標準形ゲーム

ゲーム理論において、正規形とはゲームの記述方法である。展開形とは異なり、正規形表現は必ずしもグラフではなく、行列を用いてゲームを表現する。この方法は厳密に支配される戦略やナッシュ均衡を特定する上でより有用であるが、展開形表現と比較すると一部の情報が失われる。ゲームの正規形表現には、各プレイヤーについて、知覚可能かつ考えられるすべての戦略と、それに対応する利得が含まれる。

完全情報静的ゲームでは、ゲームの標準形表現は、プレイヤーの戦略空間と利得関数の仕様です。プレイヤーの戦略空間は、そのプレイヤーが利用できるすべての戦略の集合であり、戦略は、その段階が実際にゲーム内で発生するかどうかに関わらず、ゲームのすべての段階における完全な行動計画です。プレイヤーの利得関数は、プレイヤーの戦略空間の直積から、そのプレイヤーの利得の集合（通常は実数の集合であり、その数は基数効用または順序効用を表します。標準形表現では多くの場合基数効用です）へのマッピングです。つまり、プレイヤーの利得関数は、戦略プロファイル（つまり、すべてのプレイヤーの戦略の仕様）を入力として受け取り、利得の表現を出力として出力します。

提示された行列は、プレイヤーが同時に（または少なくとも自分の行動を行う前に他のプレイヤーの行動を観察しない）行動し、実行した行動の組み合わせに応じて指定された利得を受け取るゲームの標準形表現です。たとえば、プレイヤー1が上、プレイヤー2が左の行動を取った場合、プレイヤー1は4、プレイヤー2は3を受け取ります。各セルにおいて、最初の数値は行プレイヤー（この場合はプレイヤー1）への利得を表し、2番目の数値は列プレイヤー（この場合はプレイヤー2）への利得を表します。

その他の表現

対称的なゲーム（利得がどちらのプレイヤーがどの行動を選択するかに依存しないゲーム）は、多くの場合、1つの利得のみで表されます。これは行プレイヤーの利得です。例えば、下の右側と左側の利得行列は同じゲームを表しています。

関連する利得行列を持つゲームの位相空間もマッピングすることができ、隣接するゲームほど行列が類似していることがわかる。これは、インセンティブの漸進的な変化がゲームにどのような影響を与えるかを示している。

ゲームが正常な形式であるためには、以下のデータが提供されます。

プレイヤーの集合は有限であり、 Iは各プレイヤーをiで表す。各プレイヤーiは有限個の純粋戦略k個を持つ。

${\displaystyle S_{i}=\{1,2,\ldots ,k\}.}$

A純粋戦略プロファイルは、戦略とプレイヤーの関連付けであり、Iタプル。

${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{I})}$

そのため

$s_1 ∈ S_1, s_2 ∈ S_2, …, s_I ∈ S_I$

Aペイオフ関数は関数です

$\displaystyle u_{i}:S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{I}\rightarrow \mathbb {R} .}$

これは、ゲームの結果、1人のプレイヤーに与えられる報酬を意図した解釈です。したがって、ゲームを完全に定義するには、プレイヤー集合I = {1, 2, ..., I } の各プレイヤーについて、報酬関数を指定する必要があります。

定義：通常の形式のゲームは構造である

${\displaystyle \mathrm {T} =\langle I,\mathbf {S} ,\mathbf {u} \rangle }$

どこ：

${\displaystyle I=\{1,2,\ldots ,I\}}$

はプレイヤーの集合体です。

$${\displaystyle \mathbf {S} =\{S_{1},S_{2},\ldots ,S_{I}\}}$$

は純粋戦略セットのIタプルであり、各プレイヤーにつき 1 つずつ、

${\displaystyle \mathbf {u} =\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{I}\}}$

これは、利得関数のIタプルです。

• フーデンベルグ、D. ;ティロール、J. (1991)。ゲーム理論。 MITプレス。ISBN 0-262-06141-4。
• レイトン＝ブラウン、ケビン；ショハム、ヨアブ（2008）。ゲーム理論の基礎：簡潔で学際的な入門書。カリフォルニア州サンラファエル：モーガン＆クレイプール出版。ISBN 978-1-59829-593-1。88ページにわたる数学入門書。多くの大学でオンラインで無料で閲覧可能。
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