ゲーム理論

ジョン・フォン・ノイマンの研究により、ゲーム理論は20世紀初頭から中頃にかけて独立した分野として確立され、フォン・ノイマンは1928年に論文「戦略ゲームの理論について」を発表しました。 ^{[ 11 ] [ 12 ]}フォン・ノイマンのオリジナルの証明は、連続写像からコンパクト凸集合への不動点定理を使用しており、これはゲーム理論と数理経済学の標準的な方法となりました。フォン・ノイマンのゲーム理論の研究は、オスカー・モルゲンシュテルンと共著した1944年の著書「ゲーム理論と経済行動」で頂点に達しました。^{[ 13 ]}この本の2版では、ダニエル・ベルヌーイの古い効用理論（貨幣の効用）を独立した学問分野として復活させた、効用の公理的理論が提供されました。この基礎的な研究には、2人ゼロサムゲームの相互に矛盾しない解を見つける方法が含まれています。その後の研究は主に協力ゲーム理論に焦点を当てており、これは個人のグループが適切な戦略について合意を強制できると仮定して、個人のグループにとって最適な戦略を分析するものである。^{[ 14 ]}

エミール・ボレルは、 1938年の著書『Applications aux Jeux de Hasard』およびそれ以前のノートにおいて、利得行列が対称である場合に限り、2人ゼロサム行列ゲームに対するミニマックス定理を証明し、非自明な無限ゲーム（英語ではブロットゲームとして知られる）の解を提供した。ボレルは、有限の2人ゼロサムゲームには混合戦略均衡が存在しないと予想したが、この予想はフォン・ノイマンによって誤りであることが証明された。^{[ 15 ]}

1950年、ジョン・ナッシュは、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンが提唱した基準よりも幅広い種類のゲームに適用可能な、プレイヤーの戦略の相互整合性に関する基準、すなわちナッシュ均衡を開発した。ナッシュは、有限のn人プレイヤーによる非ゼロサム（2人ゼロサムだけでなく）の非協力ゲームには、混合戦略において現在ナッシュ均衡として知られるものが存在することを証明した。

ゲーム理論は1950年代に活発な研究活動が行われ、その間にコア、展開形ゲーム、仮想プレイ、繰り返しゲーム、シャプレー値といった概念が開発されました。1950年代には、ゲーム理論が哲学や政治学に初めて応用された時期でもありました。囚人のジレンマに関する最初の数学的考察が現れ、数学者のメリル・M・フラッドとメルビン・ドレッシャーが、ランド研究所のゲーム理論研究の一環として実験を行いました。ランド研究所は、世界的な核戦略への応用の可能性から、これらの研究を進めました。^{[ 16 ]}

プレイヤーが外部から強制される拘束力のある約束（例えば契約法によるもの）を形成できる場合、そのゲームは協力的である。プレイヤーが同盟を形成できない場合、またはすべての合意が自己強制される必要がある場合（例えば信頼できる脅迫によるもの）は、そのゲームは非協力的である。 ^{[ 17 ]}

協力ゲームは、どの連合が形成されるか、グループが共同でどのような行動をとるか、そして結果として得られる集団的な利得を予測することに焦点を当てた協力ゲーム理論の枠組みを通して分析されることが多い。これは、ナッシュ均衡を分析することによって個々のプレイヤーの行動と利得を予測することに焦点を当てた非協力ゲーム理論とは異なる。^{[ 18 ] [ 19 ]}

協力ゲーム理論は、連合の構造と利得のみを記述する高レベルのアプローチを提供するのに対し、非協力ゲーム理論は、戦略的相互作用が利得の分配にどのように影響するかについても考察します。非協力ゲーム理論はより一般的であるため、協力ゲームも非協力ゲーム理論のアプローチで分析できます（逆は成り立ちません）。ただし、外部からの協力強制の可能性によってプレイヤーが利用できるすべての戦略を網羅するのに十分な仮定を置く必要があります。

対称ゲームとは、各プレイヤーが同じ選択をしたときに同じ報酬を得るゲームのことです。言い換えれば、プレイヤーの身元によって、他のプレイヤーが直面する結果的なゲームは変わりません。^{[ 20 ]}よく研究される2×2ゲームの多くは対称ゲームです。チキンゲーム、囚人のジレンマ、スタッグハントの標準的な表現はすべて対称ゲームです。

最もよく研​​究されている非対称ゲームは、両プレイヤーの戦略セットが同一ではないゲームです。例えば、最後通牒ゲームや独裁者ゲームでは、各プレイヤーの戦略が異なります。しかし、両プレイヤーの戦略が同一であっても、非対称であるゲームも存在します。例えば、このセクションの図に示されているゲームは、両プレイヤーの戦略セットが同一であるにもかかわらず、非対称です。

ゼロサムゲーム（より一般的には定数サムゲーム）は、プレイヤーの選択によって利用可能なリソースが増減しないゲームです。ゼロサムゲームでは、すべての戦略の組み合わせにおいて、ゲームに参加するすべてのプレイヤーに合計利益がもたらされ、常にゼロになります（より非公式に言えば、プレイヤーは他のプレイヤーと同等の損失を被った場合にのみ利益を得ます）。^{[ 21 ]}ポーカーは、対戦相手が失う金額と全く同じ金額を獲得するため、ゼロサムゲームの例です（ハウスの取り分の可能性は無視します）。その他のゼロサムゲームには、マッチングペニーや、囲碁やチェスなどのほとんどの古典的なボードゲームが含まれます。

ゲーム理論家が研究する多くのゲーム（有名な囚人のジレンマを含む）は、結果がゼロより大きいか小さいかのどちらかになるため、非ゼロサムゲームである。非ゼロサムゲームでは、非ゼロサムゲームにおいて、一方のプレイヤーの利益は必ずしも他方のプレイヤーの損失に対応するとは限らない。

さらに、定和ゲームは窃盗や賭博といった活動に対応するものであり、貿易から潜在的な利益が得られるという基本的な経済状況には対応していません。ダミープレイヤー（しばしば「盤面」と呼ばれる）を追加することで、任意の定和ゲームを（非対称の場合もある）ゼロサムゲームに変換することが可能です。ダミープレイヤーの損失は、プレイヤーの純利益を相殺します。

