することができ、その文脈で与えられることが多い。対照的に、イェンセン不等式は確率空間の場合に特有である。

一般に、点ごとの場合でもそうではありません。したがって、ランダム変数に関する追加の条件がなければ、限界と期待値を交換することはできません。これを確認するには、がに一様に分布するランダム変数であるとします。に対して、がイベントの指示関数 であるランダム変数のシーケンスを定義します 。すると、点ごとのことがわかります。しかし、各 に対して、したがって、${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\to \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle [0,1].}$${\displaystyle n\geq 1,}$$${\displaystyle X_{n}=n\cdot \mathbf {1} \left\{U\in \left(0,{\tfrac {1}{n}}\right)\right\},}$$${\displaystyle \mathbf {1} \{A\}}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle X_{n}\to 0}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]=n\cdot \Pr \left(U\in \left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]\right)=n\cdot {\tfrac {1}{n}}=1}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [X_{n}]=1\neq 0=\operatorname {E} \left[\lim _{n\to \infty }X_{n}\right].}$

同様に、一般的な確率変数の列に対しては、期待値演算子は加法性を持たない。つまり、 ${\displaystyle \{Y_{n}:n\geq 0\},}$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{n=0}^{\infty }Y_{n}\right]\neq \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {E} [Y_{n}].}$$

例は、前の例と同様に 、と を設定することで簡単に得られます。${\displaystyle Y_{0}=X_{1}}$${\displaystyle Y_{n}=X_{n+1}-X_{n}}$${\displaystyle n\geq 1,}$${\displaystyle X_{n}}$

いくつかの収束結果では、以下に示すように、制限と期待値を交換できる正確な条件が指定されています。

• 単調収束定理：をランダム変数の列とし、各変数に対して (として)とする。さらに、各点についてとする。すると、単調収束定理は次のように述べる。${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$${\displaystyle 0\leq X_{n}\leq X_{n+1}}$${\displaystyle n\geq 0.}$${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X].}$
  単調収束定理を用いると、非負のランダム変数に対して期待値が可算な加法性を満たすことが証明できる。特に、非負のランダム変数としよう。単調収束定理から次のことがわかる。${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=0}^{\infty }}$$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].}$$
• ファトゥの補題:を非負の確率変数の列とする。ファトゥの補題は、${\displaystyle \{X_{n}\geq 0:n\geq 0\}}$$${\displaystyle \operatorname {E} [\liminf _{n}X_{n}]\leq \liminf _{n}\operatorname {E} [X_{n}].}$$
  系。すべての場合において、とすると、 (として)ならば、${\displaystyle X_{n}\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\leq C}$${\displaystyle n\geq 0.}$${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq C.}$
  証明は、(as) を観察し、ファトゥの補題を適用することによって行われます。${\textstyle X=\liminf _{n}X_{n}}$
• 優勢収束定理：をランダム変数の列とする。点ごとに(as)、(as)、そして優勢収束定理によれば、 ${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle |X_{n}|\leq Y\leq +\infty }$${\displaystyle \operatorname {E} [Y]<\infty .}$
  • ${\displaystyle \operatorname {E} |X|\leq \operatorname {E} [Y]<\infty }$;
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X]}$
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} |X_{n}-X|=0.}$
• 一様積分可能性: 場合によっては、シーケンスが一様積分可能であるときに等式が成立します。${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [\lim _{n}X_{n}]}$${\displaystyle \{X_{n}\}}$

スカラーランダム変数の確率密度関数は、その特性関数と反転式によって関連付けられます。 ${\displaystyle f_{X}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{X}}$$${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.}$$

（ボレル関数）の期待値については、この逆関数の公式を使って次のように求めることができる。 ${\displaystyle g(X)}$${\displaystyle g:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$$${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }g(x)\left[\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt\right]dx.}$$

が有限である場合、積分の順序を変えると、フビニ・トネリ定理に従って、 が得られます。ここ で 、 はのフーリエ変換 です。 の式は、プランシュレルの定理から直接導かれます。 ${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$$${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }G(t)\varphi _{X}(t)\,dt,}$$$${\displaystyle G(t)=\int _{\mathbb {R} }g(x)e^{-itx}\,dx}$$${\displaystyle g(x).}$${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$

ランダム変数の期待値は、さまざまな状況で重要な役割を果たします。

統計学 では、サンプルから得られた利用可能なデータに基づいて未知のパラメータの推定値を求める場合、サンプル平均は期待値の推定値として機能し、それ自体がランダム変数です。このような設定では、サンプル平均は、偏りのない「優れた」推定値の望ましい基準を満たしていると見なされます。つまり、推定値の期待値は、基礎となるパラメータの真の値に等しくなります。

別の例として、意思決定理論では、不完全な情報の中で最適な選択を行うエージェントは、その効用関数の期待値を最大化すると想定されることが多い。

イベントが発生した場合に 1、それ以外の場合は 0 となる指標関数の期待値を取ることで、イベントの確率に等しい期待値を構築することができます。この関係は、期待値の特性を確率の特性に変換するために使用できます。たとえば、大数の法則を使用して、頻度によって確率を推定することを正当化します。

Xのべき乗の期待値はXのモーメントと呼ばれます。Xの平均に関するモーメントは、 X − E[ X ]のべき乗の期待値です。いくつかのランダム変数のモーメントは、モーメント生成関数を介してその分布を指定するために使用できます。

ランダム変数の期待値を経験的に推定するには、変数の観測値を繰り返し測定し、その結果の算術平均を計算します。期待値が存在する場合、この手順は真の期待値を偏りなく推定し、残差の二乗和(観測値と推定値の二乗差の合計) を最小化する特性があります。大数の法則は (かなり穏やかな条件下では)サンプルのサイズが大きくなるにつれて、この推定値の分散が小さくなることを示しています。

この特性は、統計的推定や機械学習の一般的な問題を含むさまざまなアプリケーションで、モンテカルロ法を介して（確率的な）関心のある量を推定するためによく利用されます。なぜなら、関心のある量のほとんどは期待値で表すことができるからです。たとえば、は集合の指標関数です。${\displaystyle \operatorname {P} ({X\in {\mathcal {A}}})=\operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{\mathcal {A}}],}$${\displaystyle {\mathbf {1} }_{\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

古典力学では、質量の中心は期待値に類似した概念です。たとえば、X がx _iという値とそれに対応する確率p _iを持つ離散ランダム変数であるとします。ここで、重さのない棒に、棒に沿った位置x _iに重りが置かれ、質量がp _i (合計は 1) であると考えます。棒のバランスが取れている点は E[ X ] です。

期待値は分散の計算式を用いて分散を計算するためにも使用できる。 $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}.}$$

期待値の非常に重要な応用は量子力学の分野です。量子状態ベクトルに作用する量子力学演算子の期待値は 次のように表されます。における不確実性は、次の式で計算できます。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle .}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle (\Delta A)^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}}$

• 中心傾向
• 条件付き期待値
• 期待（認識論的）
• 期待値– 四分位数が中央値と関係しているのと同様に期待値と関係している
• 総期待値の法則- Yが与えられた場合のXの条件付き期待値の期待値は、Xの期待値と同じである
• 中央値–上の図では で示されています${\displaystyle m}$
• 非線形期待値– 期待値の一般化
• 人口平均
• 予測値
• ワルドの方程式– ランダムな数のランダム変数の期待値を計算する方程式