双対性（数学）

固定集合Sの部分集合を考えると、単純な双対性が生じます。任意の部分集合A ⊆ Sに対して、補集合A ^{∁ (} S \ Aとも表記) は、 Sに含まれる要素のうちAに含まれないすべての要素から構成されます。これもまたSの部分集合です。補集合を取ることには、次の性質があります。

• これを2回適用すると、元の集合、つまり( A ^∁ ) ^∁ = Aが返されます。これは、補集合を取る操作が対合であると言われることで表されます。
• 集合の包含関係A ⊆ Bは、反対方向の包含関係B ^∁ ⊆ A ^∁に変換されます。
• Sの2 つの部分集合AとBが与えられたとき、A がB ^∁に含まれるのは、 B がA ^∁に含まれる場合のみである。

この双対性は、位相空間Xの開集合と閉集合の間の双対性として位相空間に現れます。Xの部分集合Uが閉集合であるのは、 Xにおけるその補集合が開集合である場合のみです。このため、閉集合に関する多くの定理は開集合に関する定理と双対になっています。たとえば、任意の開集合の和集合は開集合なので、双対的に、任意の閉集合の共通部分は閉集合です。^{[ 6 ]}集合の内部は、その集合に含まれる最大の開集合 であり、集合の閉包は、その集合を含む最小の閉集合です。双対性のため、任意の集合Uの内部の補集合は、Uの補集合の閉包に等しくなります。

双対円錐構成によって幾何学における双対性がもたらされる。${\displaystyle C}$平面上の点$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$（またはより一般的には、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)双対錐は、集合として定義される。$\displaystyle C^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$これらの点から構成される${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$満足 $${\displaystyle x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}\geq 0}$$ すべてのポイントについて${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$で${\displaystyle C}$図に示すように、上記の集合の補集合とは異なり、双対円錐構成を2回適用しても元の集合が復元されるとは限りません。${\displaystyle C}$。 その代わり、${\displaystyle C^{**}}$は、最小の円錐^{[ 7 ]}を含む${\displaystyle C}$これはより大きいかもしれない${\displaystyle C}$したがって、この二元性は上記の二元性よりも弱い。

• この操作を2回適用すると、より大きなセットが返される可能性があります。${\displaystyle C}$、${\displaystyle C}$に含まれる${\displaystyle C^{**}}$（一部の人にとっては）${\displaystyle C}$（つまり円錐、実際には両者は等しい。）

他の2つのプロパティは変更なく引き継がれます。

• 包含は依然として真実である${\displaystyle C\subseteq D}$反対方向に介在物に変化する（${\displaystyle D^{*}\subseteq C^{*}}$)
• 2つの部分集合が与えられた場合${\displaystyle C}$そして${\displaystyle D}$飛行機の、${\displaystyle C}$に含まれる${\displaystyle D^{*}}$かつその場合に限り${\displaystyle D}$に含まれる${\displaystyle C^{*}}$。

双対性の非常に重要な例は、任意のベクトル空間Vにその双対ベクトル空間V ^*を対応させることで線形代数に現れる。その要素は線形汎関数である。${\displaystyle \varphi :V\to K}$ここで、KはVが定義されている体である。双対錐の 3 つの性質は、 の部分集合を置き換えることによって、このタイプの双対性に引き継がれる。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ベクトル空間と、線形写像によるそのような部分集合の包含関係によって定義される。すなわち、

• 双対ベクトル空間を2回取る操作を適用すると、別のベクトル空間V ^{**が得られます。常に}V → V ^**という写像が存在します。あるV、すなわち有限次元ベクトル空間の場合、この写像は同型写像となります。
• 線形写像V → W は、反対方向の写像 ( W ^* → V ^* )を生み出す。
• 2つのベクトル空間VとWが与えられたとき、 VからW ^*への写像はWからV ^*への写像に対応する。

この双対性の特筆すべき点は、VとV ^{* が}特定の対象、すなわち有限次元ベクトル空間において同型であることです。しかし、これはある意味で幸運な偶然であり、このような同型性を与えるには、例えばVの基底の選択など、特定の選択が必要となります。これは、 V がヒルベルト空間である場合にも、リース表現定理によって同様に成り立ちます。