同時ゲームとは、両方のプレイヤーが同時に動くゲーム、または後続のプレイヤーが先行プレイヤーの行動を知らない（実質的に同時である）ゲームです。逐次ゲーム（動的ゲームの一種）とは、プレイヤーが同時に意思決定を行わず、プレイヤーの先行行動が他のプレイヤーの結果や意思決定に影響を与えるゲームです。^{[ 22 ]}これは、先行プレイヤーのすべての行動に関する完全な情報である必要はなく、ごくわずかな知識である場合もあります。たとえば、プレイヤーは先行プレイヤーが特定の行動を1つ実行しなかったことは知っていても、最初のプレイヤーが実際に実行した他の利用可能な行動については知らない場合があります。

同時ゲームと逐次ゲームの違いは、上述の異なる表現方法に表れています。多くの場合、同時ゲームは正規形、逐次ゲームは展開形を用いて表現されます。展開形から正規形への変換は一方向であるため、複数の展開形ゲームが同じ正規形に対応します。したがって、同時ゲームの均衡概念は、逐次ゲームを考察するには不十分です（部分ゲーム完全性を参照）。

要するに、逐次ゲームと同時ゲームの違いは以下のとおりです。

逐次ゲームの重要なサブセットは、完全情報ゲームです。完全情報ゲームとは、ゲームのすべてのプレイヤーが、ゲームのすべての動きにおいて、ゲームの過去の履歴と他のすべてのプレイヤーが以前に行った動きを知っていることを意味します。不完全情報ゲームは、同時手番ゲームのように、プレイヤーが相手がすでに行ったすべての動きを知らない場合にプレイされます。^{[ 23 ]}完全情報ゲームの例としては、三目並べ、チェッカー、チェス、囲碁などがあります。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

ポーカーやブリッジなど、多くのカードゲームは不完全情報ゲームである。^{[ 27 ]}完全情報は、ゲームプレイ全体を通して各プレイヤーのシーケンス、戦略、およびペイオフに関する共通知識に関連する同様の概念である完全情報と混同されることが多い。 ^{[ 28 ]}完全情報では、すべてのプレイヤーが他のプレイヤーが利用できる戦略とペイオフを知っている必要があるが、必ずしも取られたアクションを知っている必要はないのに対し、完全情報はゲームとプレイヤーのすべての側面に関する知識である。 ^{[ 29 ]}ただし、「自然による動き」を導入することで、不完全情報ゲームに還元することができる。^{[ 30 ]}

ナッシュ均衡の前提の一つは、すべてのプレイヤーが他のプレイヤーの行動について正しい信念を持っているという点です。しかし、ゲーム理論には、参加者が相手の特性を完全に理解していない状況が数多く存在します。交渉者は交渉対象に対する相手の評価を知らない場合があり、企業は相手のコスト関数を知らない場合があり、戦闘員は相手の強みを知らない場合があり、陪審員は裁判における同僚の証拠解釈を知らない場合があります。場合によっては、参加者は相手の性格をよく知っているかもしれませんが、相手が自分の性格をどれだけよく知っているかを知らない場合もあります。^{[ 31 ]}

ベイズゲームとは、不完全な情報に基づく戦略ゲームのことです。戦略ゲームでは、意思決定者はプレイヤーであり、各プレイヤーは一連の行動をとります。不完全情報仕様の中核となるのは、状態の集合です。各状態は、プレイヤーの好みや詳細など、プレイヤーに関連する特性の集合を完全に記述します。プレイヤーが存在する可能性があると考えるすべての特徴の集合に対して、状態が存在しなければなりません。^{[ 32 ]}

例えば、プレイヤー1はプレイヤー2が自分とデートしたいのか、それとも自分から逃げたいのか確信が持てない一方、プレイヤー2は以前と同様にプレイヤー1の好みを理解している場合を考えてみましょう。具体的には、プレイヤー1はプレイヤー2が自分とデートしたい確率が1/2、自分から逃げたい確率が1/2だと考えているとします（この評価はおそらくプレイヤー1の経験に基づいています。このような場合、プレイヤー1は半分の確率でデートしたいプレイヤーと、半分の確率で自分を避けたいプレイヤーに遭遇するからです）。確率が関係するため、この状況を分析するには、プレイヤーが引き分けを好むかどうかを理解する必要がありますが、人々は純粋な戦略的均衡にのみ関心を持っています。

最適な戦略を見つけることの難しさが、可能な動きの多様性に起因するゲームは、組み合わせゲームと呼ばれます。例としては、チェス、将棋、囲碁などがあります。不完全情報を含むゲームも、バックギャモンのように強い組み合わせ的性質を持つ場合があります。ゲームにおける組み合わせ的要素を扱う統一理論はありません。しかし、特定の問題を解決し、一般的な質問に答えることができる数学的ツールは存在します。^{[ 33 ]}

完全情報ゲームは組み合わせゲーム理論で研究されており、この理論では、超現実数などの新しい表現や、無限に長い一連の動きが生じる可能性のある「ループ」ゲームを含む特定のタイプのゲームを解くための組み合わせ的および代数的（そして時には非構成的）証明方法が開発されています。これらの方法は、従来の（または「経済」）ゲーム理論で通常考慮されるものよりも組み合わせ的複雑性が高いゲームを扱います。^{[ 34 ] [ 35 ]}この方法で解かれた典型的なゲームはヘックスです。計算複雑性理論から派生した関連研究分野はゲーム複雑性であり、これは最適な戦略を見つけるための計算上の困難さを推定することに関係しています。^{[ 36 ]}

人工知能の研究では、完全情報ゲームと不完全情報ゲームの両方が、非常に複雑な組み合わせ構造（チェス、囲碁、バックギャモンなど）を持ち、証明可能な最適戦略が見つかっていないゲームに取り組んできました。実用的な解決策としては、アルファベータ枝刈りや強化学習で訓練された人工ニューラルネットワークの使用など、計算ヒューリスティクスが用いられ、これによりゲームが計算処理において扱いやすくなります。^{[ 33 ] [ 37 ]}

