ポイントの問題

ルカ・パチョーリは、 1494年の教科書『算術、幾何学、比例、比例性に関する総論』の中で、このような問題を考察した。彼の方法は、各プレイヤーが勝ったラウンド数に比例して賭け金を分割することであり、勝利に必要なラウンド数は彼の計算には全く含まれていなかった。^{[ 1 ]}

16 世紀半ば、ニッコロ・タルタリアは、パチョーリの方法では、1 ラウンドしかプレイしていない状態でゲームが中断された場合、直感に反する結果が生じることに気づいた。この場合、パチョーリのルールでは、その 1 ラウンドの勝者にポット全体が与えられることになるが、長いゲームで序盤に 1 ラウンドリードしたところで決定的な結果にはならない。タルタリアは、リードの大きさとゲームの長さの比率に基づいて分割することで、この特定の問題を回避する方法を構築した。^{[ 1 ]}しかし、この解決策にもまだ問題がないわけではない。100 点先取のゲームでは、65-55 のリードでも 99-89 のリードでも賭け金の分割方法は同じだが、前者は比較的オープンなゲームであるのに対し、後者ではリードしているプレイヤーの勝利はほぼ確実である。タルタリア自身も、両方のプレイヤーがその公平性を納得できるような方法でこの問題を解決できるかどうか確信が持てなかった。「どのように分割しても、訴訟の原因となるだろう」。^{[ 2 ]}

この問題は1654年頃、シュヴァリエ・ド・メレのアントワーヌ・ゴンボーがブレーズ・パスカルに提起したことで再び浮上した。パスカルはピエール・ド・フェルマーとの書簡のやり取りの中でこの問題について議論した。この議論を通して、パスカルとフェルマーはこの問題に対する説得力のある自己矛盾のない解決策を提示しただけでなく、現在でも確率論の基礎となっている概念を発展させた。

パスカルとフェルマーの出発点となったのは、分配は中断されたゲームのうち実際に行われた部分の歴史よりも、中断されなかった場合にゲームがどのように継続されたであろうかという可能性に基づいて行うべきだという点だった。10点先取のゲームで7対5でリードしているプレイヤーと、20点先取のゲームで17対15でリードしているプレイヤーが最終的に勝つ可能性は同じであることは直感的に明らかであり、パスカルとフェルマーは、どちらの状況で中断されても同じ分配になるべきだと考えた。言い換えれば、重要なのは各プレイヤーがこれまでに何ラウンド勝ったかではなく、総合的な勝利を達成するために各プレイヤーがあと何ラウンド勝つ必要があるかということである。

フェルマーは次のように推論した。^{[ 3 ]} 1人のプレイヤーが${\displaystyle r}$勝利するにはさらにラウンドが必要であり、他のニーズは${\displaystyle s}$そうすれば、ゲームは必ず誰かが勝っているだろう${\displaystyle r+s-1}$追加ラウンド。したがって、プレイヤーがプレイすると想像してください${\displaystyle r+s-1}$さらに多くのラウンド。合計でこれらのラウンドは$2r+s-1$さまざまな結果が考えられます。これらの可能性のある未来の中には、実際に試合が1時間未満で決着するものもあります。${\displaystyle r+s-1}$ラウンドですが、プレイヤーが目的もなくプレイを続けることを想像しても害はありません。同じ長さの先物だけを考慮すると、各ラウンドが$2r+s-1$可能性は等しく高い。フェルマーは、すべての可能性を表に書き出すだけで、各プレイヤーが勝つ確率を計算することができた。$2r+s-1$考えられる展開を数え、それぞれの展開で各プレイヤーが勝つ確率を算出した。フェルマーは、その確率に応じて賭け金を分配するのが当然公平だと考えた。

フェルマーの解法は、今日の基準からすれば確かに「正しい」ものでしたが、パスカルによって2つの点で改良されました。第一に、パスカルは、結果として得られる分割が公平であると考える理由について、より精緻な議論を展開しました。第二に、パスカルは、フェルマーの表を用いた方法よりも効率的に正しい分割を計算する方法を示しました。フェルマーの表を用いた方法は、（現代のコンピュータがなければ）全く実用的ではありません。${\displaystyle r+s-1}$約10以上です。

パスカルは、残りのゲーム全体に勝つ確率だけを考慮するのではなく、より小さなステップの原理を考案しました。プレイヤーが中断される前にあと1ラウンドだけプレイできたと仮定し、その1ラウンド後に賭け金を公平に分配する方法をすでに決定したとします（おそらくそのラウンドでプレイヤーの1人が勝つため）。想像上の追加ラウンドは、賭け金の公平な分配が異なる2つの可能性のある未来のいずれかにつながる可能性がありますが、2人のプレイヤーは次のラウンドで勝つ確率が等しいので、2つの将来の分配の差を均等に分配する必要があります。このようにして、残りのラウンドが少ないゲームにおける公平な解決策の知識を使用して、残りのラウンドが多いゲームの公平な解決策を計算することができます。^{[ 4 ]}

この原理が公平であると納得するのは、フェルマーの可能な未来の表よりも容易である。フェルマーの可能な未来の表は、ゲームが勝った後も続くことがあると想定しなければならないため、二重に仮説的である。パスカルのここでの分析は、確率について推論する際にオッズの代わりに期待値を使用する最も初期の例の 1 つです。その後まもなく、この考えは、1657 年にクリスティアーン・ホイヘンスによって書かれた最初の体系的な確率論論文De Ratiociniis in Ludo Aleae の基礎となった。^{[ 5 ]}ホイヘンスは、現在ギャンブラーの破産問題として知られる点の問題の変種について議論した。^{[ 6 ]}後に、パスカルとホイヘンスによる期待値の使用から、現代​​の確率の概念が発展した。

パスカルの段階的なルールを直接適用すると、残りラウンドが多い場合、フェルマーの方法よりも大幅に速くなります。しかし、パスカルはそれを出発点として、より高度な計算方法を開発することができました。今日パスカルの三角形として知られるもの（最初の明示的な帰納法による証明のいくつかを含む）に関する恒等式の巧妙な操作を通して、パスカルは最終的に、プレイヤーa が勝つためにrポイント、プレイヤーbが勝つためにsポイントを必要とするゲームにおいて、プレイヤーa（左側）とb （右側）の間で賭け金を正しく分割する方法は（現代の記法を用いると）次のようになることを示しました。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}{\binom {r+s-1}{k}}{\mbox{$ : }}\sum _{k=s}^{r+s-1}{\binom {r+s-1}{k}}} ここで、${\displaystyle {\binom {r+s-1}{k}}}$この項は結合演算子を表します。

賭け金の分割問題は、パスカルが1665年に著した算術三角形論において、大きな動機付けとなる例となった。^{[ 4 ] [ 7 ]}

パスカルによるこの結果の導出はフェルマーの表形式法とは独立していたが、それがまた、異なる結果の計数を正確に記述していることは明らかである。${\displaystyle r+s-1}$フェルマーが提案した追加ラウンド。