モデルカテゴリー

数学、特にホモトピー理論において、モデルカテゴリとは、「弱同値」、「ファイブレーション」、「コファイブレーション」と呼ばれる、特定の公理を満たす射（「矢印」）の区別されたクラスを持つカテゴリです。これらは、位相空間または連鎖複体（導来カテゴリ理論）のカテゴリから抽象化されます。この概念は、ダニエル・G・クイレン （1967）によって導入されました。

近年、モデルカテゴリーの言語は代数K理論と代数幾何学の一部で使用されており、ホモトピー理論的アプローチが深い結果をもたらしています。

モデルカテゴリはホモトピー理論に自然な設定を提供することができます。位相空間のカテゴリはモデルカテゴリであり、ホモトピーは通常の理論に対応しています。同様に、空間として考えられるオブジェクトは、単体集合のカテゴリなどのモデルカテゴリ構造を許容することがよくあります。

もう 1 つのモデル カテゴリは、可換環RのR加群の連鎖複体のカテゴリです。このコンテキストでのホモトピー理論は、ホモロジー代数です。ホモロジーはホモトピーの一種と見なすことができ、ホモロジーをグループやR代数などの他のオブジェクトに一般化できます。これは、理論の最初の主要な応用の 1 つです。ホモロジーに関する上記の例のため、閉じたモデル カテゴリの研究は、ホモトピー代数と見なされることがあります。

Quillen が最初に与えた定義は、閉じたモデル カテゴリの定義であり、その仮定は当時は強力であるように思われたため、他の人たちはモデル カテゴリを定義するためにいくつかの仮定を弱めるよう促されました。実際には、この区別は重要ではないことが証明されており、最近の著者 (Mark Hovey や Philip Hirschhorn など) のほとんどは、閉じたモデル カテゴリを扱っており、単に形容詞「閉じた」を削除しています。

定義は、カテゴリ上のモデル構造の定義と、そのカテゴリ上のさらなるカテゴリ条件の定義に分かれています。その必要性は、最初は理由がないように見えるかもしれませんが、後で重要になります。次の定義は、Hovey による定義に従います。

カテゴリC上のモデル構造は、3 つの異なる射のクラス (サブカテゴリと同値) から構成されます。弱同値、ファイバ化、およびコファイバ化と、2 つの関数因数分解とで構成され、 次の公理に従います。ファイバ化が弱同値でもある場合は非巡回(または自明)ファイバ化^[1]と呼ばれ、コファイバ化が弱同値でもある場合は非巡回(または自明)コファイバ化(またはアノダイン射と呼ばれることもあります) と呼ばれます。 ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle (\ガンマ,\デルタ)}$

公理

1. 撤回: g が区別されたクラスの 1 つに属する射であり、fがgの撤回(矢印カテゴリ 内のオブジェクトとして、2 は 2 要素の順序付きセット) である場合、f は同じ区別されたクラスに属します。明示的に、 fがgの撤回であるという要件は、次の図が可換となるようなi、j、r、およびs が存在することを意味します。 ${\displaystyle C^{2}}$

   

2. 2/3 : fとg がCのマップであり、gfが定義されており、これらのうちの任意の 2 つが弱同値である場合、3 番目も弱同値です。
3. 持ち上げ: 非巡回コファイブレーションはファイブレーションに関して左持ち上げ特性を持ち、コファイブレーションは非巡回ファイブレーションに関して左持ち上げ特性を持ちます。明示的には、次の図の外側の四角形が可換である場合 ( iはコファイブレーション、pはファイブレーション、iまたはp は非巡回)、図を完成させる h が存在します。

   

4. 因数分解:
   • Cのすべての射f は、ファイバ化pと非巡回共ファイバ化iに対してと書くことができます。${\displaystyle p\circ i}$
   • Cのあらゆる射f は、非巡回ファイバpと共ファイバiに対してと書くことができます。${\displaystyle p\circ i}$

モデルカテゴリは、モデル構造とすべての（小さな）極限と余極限を持つカテゴリ、つまり、モデル構造を持つ 完全かつ余完全なカテゴリです。

上記の定義は、次の同値な定義によって簡潔に表現することができる。モデルカテゴリは、カテゴリCと、（いわゆる）弱同値W、ファイバリングF、およびコファイバリングCの3つのクラスであり、

• Cは すべての極限と余極限を持ちます。

• ${\displaystyle (C\cap W,F)}$は弱い因数分解システムであり、

• ${\displaystyle (C,F\cap W)}$は弱い因数分解システムである
• ${\displaystyle W}$3つの条件のうち2つを満たす。^[2]

