ルジャンドルの変身

させて${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$区間であり、${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$凸関数。次に、ルジャンドル変換${\displaystyle f}$関数は${\displaystyle f^{*}:I^{*}\to \mathbb {R} }$定義される $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}xf(x)),\ \ \ \ I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R}$$ :\sup _{x\in I}(x^{*}xf(x))<\infty \right\}} ただし${\textstyle \sup }$は、​${\displaystyle I}$例えば、${\textstyle x}$で${\textstyle I}$は次のように選択される。${\textstyle x^{*}xf(x)}$各点で最大化される${\textstyle x^{*}}$、 または${\textstyle x^{*}}$は、${\displaystyle x^{*}xf(x)}$全体を通して制限された値を持つ${\textstyle I}$（例：${\displaystyle f(x)}$（線形関数）

機能${\displaystyle f^{*}}$は、の凸共役関数と呼ばれます。${\displaystyle f}$歴史的な理由（解析力学に由来）から、共役変数はしばしば次のように表記される。${\displaystyle p}$、 の代わりに${\displaystyle x^{*}}$凸関数${\displaystyle f}$は全線上で定義され、至るところで微分可能であるならば、 $${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in I}(px-f(x))=\left(px-f(x)\right)|_{x=(f')^{-1}(p)}}$$ は、${\displaystyle y}$グラフの接線の切片​${\displaystyle f}$傾斜がある${\displaystyle p}$。

凸関数への一般化${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$凸集合上${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$簡単です。${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} }$ドメインを持つ $${\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}$$ そして、それは定義される。 $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}$$ どこ${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle }$はドット積を表します${\displaystyle x^{*}}$そして${\displaystyle x}$。

ルジャンドル変換は、点と線の間の双対関係の応用です。関数関係は次のように指定されます。${\displaystyle f}$は、同様に、${\displaystyle (x,y)}$点として、または傾きと切片の値によって指定される接線の集合として表される。

微分可能な凸関数の場合${\displaystyle f}$実数直線上で1階微分${\displaystyle f'}$そしてその逆${\displaystyle (f')^{-1}}$ルジャンドル変換${\displaystyle f}$、${\displaystyle f^{*}}$は、加法定数を除いて、関数の1階導関数が互いに逆関数であるという条件によって指定できます。${\displaystyle f'=((f^{*})')^{-1}}$そして${\displaystyle (f^{*})'=(f')^{-1}}$。

これを確認するには、まず、${\displaystyle f}$実数直線上の凸関数として微分可能であり、${\displaystyle {\overline {x}}}$は、​${\displaystyle x\mapsto p\cdot x-f(x)}$すると、最高値は次の点で達成される。${\textstyle {\overline {x}}}$（凸性については、このWikipediaページの最初の図を参照）。したがって、ルジャンドル変換は${\displaystyle f}$は${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot {\overline {x}}-f({\overline {x}})}$。

次に、1階微分が${\displaystyle f'}$は可逆であり、逆関数を とする。${\displaystyle g=(f')^{-1}}$.次に、それぞれについて${\textstyle p}$要点${\displaystyle g(p)}$唯一の臨界点${\textstyle {\overline {x}}}$関数の${\displaystyle x\mapsto px-f(x)}$（つまり、${\displaystyle {\overline {x}}=g(p)}$） なぜなら${\displaystyle f'(g(p))=p}$そして、関数の に関する 1 階微分${\displaystyle x}$で${\displaystyle g(p)}$は${\displaystyle p-f'(g(p))=0}$したがって、${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot g(p)-f(g(p))}$各${\textstyle p}$に関して微分することにより${\textstyle p}$すると、 $${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)+p\cdot g'(p)-f'(g(p))\cdot g'(p).}$$ 以来${\displaystyle f'(g(p))=p}$これは以下のように簡略化されます${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)=(f')^{-1}(p)}$。 言い換えると、${\displaystyle (f^{*})'}$そして${\displaystyle f'}$それらは互いに逆の関係にある。

一般的に、もし${\displaystyle h'=(f')^{-1}}$逆として${\displaystyle f',}$それから${\displaystyle h'=(f^{*})'}$積分すると${\displaystyle f^{*}=h+c}$、 どこ${\displaystyle c}$定数です。

実際には、${\displaystyle f(x),}$パラメトリックプロット${\displaystyle xf'(x)-f(x)}$対${\displaystyle f'(x)}$グラフは${\displaystyle f^{*}(p)}$対${\displaystyle p.}$

場合によっては（例えば、下記の熱力学的ポテンシャル）、非標準的な要件が使用され、f *の代替定義にマイナス符号が付く。 $${\displaystyle f(x)-f^{*}(p)=xp.}$$

