ローカルテイト双対性

ガロアコホモロジーにおいて、局所テイト双対性（または単に局所双対性）は、非アルキメデス局所体の絶対ガロア群のガロア加群の双対性である。これは、これを最初に証明したジョン・テイトにちなんで名付けられている。これは、そのようなガロア加群の双対が、通常の線型双対のテイトねじれであることを示す。この新しい双対は、（局所）テイト双対と呼ばれる。

局所双対性と Tate の局所オイラー特性公式を組み合わせることで、局所体のガロア コホモロジーを計算するための多目的ツール セットが提供されます。

K を非アルキメデス局所体とし、 K ^{s を}Kの可分閉包とし、G _K  = Gal( K ^s / K ) をKの絶対ガロア群とする。

K ^sのすべての1 の根のガロア加群を μ で表す。 Kの標数と素数の有限G _K加群Aが与えられたとき、 Aのテイト双対は次のように定義される。

${\displaystyle A^{\prime }=\mathrm {Hom} (A,\mu )}$

（つまり、通常の双対A ^∗のテイトツイストである）。H i ( K ,  A ) をAに係数を持つG K の群コホモロジーを表すもの^とする。定理_は、ペアリング

${\displaystyle H^{i}(K,A)\times H^{2-i}(K,A^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mu )=\mathbf {Q } /\mathbf {Z} }$

カップ積によって与えられるものは、 i  = 0, 1, 2に対してH ⁱ ( K , A )とH ^{2− i} ( K ,  A ^′ )の間に双対性を設定します。^[1] G _Kはコホモロジー次元が2であるため、高次のコホモロジー群は消えます。^[2]

pを素数とする。Q p (1)は_G Kの_p進円分特性（すなわちμのTate加群）を表す。G _Kのp進表現は連続表現である。

${\displaystyle \rho :G_{K}\rightarrow \mathrm {GL} (V)}$

ここで、Vはp進数Q _p上の有限次元 ベクトル空間であり、GL( V )はVからそれ自身への可逆な線型写像の群を表す。 ^[3] Vのテイト双対は次のように定義される。

${\displaystyle V^{\prime }=\mathrm {Hom} (V,\mathbf {Q} _{p}(1))}$

（つまり、通常の双対V ^∗  = Hom( V , Q _p )のテイトツイストである）。この場合、H ⁱ ( K , V ) は、 Vに係数を持つG _Kの連続群コホモロジーを表す。 Vに適用された局所テイト双対性は、カップ積がペアリングを誘導することを意味している 。

${\displaystyle H^{i}(K,V)\times H^{2-i}(K,V^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mathbf {Q} _{p}(1))=\mathbf {Q} _{p}}$

これは、 i  = 0, 1, 2に対して、 H ⁱ ( K ,  V )とH ^{2− i} ( K ,  V  ′)の間の双対性である。^[4]この場合も、高次のコホモロジー群は消える。

• テイト双対性、大域的バージョン（すなわち大域的フィールド用）

• ルビン、カール(2000)、オイラー系、ヘルマン・ワイル講義、数学研究年報、第 147 巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-05076-8、MR  1749177
• Serre、Jean-Pierre (2002)、ガロア コホモロジー、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-42192-4、MR  1867431、 Cohomologie Galoisienneの翻訳 、Springer-Verlag 講義ノート 5 (1964)。