公理は、3 つの写像のクラスのうちの任意の 2 つが 3 番目の写像を決定することを意味します (たとえば、コファイブレーションと弱い同値性はファイブレーションを決定します)。

また、定義は自己双対です。つまり、C がモデル カテゴリである場合、その反対のカテゴリ もモデル構造を許容し、弱い同値はその反対に対応し、ファイバはコファイバの反対であり、コファイバはファイバの反対です。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$

位相空間のカテゴリTopは、通常の(セール) ファイバリングと、弱ホモトピー同値としての弱同値を持つ標準モデルカテゴリ構造を許容します。コファイバリングは、ここで見られる通常の概念ではなく、非巡回セールファイバリングに関して左持ち上げ特性を持つマップのより狭いクラスです。同等に、それらは、たとえば Hovey のモデルカテゴリで説明されているように、相対セル複合体のリトラクトです。この構造は一意ではありません。一般に、特定のカテゴリには多くのモデルカテゴリ構造が存在できます。位相空間のカテゴリの場合、別のそのような構造はHurewicz ファイバリングと標準コファイバリングによって与えられ、弱同値性は (強い)ホモトピー同値です。

R加群の（非負次数）鎖複体のカテゴリには、少なくとも 2 つのモデル構造があり、どちらもホモロジー代数で重要な役割を果たします。

• 弱い同値性はホモロジーにおいて同型性を誘導する写像である。
• コファイブレーションは、射影コカーネルを持つ各次数における単射である写像である。
• ファイバー化は、各非ゼロ次数におけるエピモーフィズムである写像である。

または

• 弱い同値性はホモロジーにおいて同型性を誘導する写像である。
• ファイバレーションは、各次数において入射核を持つエピモーフィズムである写像である。
• コファイブレーションは、各非ゼロ次数において単射となる写像です。

これは、 Rモジュールの Ext グループが、ソースを射影的に解決するか、ターゲットを単射的に解決することによって計算できる理由を説明しています。これらは、それぞれのモデル構造における共繊維または繊維の置換です。

R加群の任意の連鎖複体のカテゴリは、次のように定義されるモデル構造を持つ。

• 弱い同値性は連鎖複体の連鎖ホモトピー同値性である。
• コファイブレーションは、基底となるRモジュールの射として分割される単射である。
• ファイバー化は、基礎となるRモジュールの射として分割されるエピモーフィズムです。

モデル構造を許容するカテゴリの他の例としては、すべての小さなカテゴリのカテゴリ、任意の小さなグロタンディーク サイト上の単体集合または単体前束のカテゴリ、位相スペクトルのカテゴリ、および小さなグロタンディーク サイト上の単体スペクトルまたは単体スペクトルの前束のカテゴリがあります。

カテゴリ内の単体オブジェクトは、モデル カテゴリの頻繁なソースです。たとえば、単体可換環または単体Rモジュールは、自然なモデル構造を許容します。これは、単体集合と単体可換環 (忘却関手と自由関手によって与えられる) の間には随伴関係があり、適切な場合には随伴関係の下でモデル構造を持ち上げることが可能であるためです。

単体モデルカテゴリとは、単体構造と互換性のあるモデル構造を持つ単体カテゴリである。 ^[3]

任意のカテゴリCとモデルカテゴリMが与えられた場合、ある追加の仮定の下で、関数手のカテゴリFun ( C、M ) ( MではC -図とも呼ばれる) もモデルカテゴリです。実際、異なるモデル構造には常に2 つの候補があります。1 つは、いわゆる射影モデル構造で、ファイブレーションと弱同値は、Cの各オブジェクトで評価されたときにファイブレーションと弱同値である関数のマップです。双対的に、入射モデル構造は、代わりにコファイブレーションと弱同値と似ています。どちらの場合も、3 番目の射影クラスは、持ち上げ条件によって与えられます (以下を参照)。カテゴリCが Reedy カテゴリである場合、射影と入射の間に 3 番目のモデル構造が存在することがあります。

特定の写像を、同じ基礎カテゴリ上の新しいモデルカテゴリ構造の弱い同値になるように強制するプロセスは、バウスフィールド局所化として知られています。たとえば、単体層のカテゴリは、単体前層のモデルカテゴリのバウスフィールド局所化として取得できます。

デニス・シャルル・シシンスキーは^{[4]前層カテゴリ（}単体カテゴリの前層である単体集合を一般化する）上のモデル構造の一般理論を展開した。

C がモデルカテゴリである場合、 C内のプロオブジェクトのカテゴリ Pro( C ) もモデルカテゴリです。ただし、 Pro( C )上のモデル構造は、Cに弱い公理の集合を課すことによっても構築できます。^[5]