ゲーム理論の多くは、プレイヤー、行動、イベント、結果などが有限である有限離散ゲームを扱っています。しかし、多くの概念は拡張可能です。連続ゲームでは、プレイヤーは連続的な戦略集合から戦略を選択できます。例えば、クールノー競争では、プレイヤーの戦略は、小数を含む任意の非負の値としてモデル化されるのが一般的です。

連続追跡回避ゲームのような微分ゲームは、プレイヤーの状態変数の変化が微分方程式によって記述される連続ゲームである。微分ゲームにおける最適戦略の探索問題は、最適制御理論と密接に関連している。特に、戦略には2種類あり、開ループ戦略はポントリャーギンの最大原理を用いて求められ、閉ループ戦略はベルマンの動的計画法を用いて求められる。

微分ゲームの特殊なケースとして、ランダムな時間範囲を持つゲームがある。^{[ 38 ]}このようなゲームでは、終了時間は与えられた確率分布関数を持つ確率変数である。したがって、プレイヤーはコスト関数の数学的期待値を最大化する。修正された最適化問題は、無限の時間間隔にわたる割引微分ゲームとして再定式化できることが示された。

進化ゲーム理論は、必ずしも合理的または先見的ではないルールに従って、時間の経過とともに戦略を調整するプレイヤーを研究します。^{[ 39 ]}一般に、そのようなルールに従って時間の経過とともに戦略が進化することは、現在の戦略プロファイルや最近の過去のゲームのプレイ方法などの状態変数を持つマルコフ連鎖としてモデル化されます。そのようなルールには、模倣、最適化、または適者生存が含まれる場合があります。

生物学では、このようなモデルは進化を表すことができ、子孫は親の戦略を採用し、より成功した戦略（つまり、より高い報酬に対応する戦略）をとる親はより多くの子孫を持つ。社会科学では、このようなモデルは通常、生涯に何度もゲームをプレイし、意識的または無意識的に時折戦略を調整するプレイヤーによる戦略的調整を表す。^{[ 40 ]}

確率的な結果を伴う個々の意思決定問題は、「一人用ゲーム」とみなされることがあります。意思決定理論、オペレーションズリサーチ、人工知能の分野、特に不確実性を伴うAIプランニングやマルチエージェントシステムといった関連分野で、同様のツールを使用してモデル化することができます。これらの分野は動機が異なる場合もありますが、関連する数学は実質的に同じであり、例えばマルコフ決定過程（MDP）を使用します。^{[ 41 ]}

確率的な結果は、ランダムに行動するプレイヤーを追加することでゲーム理論の観点からもモデル化できます。このプレイヤーは「偶然の動き」（「自然な動き」）を行います。^{[ 42 ]}このプレイヤーは通常、2人プレイのゲームにおける3人目のプレイヤーとは見なされず、ゲームで必要とされる場合にサイコロを振る役割を担います。

問題によっては、確率的結果をモデル化するアプローチが異なると、異なる解決策につながる場合があります。たとえば、MDPとミニマックス解のアプローチの違いは、後者が固定された確率分布に基づいてこれらの動きについて期待値に基づいて推論するのではなく、一連の敵対的行動における最悪のケースを考慮する点にあります。ミニマックスアプローチは、不確実性の確率モデルが利用できない場合に有利になる可能性がありますが、極めて起こりそうもない（しかしコストのかかる）事象を過大評価する可能性があり、敵対者がそのような事象を強制的に起こすことができると仮定すると、そのようなシナリオにおける戦略を大きく左右する可能性があります。^{[ 43 ]}（この種のモデリングの問題、特に投資銀行業務における損失の予測と制限に関連する問題については、ブラックスワン理論を参照してください。）

確率的結果、敵対者、部分的またはノイズのある観測可能性（他のプレイヤーの動き）のすべての要素を含む一般的なモデルも研究されています。「ゴールドスタンダード」は部分観測可能な確率ゲーム（POSG）と考えられていますが、POSG表現で計算可能な現実的な問題はほとんどありません。^{[ 43 ]}

これらは、プレイするゲーム自体が、別のゲーム（対象ゲームまたは主題ゲーム）のルールを開発するゲームである。メタゲームは、開発されたルールセットの効用値を最大化することを目指す。メタゲームの理論は、メカニズム設計理論と関連している。

メタゲーム分析という用語は、ナイジェル・ハワード^{[ 44 ]}によって開発された実践的なアプローチを指すためにも使用され、状況を、利害関係者が利用可能な選択肢によって目的を達成しようとする戦略的ゲームとして捉えます。その後の発展により、対立分析が定式化されました。

平均場ゲーム理論は、相互作用する多数の小さなエージェントからなる非常に大規模な集団における戦略的意思決定を研究する分野である。この種の問題は、経済学の分野ではボヤン・ヨバノビッチとロバート・W・ローゼンタール、工学の分野ではピーター・E・ケインズ、数学者のピエール＝ルイ・リオンズとジャン＝ミシェル・ラスリーによって研究されてきた。

展開形式は、時間の順序で動きがあるゲームを形式化するために使用できます。展開形式のゲームは、ゲームツリーを使用して視覚化できます（ここに示されているように）。ここでは、各頂点（またはノード）は、プレイヤーの選択ポイントを表します。プレイヤーは、頂点にリストされている番号によって指定されます。頂点から出る線は、そのプレイヤーの可能な行動を表します。利得は、ツリーの下部で指定されます。展開形式は、決定木のマルチプレイヤー一般化と見なすことができます。^{[ 49 ]}展開形式のゲームを解くには、後方帰納法を使用する必要があります。これは、ゲームツリーを逆方向にたどって、合理的なプレイヤーがツリーの最後の頂点で何をするか、前の動きをしたプレイヤーが合理的であると仮定して前の動きをしたプレイヤーが何をするか、などとツリーの最初の頂点に到達するまで続けることを意味します。^{[ 50 ]}