これまで議論してきたすべての双対性において、対象の双対は対象自身と同じ種類である。例えば、ベクトル空間の双対は再びベクトル空間である。多くの双対性命題はこのような種類ではない。むしろ、そのような双対性は、一見異なる性質を持つ対象間の密接な関係を明らかにする。このようなより一般的な双対性の一例として、ガロア理論がある。固定されたガロア拡大K / Fに対して、任意の中間体E (すなわち、F ⊆ E ⊆ K ) にガロア群Gal( K / E )を対応させることができる。この群は、ガロア群G = Gal( K / F )の部分群である。逆に、そのような部分群H ⊆ Gに対して、 Hの要素によって固定された要素からなる固定体K ^Hが存在する。

上記と比較すると、この二元性には以下の特徴がある。

• 中間体の拡張F ⊆ F ′は、反対方向のガロア群の包含関係Gal( K / F ′ ) ⊆ Gal( K / F )をもたらします。
• Gal( K / E )をEに、K ^HをHに対応させることは互いに逆関係にある。これがガロア理論の基本定理の内容である。

双対ベクトル空間の構築 $${\displaystyle V^{*}=\オペレーター名 {Hom} (V,K)}$$ 序論で述べたように、このような双対性の例が存在します。実際、射の集合、すなわち線形写像は、それ自体でベクトル空間を形成します。上記の写像V → V ^**は常に単射です。全射であり、したがって同型写像となるのは、 Vの次元が有限である場合に限ります。この事実は、基底を参照することなく、有限次元ベクトル空間を特徴づけます。

射影幾何学における双対性

射影平面によっては、射影平面の各点を直線に、射影平面の各直線を点に、接続関係を維持する形で写像する幾何学的変換を見つけることができる。 ^{[ 10 ]}このような平面では、射影平面における双対性の一般原理が生じる。すなわち、このような平面射影幾何学における任意の定理において、「点」と「直線」という用語をあらゆる場所で交換すると、同様に有効な新しい定理が得られる。^{[ 11 ]}簡単な例として、「2 つの点が、これらの点を通る直線という一意の直線を決定する」という命題には、「2 つの直線が、これらの 2 つの直線の交点という一意の点を決定する」という双対命題がある。その他の例については、 「双対定理」を参照のこと。

いくつかの平面（特にフィールド平面）におけるこの現象の概念的な説明は、双対ベクトル空間によって提供される。実際、射影平面上の点は${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$1次元部分ベクトル空間に対応する$\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$^{[ 12 ]}射影平面上の線は部分ベクトル空間に対応する${\displaystyle W}$2次元の。このような射影幾何学における双対性は、1次元に${\displaystyle V}$部分空間$\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$これらの線形マップから構成される${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$満たす${\displaystyle f(V)=0}$線形代数の次元公式の結果として、この空間は2次元であり、すなわち、射影平面上の直線に対応します。$\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$。

（正定値）双線形形式 $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}} は、 この射影平面を次の平面と同一視する結果となる。${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$具体的には、双対性は$\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$その直交性$${\displaystyle \left\{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rangle =0{\text{ for all }}v\in V\right\}}$$射影幾何学における双対性の明示的な公式は、この同一視によって得られる。

位相ベクトル空間の領域では、双対空間を位相双対ベクトル空間に置き換えることで、同様の構成が存在します。位相双対空間にはいくつかの概念があり、それぞれが特定の双対性の概念を生み出します。位相ベクトル空間${\displaystyle X}$それは正準的にその双対と同型である${\displaystyle X''}$これは反射空間と呼ばれます。 $${\displaystyle X\cong X''.}$$