解析力学および熱力学において、ルジャンドル変換は通常次のように定義される。${\displaystyle f}$は関数である${\displaystyle x}$;すると、

$${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx.}$$

この関数にルジャンドル変換を施すということは、${\displaystyle p={\frac {df}{dx}}}$を独立変数とすると、上記の式は次のように書ける。

$${\displaystyle df=p\,dx,}$$

そして、積の法則によれば${\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du,}$すると、

$${\displaystyle d\left(xp-f\right)=x\,dp+p\,dx-df=x\,dp,}$$

そして、${\displaystyle f^{*}=xp-f,}$我々は持っています${\displaystyle df^{*}=x\,dp,}$つまり

$${\displaystyle {\frac {df^{*}}{dp}}=x.}$$

いつ${\displaystyle f}$は関数である${\displaystyle n}$変数${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$すると、各変数または複数の変数に対してルジャンドル変換を実行できます。

$${\displaystyle df=p_{1}\,dx_{1}+p_{2}\,dx_{2}+\cdots +p_{n}\,dx_{n},}$$

どこ${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}.}$次に、例えば、に対してルジャンドル変換を実行したい場合${\displaystyle x_{1}}$すると、${\displaystyle p_{1}}$と共に${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$独立変数として、ライプニッツの法則を用いると、

$${\displaystyle d(x_{1}p_{1}-f)=x_{1}\,dp_{1}-p_{2}\,dx_{2}-\cdots -p_{n}\,dx_{n}.}$$

関数については${\displaystyle \varphi (p_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x_{1}p_{1}-f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),}$我々は持っています

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial p_{1}}}=x_{1},\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}=-p_{2},\quad \cdots ,\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}=-p_{n}.}$$

変数に対してもこの変換を行うことができます。${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$すべての変数に対してそれを行うと、次のようになります。

$${\displaystyle d\varphi =x_{1}\,dp_{1}+x_{2}\,dp_{2}+\cdots +x_{n}\,dp_{n}}$$どこ${\displaystyle \varphi =x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n}-f.}$

解析力学では、変数に対してこの変換を行う。${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n}}$ラグランジアンの${\displaystyle L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{n})}$ハミルトニアンを取得するには：

$${\displaystyle H(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\cdots ,{\dot {q}}_{n}).}$$

熱力学では、この変換は、目的とする熱力学系のタイプに応じて変数に適用されます。例えば、エネルギー表現の状態基数関数から出発して、内部エネルギー${\displaystyle U(S,V)}$、 我々は持っています

$${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$$

したがって、どちらか一方または両方に対してルジャンドル変換を実行できます。${\displaystyle S,V}$収穫する

$${\displaystyle {\begin{aligned}dH&=d(U+pV)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ T\,dS+V\,dp\\dF&=d(U-TS)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-S\,dT-p\,dV\\dG&=d(U-TS+pV)=-S\,dT+V\,dp,\end{aligned}}}$$

そして、これら３つの表現はそれぞれ物理的な意味を持っている。

このルジャンドル変換の定義は、ルジャンドルが1787年の著作で最初に導入したもので、^{[ 1 ]}現在でも物理学者によって適用されています。実際、上記のすべての変数と関数（例えば、${\displaystyle f,x_{1},\cdots ,x_{n},p_{1},\cdots ,p_{n},}$)開集合上で定義された微分可能な関数として${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$または微分可能な多様体上で、${\displaystyle df,dx_{i},dp_{i}}$微分（微分可能多様体の文脈では余接ベクトルとして扱われる）の微分。この定義は、現代の数学者の定義と同等である。${\displaystyle f}$変数に関して微分可能かつ凸関数である${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}.}$

指数関数を考えてみましょう${\displaystyle f(x)=e^{x},}$ドメインを持つ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$定義から、ルジャンドル変換は $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in \mathbb {R} }(x^{*}x-e^{x}),\quad x^{*}\in I^{*}}$$ どこ${\displaystyle I^{*}}$決定する必要がある。上限を評価するには、の導関数を計算する。${\displaystyle x^{*}x-e^{x}}$に関して${\displaystyle x}$そしてゼロに設定する。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{*}x-e^{x})=x^{*}-e^{x}=0.}$$ 2階微分${\displaystyle -e^{x}}$はどこでも負なので、最大値は${\displaystyle x=\ln(x^{*})}$したがって、ルジャンドル変換は $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}\ln(x^{*})-e^{\ln(x^{*})}=x^{*}(\ln(x^{*})-1)}$$ ドメインも持っています${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$これは、関数の定義域とそのルジャンドル変換の定義域が異なる場合があることを示している。