図に示されているゲームは2人のプレイヤーで構成されています。このゲームの構造（つまり、逐次的な意思決定と完全な情報）では、プレイヤー1が最初にFまたはU （公平または不公平）を選択して「行動」します。次に、プレイヤー1の行動を観察したプレイヤー2が、 AまたはR（受け入れまたは拒否）を選択してプレイします。プレイヤー2が選択を終えると、ゲームは終了とみなされ、各プレイヤーはそれぞれの報酬を受け取ります。図では、報酬は2つの数字で表されており、最初の数字はプレイヤー1の報酬、2番目の数字はプレイヤー2の報酬を表しています。プレイヤー1がUを選択し、次にプレイヤー2がAを選択したとします。すると、プレイヤー1は「8」の報酬を得ます（現実世界では、これはさまざまな方法で解釈できます。最も単純なのはお金のことですが、8日間の休暇、8カ国の征服、あるいは他のプレイヤーと8回同じゲームをプレイする機会などを意味することもあります）。そして、プレイヤー2は「2」の報酬を得ます。

展開形は、同時手番ゲームや不完全情報ゲームも表現できます。これを表現するには、異なる頂点を点線で結んで同じ情報セットの一部であることを示すか（つまり、プレイヤーは自分がどの時点にいるのかを知らない）、またはそれらを囲むように閉じた線を引きます。（不完全情報セクションの例を参照してください。）

通常の（または戦略形式の）ゲームは、通常、プレイヤー、戦略、および利得を示す行列で表されます（右の例を参照）。より一般的には、各プレイヤーの利得をすべての可能なアクションの組み合わせに関連付ける任意の関数で表すことができます。付属の例では、2 人のプレイヤーがいます。一方が行を選択し、もう一方が列を選択します。各プレイヤーには、行の数と列の数によって指定される 2 つの戦略があります。利得は内部に示されています。最初の数字は行プレイヤー（この例ではプレイヤー 1）が受け取る利得です。2 番目の数字は列プレイヤー（この例ではプレイヤー 2）の利得です。プレイヤー 1 がUp をプレイし、プレイヤー 2 がLeftをプレイするとします。すると、プレイヤー 1 は 4 の利得を得て、プレイヤー 2 は 3 の利得を得ます。

ゲームが通常形式で提示される場合、各プレイヤーは同時に行動するか、少なくとも他のプレイヤーの行動を知らない状態で行動することが前提とされます。プレイヤーが他のプレイヤーの選択について何らかの情報を持っている場合、ゲームは通常、拡張形式で提示されます。

すべての展開形式ゲームには同等の標準形式ゲームが存在するが、標準形式への変換によって表現のサイズが指数関数的に増大し、計算が非現実的になる可能性がある。^{[ 51 ]}

協力ゲーム理論では、特性関数は各連合の利得を列挙する。この定式化の起源は、ジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンの著書にある。^{[ 52 ]}

形式的には、特性関数は関数である${\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} }$^{[ 53 ]}プレイヤーのすべての可能な連合の集合から支払いの集合へ、また、${\displaystyle v(\emptyset )=0}$この関数は、プレイヤーのグループが連合を形成することで得られる総利益を表します。

代替的なゲーム表現形式は、ゲームのいくつかのサブクラスで使用されたり、学際的な研究のニーズに合わせて調整されたりします。^{[ 54 ]}古典的なゲーム表現に加えて、代替表現の中には時間に関連する側面をエンコードするものもあります。

ゲーム理論の主な用途は、人間の集団がどのように行動するかを記述し、モデル化することです。一部の学者は、ゲームの均衡を見つけることで、研究対象のゲームに類似した状況に直面した実際の人間の集団がどのように行動するかを予測できると考えています。このゲーム理論の特定の見解は批判されています。ゲーム理論家が立てた仮定は、現実世界の状況に適用すると、しばしば破綻すると主張されています。ゲーム理論家は通常、プレイヤーが合理的に行動すると仮定しますが、実際には、人間の合理性や行動は、ゲーム理論で使用される合理性のモデルから逸脱することがよくあります。ゲーム理論家は、自分たちの仮定を物理学で使用される仮定と比較することで対応します。したがって、彼らの仮定は常に成り立つわけではありませんが、ゲーム理論を物理学者が使用するモデルに似た合理的な科学的理想として扱うことができます。しかし、実証研究は、ムカデゲーム、平均の2/3を推測するゲーム、独裁者ゲームなどのいくつかの古典的なゲームでは、人々がナッシュ均衡をプレイしないことが示されています。これらの実験の重要性、そして実験の分析が関連する状況のあらゆる側面を完全に捉えているかどうかについては、現在も議論が続いている。^{[ b ]}

ジョン・メイナード・スミスやジョージ・R・プライスの研究に倣い、一部のゲーム理論家はこれらの問題を解決するために進化ゲーム理論に目を向けた。これらのモデルは、プレイヤーに合理性が全くないか、あるいは限定合理性しか持たないことを前提としている。進化ゲーム理論という名称にもかかわらず、必ずしも生物学的な意味での自然淘汰を前提としているわけではない。進化ゲーム理論には、生物学的進化と文化的進化の両方、そして個人の学習モデル（例えば、仮想プレイのダイナミクス）も含まれる。

ゲーム理論を人間の行動を予測するツールとしてではなく、人々がどのように行動すべきかを示す提案として捉える学者もいる。ゲームのナッシュ均衡に対応する戦略は、他のプレイヤーが（同じ）ナッシュ均衡にある場合、他のプレイヤーの行動に対する最善の反応となるため、ナッシュ均衡の一部である戦略をとることは適切であるように思われる。ゲーム理論のこのような規範的な使用法は批判も受けている。^{[ 76 ]}

ゲーム理論は、相互作用するエージェントの競合行動をモデル化するために、数理経済学やビジネスで使用される主要な手法です。^{[ c ] [ 77 ] [ 78 ] [ 79 ]}応用分野には、オークション、交渉、合併買収価格設定^{[ 80 ]} 、公正な分割、複占、寡占、ソーシャルネットワーク形成、エージェントベースの計算経済学^{[ 81 ] [ 82 ]、}一般均衡、メカニズム設計^{[ 83 ] [ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] 、}投票システムなど、幅広い経済現象やアプローチが含まれます。^{[ 88 ]}また、実験経済学、^{[ 89 ] [ 90 ] [ 91 ] [ 92 ] [ 93 ]}行動経済学、^{[ 94 ] [ 95 ] [ 96 ] [ 97 ] [ 98 ] [ 99 ]}情報経済学、^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}産業組織論、^{[ 100 ] [ 101 ] [ 102 ] [ 103 ]}および政治経済学などの幅広い分野^{に及んでい}ます。^{[ 104 ] [ 105 ] [ 106 ] [ 47 ]}

