帯域幅共有ゲーム

帯域幅共有ゲームは、ネットワーク内の多くのユーザーへの帯域幅の実際の割り当てをモデル化するために設計されたリソース割り当てゲームの一種です。このゲームは、結論を実際のネットワークに適用できるため、ゲーム理論で人気があります。 ^{[引用が必要]}

ゲームにはプレイヤーが参加します。各プレイヤーは帯域幅の単位に対して効用を持ちます。プレイヤーは帯域幅の単位に対して支払い、純効用を受け取ります。利用可能な帯域幅の合計量は です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle U_{i}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U_{i}(x)-w_{i}}$${\displaystyle B}$

に関しては、 ${\displaystyle U_{i}(x)}$

• ${\displaystyle U_{i}(x)\geq 0;}$
• ${\displaystyle U_{i}(x)}$増加しており凹んでいる。
• ${\displaystyle U(x)}$連続的です。

このゲームは、各プレイヤーが個々に自分の利益を最大化できるような価格を見つけようとすることから生まれます。これは、各プレイヤーが個々に を見つけなければならないことを意味します。最大の収益を求めると になります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,U_{i}(x)-px}$${\displaystyle U_{i}^{'}(x)=p}$

この最大条件により、ゲームは均衡を満たす価格を見つけることが問題になります。このような価格は市場均衡価格と呼ばれます。

価格を求める一般的なアイデアは、公平な分配と呼ばれる方法です。^[1]このゲームでは、各プレイヤーはで示される特定のリソースに対して支払う意思のある金額を尋ねられます。次に、リソースは式 に従って分配されます。この方法により、実効価格 が得られます。この価格は市場均衡であることが証明できるため、分配は最適です。証明は次のとおりです。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}={\frac {w_{i}B}{\sum _{j}w_{j}}}}$${\displaystyle p={\frac {\sum _{j}w_{j}}{B}}}$${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$

となる 。したがって、 ${\displaystyle {\underset {x_{i}}{\operatorname {arg\,max} }}\,U_{i}(x_{i})-w_{i}}$ ${\displaystyle ={\underset {w_{i}}{\operatorname {arg\,max} }}\,U_{i}\left({\frac {w_{i}B}{\sum _{j}w_{j}}}\right)-w_{i}}$

${\displaystyle U_{i}^{'}\left({\frac {w_{i}B}{\sum _{j}w_{j}}}\right)\left({\frac {B}{\sum _{j}w_{j}}}-{\frac {w_{i}B}{(\sum _{j}w_{j})^{2}}}\right)-1=0}$

そこから結論を導き出す

${\displaystyle U_{i}^{'}(x_{i})\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p}}\left({\frac {x_{i}}{B}}\right)\right)-1=0}$

そしてこうして ${\displaystyle U_{i}^{'}(x_{i})\left(1-{\frac {x_{i}}{B}}\right)=p.}$

この結果を上記の均衡条件と比較すると、が非常に小さい場合、2 つの条件が互いに等しくなり、公平な共有ゲームがほぼ最適であることがわかります。 ${\displaystyle {\frac {x_{i}}{B}}}$