すべての閉じたモデルカテゴリには、完全性による終端オブジェクトと、共完全性による初期オブジェクトがあります。これは、これらのオブジェクトがそれぞれ空の図の極限と余極限であるためです。モデルカテゴリにオブジェクトXが与えられ、初期オブジェクトからXへの一意の写像がコファイブレーションである場合、 Xはコファイブラントであると言われます。同様に、Xから終端オブジェクトへの一意の写像がファイブレーションである場合、X はファイブラントであると言われます。

ZとX がモデル カテゴリの対象であり、Zが共繊維性を持ち、 ZからXへの弱い同値が存在する場合、Z はXの共繊維性置換であると言われます。同様に、Zが繊維性を持ち、 XからZへの弱い同値が存在する場合、ZはXの繊維性置換であると言われます。一般に、すべての対象が繊維性または共繊維性であるとは限りませんが、その場合もあります。たとえば、単体集合の標準モデル カテゴリではすべての対象が共繊維性を持ち、位相空間に対して上記で示した標準モデル カテゴリ構造ではすべての対象が繊維性を持ちます。

左ホモトピーは円筒オブジェクトに関して定義され、右ホモトピーはパス空間オブジェクトに関して定義されます。これらの概念は、ドメインがコフィブラントであり、コドメインがフィブラントである場合に一致します。その場合、ホモトピーはモデルカテゴリのホムセット上の同値関係を定義し、ホモトピークラスを生み出します。

コファイブレーションは、非巡回ファイブレーションに関して左持ち上げ特性を持つマップとして特徴付けられ、非巡回コファイブレーションはファイブレーションに関して左持ち上げ特性を持つマップとして特徴付けられます。同様に、ファイブレーションは、非巡回コファイブレーションに関して右持ち上げ特性を持つマップとして特徴付けられ、非巡回ファイブレーションは、ファイブレーションに関して右持ち上げ特性を持つマップとして特徴付けられます。

モデルカテゴリCのホモトピーカテゴリは、弱い同値性のクラスに関するCの局所化です。このホモトピーカテゴリの定義は、ファイブレーションとコファイブレーションの選択に依存しません。ただし、ファイブレーションとコファイブレーションのクラスは、ホモトピーカテゴリを別の方法で記述し、特にカテゴリの一般的な局所化で発生する集合論の問題を回避するのに役立ちます。より正確には、「モデルカテゴリの基本定理」は、Cのホモトピーカテゴリは、そのオブジェクトがファイブラントとコファイブラントの両方であるCのオブジェクトであり、その射が上記で定義したマップの左ホモトピークラス (同等に、マップの右ホモトピークラス) であるカテゴリと同値であると述べています。(たとえば、Hovey のモデルカテゴリ、Thm 1.2.10 を参照してください)

これを上記のモデル構造を持つ位相空間のカテゴリに適用すると、結果として得られるホモトピー カテゴリは、CW 複体のカテゴリと連続写像のホモトピー類に等しくなり、名前の由来となります。

随伴関数のペア

${\displaystyle F:C\leftrightarrows D:G}$

2つのモデルカテゴリCとDの間のQuillen随伴とは、Fがコファイブレーションと非巡回コファイブレーションを保存するか、または閉じたモデルの公理によって同等に、Gがファイブレーションと非巡回ファイブレーションを保存する場合を指す。この場合、FとGは随伴を誘導する。

${\displaystyle LF:Ho(C)\leftrightarrows Ho(D):RG}$

ホモトピー圏の間。後者が同値であるための明示的な基準もある（この場合、 FとG はQuillen 同値と呼ばれる）。

典型的な例は、単体集合と位相空間の間の標準的な随伴関係です。

${\displaystyle |-|:\mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {Top} :Sing}$

単体集合の幾何学的実現と、ある位相空間における特異鎖を含む。カテゴリsSetとTopは同値ではないが、それらのホモトピー カテゴリは同値である。したがって、ホモトピー カテゴリのこの同値性のため、単体集合は位相空間のモデルとしてよく使用される。

• (∞,1)-カテゴリ
• コサイクルカテゴリー
• 安定モデルカテゴリー

• Denis-Charles Cisinski : Les préfaisceaux commes modèles des Types d'homotopie、Astérisque、(308) 2006、xxiv+392 pp。
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• 「モデルカテゴリはまだ必要ですか？」
• 「モデルカテゴリから直接 (無限大,1) カテゴリ」
• Paul Goerss と Kristen Schemmerhorn、モデル カテゴリと単純な手法

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