この研究は通常、 「解概念」または「均衡」として知られる特定の戦略セットに焦点を当てています。一般的な仮定は、プレイヤーが合理的に行動することです。非協力ゲームでは、これらのうち最も有名なのはナッシュ均衡です。戦略のセットは、それぞれが他の戦略に対する最善の反応を表す場合にナッシュ均衡となります。すべてのプレイヤーがナッシュ均衡の戦略を実行している場合、他のプレイヤーが行っていることを考慮すると、自分の戦略が最善であるため、プレイヤーは一方的に逸脱するインセンティブを持ちません。^{[ 107 ] [ 108 ]}

ゲームの報酬は一般的に、個々のプレイヤーの効用を表すものとみなされる。

経済学におけるゲーム理論の典型的な論文は、特定の経済状況を抽象化したゲームを提示することから始まります。1つ以上の解概念が選択され、著者は提示されたゲームにおけるどの戦略セットが適切なタイプの均衡であるかを示します。経済学者や経営学教授は、記述的用途と規範的用途という2つの主要な用途を提案しています（上記参照） 。^{[ 71 ]}

英国勅許調達供給協会（ CIPS）は、ビジネス調達の文脈においてゲーム理論の知識と活用を促進しています。^{[ 110 ]} CIPSとTWSパートナーズは、調達専門家の間でのゲーム理論の理解、認識、および応用を探るために設計された一連の調査を実施しました。彼らの第3回年次調査（2019年）の主な調査結果には、次のものが含まれます。

• 調達活動へのゲーム理論の応用は増加しており、当時、調査回答者全体の19%が該当した。
• 参加者の65％が、ゲーム理論の応用が拡大すると予測している。
• 回答者の70％が、ゲーム理論について「基本的な理解、もしくはそれ以下の理解」しか持っていないと答えている。
• 参加者の20％がゲーム理論に関する実務研修を受けていた。
• 回答者の50％が、新規または改良されたソフトウェアソリューションが望ましいと回答した。
• 回答者の90%が、仕事に必要なソフトウェアを持っていないと答えた。^{[ 111 ]}

プロジェクトの成功には、賢明な意思決定が不可欠です。プロジェクトマネジメントにおいては、投資家、プロジェクトマネージャー、請負業者、下請業者、政府、顧客といった関係者の意思決定プロセスをモデル化するためにゲーム理論が用いられます。これらの関係者はしばしば利害が対立し、時には互いの利益が直接的に不利益となる場合もあるため、プロジェクトマネジメントのシナリオはゲーム理論によるモデル化に非常に適しています。

Piraveenan (2019) ^{[ 112 ]}は、レビューの中で、ゲーム理論がプロジェクト管理シナリオのモデル化に使用されている例をいくつか挙げています。たとえば、投資家は通常、複数の投資オプションを持っており、それぞれのオプションは異なるプロジェクトにつながる可能性が高いため、プロジェクト憲章を作成する前に投資オプションのいずれかを選択する必要があります。同様に、建設プロジェクトなど、下請け業者が関わる大規模プロジェクトでは、元請け業者（プロジェクトマネージャー）と下請け業者の間、または下請け業者同士の間で複雑な相互作用があり、通常は複数の意思決定ポイントがあります。たとえば、元請け業者と下請け業者の間の契約に曖昧さがある場合、それぞれがプロジェクト全体、ひいてはプロジェクトにおける自身の利害を危険にさらすことなく、どれだけ強く主張するかを決定しなければなりません。同様に、競合組織のプロジェクトが開始されると、マーケティング担当者は、競争に直面して最大限の支持を得られるよう、プロジェクト、またはその結果として得られる製品やサービスをマーケティングするための最適なタイミングと戦略を決定しなければなりません。これらのシナリオのいずれにおいても、必要な意思決定は、何らかの形で意思決定者の利益と競合する利益を持つ他のプレイヤーの意思決定に依存するため、理想的にはゲーム理論を用いてモデル化することができる。

Piraveenan ^{[ 112 ]}は、プロジェクト管理のシナリオをモデル化するために主に2人用ゲームが使用され、これらのプレイヤーのアイデンティティに基づいて、プロジェクト管理では5つの異なるタイプのゲームが使用されることを要約しています。

• 官民連携ゲーム（官民パートナーシップをモデル化したゲーム）
• 請負業者同士のゲーム
• 請負業者と下請け業者のゲーム
• 下請け業者同士のゲーム
• 他のプレイヤーが参加するゲーム

ゲームの種類という点では、協力型ゲームと非協力型ゲーム、標準形ゲームと展開形ゲーム、ゼロサムゲームと非ゼロサムゲームの両方が、さまざまなプロジェクト管理シナリオをモデル化するために使用されています。

ゲーム理論の政治学への応用は、公正な分配、政治経済学、公共選択、戦争交渉、実証政治理論、社会選択理論といった重複する領域に焦点を当てている。これらの各領域において、研究者たちは、プレイヤーが有権者、国家、特殊利益団体、政治家であることが多いゲーム理論モデルを開発してきた。^{[ 113 ]}

政治学にゲーム理論を適用した初期の例は、アンソニー・ダウンズによって提供された。1957年の著書『民主主義の経済理論』 ^{[ 114 ]}で、彼はホテリングの企業立地モデルを政治プロセスに適用した。ダウンズのモデルでは、政治候補者は一次元政策空間上のイデオロギーにコミットする。ダウンズはまず、有権者が十分な情報を持っている場合、政治候補者が中位の有権者が好むイデオロギーに収束する様子を示したが、その後、有権者は合理的に無知なままでいることを選択し、候補者の意見の相違を許容すると主張した。ゲーム理論は、ジョン・F・ケネディ大統領時代の1962年のキューバ危機に適用された。 ^{[ 115 ]}