ルジャンドル変換のルジャンドル変換を見つける${\displaystyle f}$、 $${\displaystyle f^{**}(x)=\sup _{x^{*}\in \mathbb {R} }(xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1)),\quad x\in I,}$$ 変数${\displaystyle x}$関数の引数として意図的に使用されます${\displaystyle f^{**}}$ルジャンドル変換の対合特性を示すために${\displaystyle f^{**}=f}$計算し ます$${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dx^{*}}}{\big (}xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1){\big )}=x-\ln(x^{*})\end{aligned}}}$$ したがって、最大値は${\displaystyle x^{*}=e^{x}}$なぜなら2階微分${\displaystyle {\frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{\frac {1}{x^{*}}}<0}$の領域にわたって${\displaystyle f^{**}}$として${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$結果として、${\displaystyle f^{**}}$として見つかりました $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&=xe^{x}-e^{x}(\ln(e^{x})-1)=e^{x},\end{aligned}}}$$ これにより、${\displaystyle f=f^{**},}$予想通り。

f ( x ) = cx ^2をR上で定義する。ただし、c > 0は固定定数である。

x *が固定されている場合、 xの関数、x * x − f ( x ) = x * x − cx ²は、1 階微分がx * − 2 cx、2 階微分が−2 cとなります。x = x */2 cに停留点が 1 つあり、これは常に最大値となります。

したがって、I * = Rとなり、 $${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}$$

fの 1 階導関数2 cxとf *の1 階導関数x * /(2 c )は互いに逆関数である。さらに明らかに、 $${\displaystyle f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}$$ すなわちf ** = f。

x ∈ ( I = [2, 3])に対してf ( x ) = x ²とする。

x * が固定されている場合、x * x − f ( x )はIコンパクト上で連続であるため、常にその上で有限の最大値をとります。したがって、ルジャンドル変換の定義域は次のようになります。${\displaystyle f}$I * = Rです。

x = x */2の停留点 ( x * x − f ( x ) の xに関する1 階微分をx * x − f ( x )と設定することによって得られる)${\displaystyle x}$がゼロに等しい場合、 は4 ≤ x * ≤ 6の場合に限り[2, 3]の範囲に含まれます。それ以外の場合は、 x * x − f ( x )の 2 階微分が0 に等しいので、最大値はx = 2またはx = 3で取られます。${\displaystyle x}$負の値${\displaystyle -2}$;ドメインの一部について${\displaystyle x^{*}<4}$x * x − f ( x )が取り得る最大値${\displaystyle x\in [2,3]}$で取得${\displaystyle x=2}$その間${\displaystyle x^{*}>6}$最大になるのは${\displaystyle x=3}$したがって、 $${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leq x^{*}\leq 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}}$$

関数f ( x ) = cxは、すべてのxに対して凸関数です(ルジャンドル変換が適切に定義されるためには、厳密な凸性は必要ありません)。明らかに、x * x − f ( x ) = ( x * − c ) x は、x * − c = 0でない限り、 xの関数として上から抑えられることはありません。したがって、 f *はI * = { c }上で定義され、f *( c ) = 0 となります。(ルジャンドル変換の定義には上限の存在が必要であり、そのためには上界が必要です。)

対合性を確認すると、もちろん、x * x − f *( x *)は常にx *∈{ c }の関数として有界であるため、I ** = Rとなります。すると、すべてのxに対して次のようになります 。$${\displaystyle \sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}$$ したがって、f **( x ) = cx = f ( x )となります。

至るところで微分可能ではない凸連続関数の例として、${\displaystyle f(x)=|x|}$これにより$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x}(xx^{*}-|x|)=\max \left(\sup _{x\geq 0}x(x^{*}-1),\,\sup _{x\leq 0}x(x^{*}+1)\right),}$$そしてこうして${\displaystyle f^{*}(x^{*})=0}$その領域において${\displaystyle I^{*}=[-1,1]}$。

させて $${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c}$$X = R ⁿ 上で定義される。ここでAは実数正定値行列である。

するとfは凸関数となり、 $${\displaystyle \langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,}$$ 勾配はp − 2 Axであり、ヘッセ行列は−2 Aで負の値をとる。したがって、停留点x = A ⁻¹ p /2は最大値となる。

X * = R ⁿであり、 $${\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}$$

古典力学では、ラグランジアンからハミルトニアンを導出するためにルジャンドル変換が用いられ、またその逆も行われる。典型的なラグランジアンは次の形式をとる。

$${\displaystyle L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v,Mv\rangle -V(q),}$$ どこ${\displaystyle (v,q)}$はR ⁿ × R ⁿ上の座標であり、Mは正定値実数行列であり、 $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{j}x_{j}y_{j}.}$$

qが固定されている場合、${\displaystyle L(v,q)}$は凸関数である${\displaystyle v}$、 その間${\displaystyle V(q)}$定数としての役割を果たす。