例：

• 有限次元の場合と同様に、各ヒルベルト空間H上では、その内積⟨⋅, ⋅⟩は写像を定義する。$${\displaystyle H\to H^{*},v\mapsto (w\mapsto \langle w,v\rangle ),}$$これはリース表現定理により全単射である。その系として、すべてのヒルベルト空間は反射的バナッハ空間である。
• L ^p空間の双対ノルム空間はL ^qであり、1 ≤ p < ∞の場合、 1/ p + 1/ q = 1が成り立つが、 L ^∞の双対空間はL ¹より大きい。したがって、L ¹は反射的ではない。
• 分布は、適切な関数空間上の線形汎関数です。これらは偏微分方程式(PDE)の理論における重要な技術的手段です。PDE を直接解く代わりに、まず「弱い意味」で PDE を解く、つまり PDE を満たす分布を見つけ、次にその解が実際に関数でなければならないことを示す方が容易な場合があります。^{[ 13 ]}分布のすべての標準空間 —${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$、${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$、${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)'}$―は反射的な局所凸空間である。^{[ 14 ]}

格子Lの双対格子は次のように与えられる。 $${\displaystyle \operatorname {Hom} (L,\mathbb {Z} ),}$$格子を含む実ベクトル空間 上の線形関数の集合で、格子の点を整数に写像するもの${\displaystyle \mathbb {Z} }$これはトーリック多様体の構成に用いられる。^{[ 15 ]}局所コンパクト位相群Gのポントリャーギン双対は次のように与えられる。 $${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,S^{1}),}$$ 円内の値を持つ連続群準同型写像（群演算として複素数の乗算を用いる）。

別の双対関係のグループでは、一方の理論の対象が他方の理論の対象に変換され、最初の理論における対象間の写像が、方向が逆の状態で、2番目の理論における射に変換されます。圏論の用語を用いると、これは2つの圏CとDの間の反変関手に相当します。

これは、 Cの任意の2 つのオブジェクトXとYに対してマップを与える。

そのファンクターは、圏の同値である場合もあれば、そうでない場合もある。このようなファンクターが、 Cの反対の圏C ^opとDの間の同値となるような状況は様々である。この種の双対性を用いると、最初の理論のすべての命題を、2 番目の理論の「双対」命題に翻訳することができ、その場合、すべての矢印の方向を反転させる必要がある。^{[ 16 ]}したがって、圏CとDの間の双対性は、形式的にはCとD ^op ( C ^opとD )の間の同値と同じである。しかし、多くの場合、反対の圏には固有の意味がないため、双対性は追加の独立した概念となる。^{[ 17 ]}

双対と同値な圏を自己双対圏と呼ぶ。自己双対圏の例としては、ヒルベルト空間の圏がある。^{[ 18 ]}

Many category-theoretic notions come in pairs in the sense that they correspond to each other while considering the opposite category. For example, Cartesian productsY₁ × Y₂ and disjoint unionsY₁ ⊔ Y₂ of sets are dual to each other in the sense that

and

for any set X. This is a particular case of a more general duality phenomenon, under which limits in a category C correspond to colimits in the opposite category C^op; further concrete examples of this are epimorphisms vs. monomorphism, in particular factor modules (or groups etc.) vs. submodules, direct products vs. direct sums (also called coproducts to emphasize the duality aspect). Therefore, in some cases, proofs of certain statements can be halved, using such a duality phenomenon. Further notions displaying related by such a categorical duality are projective and injective modules in homological algebra,^[19]fibrations and cofibrations in topology and more generally model categories.^[20]

Two functorsF: C → D and G: D → C are adjoint if for all objects c in C and d in D

in a natural way. Actually, the correspondence of limits and colimits is an example of adjoints, since there is an adjunction

between the colimit functor that assigns to any diagram in C indexed by some category I its colimit and the diagonal functor that maps any object c of C to the constant diagram which has c at all places. Dually,

Gelfand duality is a duality between commutative C*-algebrasA and compactHausdorff spacesX is the same: it assigns to X the space of continuous functions (which vanish at infinity) from X to C, the complex numbers. Conversely, the space X can be reconstructed from A as the spectrum of A. Both Gelfand and Pontryagin duality can be deduced in a largely formal, category-theoretic way.^[21]

In a similar vein there is a duality in algebraic geometry between commutative rings and affine schemes: to every commutative ring A there is an affine spectrum, Spec A. Conversely, given an affine scheme S, one gets back a ring by taking global sections of the structure sheaf O_S. In addition, ring homomorphisms are in one-to-one correspondence with morphisms of affine schemes, thereby there is an equivalence

(Commutative rings)^op ≅ (affine schemes)^[22]

Affine schemes are the local building blocks of schemes. The previous result therefore tells that the local theory of schemes is the same as commutative algebra, the study of commutative rings.