ゲーム理論はあらゆる形態の政治体制の安定性を説明するとも提案されている。最も単純な例である君主制を考えてみると、国王は一人であるため、臣民全員、あるいは相当数の臣民に対して個人的に物理的支配を行使することで権威を維持することはできない。主権者の支配は、他のすべての市民が国王（または他の確立された政府）を命令に従うべき人物と見なすことを期待しているという認識によって説明される。主権者を交代させるための市民間のコミュニケーションの調整は、主権者を交代させるための陰謀は一般的に犯罪として処罰されるため、事実上禁止されている。^{[ 116 ]}したがって、囚人のジレンマの変形によってモデル化できるプロセスにおいて、安定期には、すべての市民が共同で行動した方が自分たちにとってより良いと知っていても、どの市民も主権者を交代させるために行動することは合理的ではないと考えるだろう。

民主的平和に関するゲーム理論的説明としては、民主主義国家における公開かつ開かれた議論は、自国の意図に関する明確で信頼できる情報を他国に伝えるという点が挙げられる。対照的に、非民主主義国家の指導者の意図、譲歩がどのような影響を与えるか、約束が守られるかどうかを知ることは難しい。したがって、紛争当事者の少なくとも一方が非民主主義国家である場合、不信感が生じ、譲歩を渋ることになる。^{[ 117 ]}

しかし、ゲーム理論によれば、指導者が戦闘のコストを認識していても、二国間が戦争に突入する可能性は依然としてある。戦争は情報の非対称性から生じる可能性がある。二国間が手持ちの軍事資源の量を偽って報告するインセンティブを持つ場合、戦闘に頼らずに紛争を円満に解決することができなくなる。さらに、戦争はコミットメントの問題から生じる可能性がある。二国間が平和的な手段で紛争を解決したいと考えているが、それぞれがその解決条件を撤回したいと考えている場合、戦争に頼る以外に選択肢がなくなる可能性がある。最後に、戦争は問題の不可分性から生じる可能性がある。^{[ 118 ]}

ゲーム理論は、新たな規則や法律が適用される際に、その国の反応を予測するのにも役立つ可能性がある。一例として、ピーター・ジョン・ウッド（2013）による、各国が気候変動の緩和に何ができるかを調査した研究がある。ウッドは、温室効果ガスの排出量を削減するために他国と条約を結ぶことでこれが達成できると考えた。しかし、この考えは各国にとって囚人のジレンマを生み出すため、うまくいかないと結論付けた。^{[ 119 ]}

ゲーム理論は、防衛用途に関連する意思決定シナリオをモデル化するために広く使用されてきました。^{[ 120 ]}防衛環境でゲーム理論を適用した研究のほとんどは、指揮統制戦争に関するものであり、さらに (i) 資源配分戦争、(ii) 情報戦争、(iii) 兵器制御戦争、(iv) 敵監視戦争を扱う研究に分類できます。^{[ 120 ]}研究された問題の多くは、感知と追跡に関するもので、たとえば、敵対的な潜水艦を追跡しようとする水上艦と、追跡を回避しようとする潜水艦、および両艦艇によってアクティブ化された方位、速度、センサー技術に関して行われる相互依存的な意思決定などです。

例えば、このツール^{[ 121 ]}は、公開されている脆弱性データをモデルに変換する処理を自動化し、防御側がスタッケルベルグ均衡分析を通じて最適な防御戦略を合成できるようにします。このアプローチは、防御側が攻撃者の最善の対応を予測して対抗できるようにすることでサイバーレジリエンスを強化し、敵対的なサイバーセキュリティ環境においてゲーム理論の重要性をますます高めています。

Hoらは、防衛におけるゲーム理論の応用について包括的な概要を示し、物理領域とサイバー領域の両方におけるその利点と限界を強調している。

経済学におけるゲームとは異なり、生物学におけるゲームの利得は、しばしば適応度に対応するものとして解釈される。さらに、合理性の概念に対応する均衡よりも、進化の力によって維持される均衡に焦点が当てられてきた。生物学で最もよく知られている均衡は、進化的に安定な戦略（ESS）として知られており、( Maynard Smith & Price 1973 )で初めて導入された。当初の動機はナッシュ均衡の精神的要件とは全く関係がなかったが、すべてのESSはナッシュ均衡である。

生物学において、ゲーム理論はさまざまな現象を理解するためのモデルとして用いられてきた。最初に用いられたのは、ほぼ1:1の性比の進化（および安定性）を説明するためであった。（フィッシャー 1930 ）は、1:1の性比は、孫の数を最大化しようとする個体に作用する進化的な力の結果であると示唆した。

さらに、生物学者は進化ゲーム理論とESSを用いて動物のコミュニケーションの出現を説明してきた。^{[ 122 ]}シグナリングゲームやその他のコミュニケーションゲームの分析は、動物間のコミュニケーションの進化についての洞察を与えてきた。例えば、多くの種に見られるモビング行動（多数の被食動物がより大きな捕食者を攻撃する行動）は、自発的に出現する組織の一例であるように思われる。アリもまた、ファッションに似たフィードフォワード行動を示すことが示されている（ポール・オーメロッドの『バタフライ・エコノミクス』を参照）。

生物学者はチキンゲームを使って闘争行動や縄張り行動を分析してきた。^{[ 123 ]}

メイナード・スミスは『進化とゲーム理論』の序文で、「逆説的ではあるが、ゲーム理論は、本来設計された経済行動の分野よりも生物学に容易に適用できることが判明した」と述べている。進化ゲーム理論は、自然界における多くの矛盾した現象を説明するために使用されてきた。^{[ 124 ]}

そのような現象の一つに、生物学的利他主義と呼ばれるものがある。これは、生物が他の生物に利益をもたらし、自分自身には不利益をもたらすような行動をとる状況である。このような行動は意識的なものではなく、全体的な適応度を高めるための進化的な適応であるように見えるため、これは従来の利他主義の概念とは異なる。例としては、夜間の狩りで得た血を吐き戻し、餌を食べられなかった群れのメンバーに与える吸血コウモリ、生涯女王蜂の世話をし、決して交尾しない働き蜂、捕食者の接近を群れのメンバーに警告し、たとえそれが個体の生存の可能性を危険にさらす場合でも警告するベルベットモンキーなどが挙げられる。 ^{[ 125 ]}これらの行動はすべて、群れの全体的な適応度を高めるが、個体にはコストがかかる。

進化ゲーム理論は、血縁選択の考え方でこの利他主義を説明する。利他主義者は、助ける相手を区別し、親族を優先する。ハミルトンの法則は、この選択の背後にある進化論的根拠を、c < b × rという式で説明する。ここで、利他主義者にとってのコストcは、受け取る側にとっての利益bに血縁係数rを掛けたものよりも小さくなければならない。2 つの生物の血縁関係が近いほど、多くの同じ対立遺伝子を共有するため、利他主義の発生頻度が高くなる。これは、利他的な個体は、近縁者の対立遺伝子が子孫の生存を通じて確実に受け継がれるようにすることで、同じ数の対立遺伝子が受け継がれるため、自分自身が子孫を持つという選択肢を放棄できることを意味する。例えば、兄弟姉妹を助ける場合（二倍体動物の場合）、係数は 1/2 となる。これは、（平均的に）個体が兄弟姉妹の子孫の対立遺伝子の半分を共有しているためである。兄弟の子孫のうち十分な数が成人まで生き残ることを保証すれば、利他的な個体が子孫を残す必要性はなくなる。^{[ 125 ]}係数の値は、競技場の範囲に大きく依存する。たとえば、誰を優遇するかの選択に、すべての親族だけでなくすべての遺伝的生物が含まれる場合、すべての人間の間の差異は競技場の多様性の約 1% しか占めないと仮定すると、より小さなフィールドで 1/2 であった係数は0.995になる。同様に、遺伝的性質以外の情報 (たとえば、エピジェネティクス、宗教、科学など)が時間を通じて存続すると考えられる場合、競技場はさらに大きくなり、差異は小さくなる。

ゲーム理論は、論理学やコンピュータ科学においてますます重要な役割を果たすようになってきている。いくつかの論理理論はゲーム意味論に基づいている。さらに、コンピュータ科学者はインタラクティブな計算をモデル化するためにゲームを使用してきた。また、ゲーム理論はマルチエージェントシステムの分野に理論的基盤を提供している。^{[ 126 ]}

それとは別に、ゲーム理論はオンラインアルゴリズムにおいて役割を果たしてきました。特に、k-サーバー問題は、過去には移動コストのあるゲームやリクエスト応答ゲームと呼ばれていました。^{[ 127 ]}ヤオの原理は、ランダム化アルゴリズム、特にオンラインアルゴリズムの計算複雑性の下限を証明するためのゲーム理論的手法です。

インターネットの出現は、ゲーム、市場、計算オークション、ピアツーピアシステム、セキュリティおよび情報市場における均衡を見つけるためのアルゴリズムの開発を促しました。アルゴリズムゲーム理論^{[ 87 ]}、そしてその中のアルゴリズムメカニズム設計^{[ 86 ]}は、計算アルゴリズム設計と複雑系の分析を経済理論と組み合わせたものです。^{[ 128 ] [ 129 ] [ 130 ]}

ゲーム理論は、人工知能と機械学習の分野で複数の応用例があります。不確実な環境で複雑な意思決定を行うことができる自律システムの開発によく使用されます。^{[ 131 ]} AI/ML の文脈におけるゲーム理論のその他の応用分野としては、マルチエージェントシステムの構築、強化学習、^{[ 132 ]}メカニズム設計などがあります。 ^{[ 133 ]}ゲーム理論を使用して他のエージェントの行動をモデル化し、その行動を予測することで、AI/ML システムはより良い意思決定を行い、より効果的に動作することができます。^{[ 134 ]}

ゲーム理論は哲学において様々な用途に用いられてきた。WVO Quine ( 1960、1967 )の2 つの論文に応答して、Lewis (1969)はゲーム理論を用いて慣習の哲学的説明を展開した。その際、彼は共通知識の最初の分析を提供し、それを協調ゲームにおけるプレイの分析に用いた。さらに、彼は意味をシグナリング ゲームの観点から理解できることを初めて示唆した。この後者の示唆は、Lewis 以降、多くの哲学者によって追求されてきた。^{[ 135 ] [ 136 ]} Lewis (1969)の慣習のゲーム理論的説明に続いて、Edna Ullmann-Margalit (1977) とBicchieri (2006) は、混合動機ゲームを協調ゲームに変換することによって生じるナッシュ均衡として定義される社会規範の理論を展開した。^{[ 137 ] [ 138 ]} 

ゲーム理論はまた、哲学者たちに相互作用的認識論の観点から考えるよう促してきた。つまり、集団が共通の信念や知識を持つとはどういうことか、そしてこの知識がエージェントの相互作用から生じる社会的結果にどのような影響を与えるか、という問題である。この分野で研究してきた哲学者には、ビッキエリ（1989、1993）^{[ 139 ] [ 140 ]} 、スカイムズ（1990）^{[ 141 ]} 、スタルネイカー（1999）^{[ 142 ]}などがいる。

ゲーム理論と倫理の統合は、RB ブレイスウェイトによって提唱された。^{[ 143 ]}ゲーム理論の厳密な数学的分析が、より曖昧な哲学的議論を形式化するのに役立つという期待があった。しかし、この期待は限定的な範囲でしか実現しなかった。^{[ 144 ]}

倫理学において、一部の著者（特にデイヴィッド・ゴーティエ、グレゴリー・カフカ、ジーン・ハンプトン）は、トーマス・ホッブズの自己利益から道徳を導き出すという試みを追求してきた。囚人のジレンマのようなゲームは、道徳と自己利益の間に明らかな矛盾を生じさせるため、自己利益によって協力が必要とされる理由を説明することは、この試みの重要な要素である。この一般的な戦略は、政治哲学における一般的な社会契約論の構成要素である（例として、ゴーティエ（1986）およびカフカ（1986）を参照）。^{[ d ]}

他の研究者たちは、進化ゲーム理論を用いて、道徳に関する人間の態度とそれに対応する動物の行動の出現を説明しようと試みてきた。これらの研究者たちは、囚人のジレンマ、鹿狩り、ナッシュ交渉ゲームなど、いくつかのゲームを道徳に関する態度の出現の説明として検討している（例えば、Skyrms （1996、2004 ）やSoberとWilson （1998 ）を参照）。  

特定の疾患に対するワクチン接種の決定は、多くの場合個人によって行われ、その決定を行う際にさまざまな要因やパラメータ（疾患の発生率と有病率、疾患に罹患することに関連する認識されたリスクと実際のリスク、死亡率、ワクチン接種に関連する認識されたリスクと実際のリスク、ワクチン接種の費用など）を考慮する可能性があるため、ゲーム理論は社会におけるワクチン接種率をモデル化および予測するために使用されてきました。^{[ 145 ] [ 146 ]}