Noncommutative geometry draws inspiration from Gelfand duality and studies noncommutative C*-algebras as if they were functions on some imagined space. Tannaka–Krein duality is a non-commutative analogue of Pontryagin duality.^[23]

In a number of situations, the two categories which are dual to each other are actually arising from partially ordered sets, i.e., there is some notion of an object "being smaller" than another one. A duality that respects the orderings in question is known as a Galois connection. An example is the standard duality in Galois theory mentioned in the introduction: a bigger field extension corresponds—under the mapping that assigns to any extension L ⊃ K (inside some fixed bigger field Ω) the Galois group Gal (Ω / L) —to a smaller group.^[24]

The collection of all open subsets of a topological space X forms a complete Heyting algebra. There is a duality, known as Stone duality, connecting sober spaces and spatial locales.

• Birkhoff's representation theorem relating distributive lattices and partial orders

Pontryagin duality gives a duality on the category of locally compactabelian groups: given any such group G, the character group

χ(G) = Hom (G, S¹)

given by continuous group homomorphisms from G to the circle groupS¹ can be endowed with the compact-open topology. Pontryagin duality states that the character group is again locally compact abelian and that

G ≅ χ(χ(G)).^[25]

Moreover, discrete groups correspond to compact abelian groups; finite groups correspond to finite groups. On the one hand, Pontryagin is a special case of Gelfand duality. On the other hand, it is the conceptual reason of Fourier analysis, see below.

Poincaré duality of a smooth compact complex manifoldX is given by a pairing of singular cohomology with C-coefficients (equivalently, sheaf cohomology of the constant sheafC)

Hⁱ(X) ⊗ H²ⁿ⁻ⁱ(X) → C,

where n is the (complex) dimension of X.^[26] Poincaré duality can also be expressed as a relation of singular homology and de Rham cohomology, by asserting that the map

${\displaystyle (\gamma ,\omega )\mapsto \int _{\gamma }\omega }$

(integrating a differential k-form over a (2n − k)-(real-)dimensional cycle) is a perfect pairing.

Poincaré duality also reverses dimensions; it corresponds to the fact that, if a topological manifold is represented as a cell complex, then the dual of the complex (a higher-dimensional generalization of the planar graph dual) represents the same manifold. In Poincaré duality, this homeomorphism is reflected in an isomorphism of the kth homology group and the (n − k)th cohomology group.

The same duality pattern holds for a smooth projective variety over a separably closed field, using l-adic cohomology with Q_ℓ-coefficients instead.^[27] This is further generalized to possibly singular varieties, using intersection cohomology instead, a duality called Verdier duality.^[28]Serre duality or coherent duality are similar to the statements above, but applies to cohomology of coherent sheaves instead.^[29]

With increasing level of generality, it turns out, an increasing amount of technical background is helpful or necessary to understand these theorems: the modern formulation of these dualities can be done using derived categories and certain direct and inverse image functors of sheaves (with respect to the classical analytical topology on manifolds for Poincaré duality, l-adic sheaves and the étale topology in the second case, and with respect to coherent sheaves for coherent duality).

Yet another group of similar duality statements is encountered in arithmetics: étale cohomology of finite, local and global fields (also known as Galois cohomology, since étale cohomology over a field is equivalent to group cohomology of the (absolute) Galois group of the field) admit similar pairings. The absolute Galois group G(F_q) of a finite field, for example, is isomorphic to ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}}$, the profinite completion of Z, the integers. Therefore, the perfect pairing (for any G-moduleM)

Hⁿ(G, M) × H¹⁻ⁿ (G, Hom (M, Q/Z)) → Q/Z^[30]

is a direct consequence of Pontryagin duality of finite groups. For local and global fields, similar statements exist (local duality and global or Poitou–Tate duality).^[31]

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