ウィリアム・パウンドストーンは、1993年の著書『囚人のジレンマ』の中でこのゲームについて述べている。^{[ 147 ]}

犯罪組織のメンバーであるAとBの2人が逮捕され、投獄された。2人とも独房に収容され、パートナーとの連絡手段は一切ない。主たる罪状は懲役10年の刑に相当するが、警察は有罪判決を下すだけの証拠を持っていない。そこで、警察は2人ともより軽い罪状で懲役2年の刑を言い渡す予定だが、2人に悪魔との取引を持ちかける。もしどちらか一方が主たる罪状を自白し、もう一方を裏切れば、自白した方は恩赦を受けて釈放されるが、裏切られた方は軽い罪状で2年ではなく、本来の刑期を全うしなければならないというのだ。

支配的な戦略（したがって、考えられるあらゆる相手の戦略に対する最善の対応策）は、相手を裏切ることであり、これは確実な原則に合致する。^{[ 148 ]}しかし、両方の囚人が沈黙を守ることは、相互に裏切るよりも両者にとって大きな報酬をもたらすだろう。

「男女間の戦い」とは、人間関係、キャリア、社会的役割など、人生の様々な領域における男女間の対立を指す言葉です。この対立は、映画やテレビ番組などの大衆文化において、男女間のユーモラスな、あるいはドラマチックな競争として描かれることがよくあります。この対立は、ゲーム理論の枠組みで表現することもできます。これは、非協力ゲームの一例です。

「男女間の戦い」の一例は、大衆メディアにおける人間関係の描写に見られる。そこでは、男性と女性は根本的に異なり、互いに対立しているように描かれることが多い。例えば、一部のロマンティックコメディでは、男性と女性の主人公は愛や人間関係について正反対の考えを持っており、一緒にいるためにはこれらの違いを乗り越えなければならないと描かれている。^{[ 149 ]}

このゲームには、純粋戦略ナッシュ均衡が 2 つあります。1 つは両方のプレイヤーが何らかのオプションを選択する場合、もう 1 つはプレイヤーが別のオプションを選択する場合です。ゲームが混合戦略でプレイされ、各プレイヤーがランダムに戦略を選択する場合、ナッシュ均衡は無限に存在します。しかし、「男女の戦い」ゲームの文脈では、通常、ゲームは純粋戦略でプレイされると仮定されます。^{[ 150 ]}

最後通牒ゲームは、経済実験の一般的な手段となっているゲームである。初期の記述は、ノーベル賞受賞者のジョン・ハーサニーが1961年に発表したものである。 ^{[ 151 ]}

提案者と呼ばれるプレイヤーには、一定額のお金が与えられます。提案者は、そのお金を別のプレイヤーである応答者（合計金額を知っている）と分け合う役割を担います。提案者が決定を伝えると、応答者はそれを受け入れるか拒否するかを選択できます。応答者が受け入れた場合、お金は提案通りに分けられます。応答者が拒否した場合、両プレイヤーは何も受け取りません。両プレイヤーは、応答者が提案を受け入れるか拒否するかの結果について事前に知っています。このゲームは、社会的受容、公平性、寛大さがプレイヤーの意思決定にどのように影響するかを示しています。^{[ 152 ]}

最後通牒ゲームには、独裁者ゲームというバリエーションがあります。両者はほぼ同じですが、独裁者ゲームでは、応答者は提案者の申し出を拒否する権限を持ちません。

トラストゲームは、経済的意思決定における信頼を測定するために設計された実験です。これは「投資ゲーム」とも呼ばれ、自己利益の「合理性」ではなく、信頼を調査し、その重要性を示すように設計されています。このゲームは、1995年にバーグ・ジョイス、ジョン・ディックハウト、ケビン・マッケイブによって設計されました。^{[ 153 ]}

このゲームでは、1人のプレイヤー（投資家）に一定額のお金が与えられ、そのうちいくらを別のプレイヤー（受託者）に渡すかを決めなければなりません。渡された金額は実験者によって3倍にされます。受託者は、3倍になった金額のうちいくらを投資家に返すかを決めます。受託者が完全に自己利益だけを追求するなら、何も返さないでしょう。しかし、実験では、これは受託者の想定される行動ではないことが示されています。むしろ、この結果は、人々は相互主義があると信じて、ある程度の金額をリスクにさらして信頼を置こうとしていることを示唆しています。^{[ 154 ]}

クールノー競争モデルでは、プレイヤーは同質の製品を独立して同時に生産する数量を選択します。限界費用は各企業で異なり、企業のペイオフは利益です。生産コストは公開情報であり、企業は他の企業が生産すると予想し、独占企業のように行動することに基づいて、利益を最大化する数量を見つけようとします。このゲームでは、企業は独占数量で生産したいと考えますが、逸脱して生産量を増やすインセンティブが高く、市場均衡価格が低下します。^{[ 23 ]}例えば、独占数量が少なく価格が高い場合、企業は利益を最大化するために生産量を増やすことを目的として、独占数量から逸脱したくなるかもしれません。^{[ 23 ]}しかし、この選択肢は最高のペイオフをもたらすわけではありません。企業の利益を最大化する能力は、市場シェアと市場需要の弾力性に依存するからです。^{[ 155 ]}クールノー均衡は、各企業が他の企業の生産量に基づいて最適な反応を示すため、逸脱するインセンティブがなく、反応関数に従って行動するときに達成されます。^{[ 23 ]}ゲーム内では、クールノー均衡が達成されると、企業はナッシュ均衡に到達します。

ベルトラン競争は、製品が同質であり、限界費用が一定であり、プレーヤーが価格を選択することを前提としている。^{[ 23 ]}価格競争の均衡は、競合他社の費用に関する完全な情報があると仮定した場合、価格が限界費用に等しい点である。したがって、企業は均衡から逸脱するインセンティブを持つ。なぜなら、価格の低い同質製品が市場シェアのすべてを獲得するからであり、これはコスト優位性として知られている。^{[ 156 ]}