したがって、ルジャンドル変換は${\displaystyle L(v,q)}$関数として${\displaystyle v}$ハミルトニアン関数は、 $${\displaystyle H(p,q)={\tfrac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).}$$

より一般的な状況では、${\displaystyle (v,q)}$は接束上の局所座標である${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$多様体の${\displaystyle {\mathcal {M}}}$各qについて、${\displaystyle L(v,q)}$は接空間V _qの凸関数である。ルジャンドル変換によりハミルトニアンが得られる。${\displaystyle H(p,q)}$余接束の座標( p , q )の関数として${\displaystyle T^{*}{\mathcal {M}}}$ルジャンドル変換を定義するために用いられる内積は、関連する正準シンプレクティック構造から継承される。この抽象的な設定において、ルジャンドル変換はトートロジー的な1形式に対応する。

熱力学におけるルジャンドル変換の背後にある戦略は、ある変数に依存する関数を、元の変数の共役である新しい変数に依存する新しい（共役）関数に変換することです。新しい変数は、元の関数を元の変数に関して偏微分したものです。新しい関数は、元の関数と、古い変数と新しい変数の積との差です。一般的に、この変換は、例えばエネルギーの依存性を、示量変数からその共役である示強変数に移行させるため有用です。示強変数は、物理実験においてより容易に制御できる場合が多いからです。

例えば、内部エネルギーUは、エントロピーS、体積V、化学組成N _iという示量変数 の明示的な関数です(例:${\displaystyle i=1,2,3,\ldots }$） $${\displaystyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right),}$$ 合計差額がある $${\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$$

どこ${\displaystyle T=\left.{\frac {\partial U}{\partial S}}\right\vert _{V,N_{i{\text{ for all }}i{\text{ values}}}},P=\left.-{\frac {\partial U}{\partial V}}\right\vert _{S,N_{i\ {\text{for all }}i{\text{ values}}}},\mu _{i}=\left.{\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right\vert _{S,V,N_{j{\text{ for all }}j\neq i}}}$。

（添え字は偏微分の定義上は不要ですが、ここでは変数を明確にするために残しています。）共通の基準状態を指定すると、体積Vに関する内部エネルギーUの（非標準的な）ルジャンドル変換を使用して、エンタルピーH を次のように得ることができます。

（標準的な）ルジャンドル変換を行うには${\textstyle U^{*}}$体積Vに対する内部エネルギーUの関数${\textstyle u\left(p,S,V,\{{{N}_{i}}\}\right)=pV-U}$まず定義され、次にVによって最大化または制限される。これを行うには、条件${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial V}}=p-{\frac {\partial U}{\partial V}}=0\to p={\frac {\partial U}{\partial V}}}$満足する必要があるので${\textstyle U^{*}={\frac {\partial U}{\partial V}}V-U}$が得られる。このアプローチは、示量変数の定義により、U がVに関して線形関数（つまりV上で凸関数）であるため正当化される。ここでの非標準ルジャンドル変換は、標準バージョンを否定することによって得られるので、${\textstyle -U^{*}=H=U-{\frac {\partial U}{\partial V}}V=U+PV}$。

Hは、状態関数にPV（状態変数PとV ）を加えることによって得られるため、間違いなく状態関数である。${\textstyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right)}$なので、その微分は完全微分です。${\textstyle dH=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$そして、それが正確な微分でなければならないという事実、${\displaystyle H=H(S,P,\{N_{i}\})}$。

エンタルピーは、周囲からの圧力制御を伴うプロセスを記述するのに適している。

同様に、エネルギーの依存性をエントロピーの示量変数Sから（多くの場合より便利な）示強変数Tへと移行させることも可能であり、その結果、ヘルムホルツ自由エネルギーとギブズ自由エネルギーが得られる。ヘルムホルツ自由エネルギーAとギブズ自由エネルギーGは、それぞれ内部エネルギーとエンタルピーに対してルジャンドル変換を行うことによって得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=U-TS~,\\G&=H-TS=U+PV-TS~.\end{aligned}}}$$

ヘルムホルツ自由エネルギーは、温度と体積が周囲から制御される場合に最も有用な熱力学的ポテンシャルとなることが多く、一方、ギブズ自由エネルギーは、温度と圧力が周囲から制御される場合に最も有用なことが多い。

物理学の別の例として、平行平板コンデンサを考えてみましょう。このコンデンサでは、電極板が互いに相対的に動くことができます。このようなコンデンサは、コンデンサに蓄えられた電気エネルギーを、電極板に作用する力によって外部の機械的な仕事に変換することができます。電気電荷は、シリンダー内のガスの「電荷」に例えることができ、その結果としてピストンに機械的な力が加わると考えることができます。

プレート間の距離xの関数として、プレートにかかる力を計算します。力を求めるには、まず位置エネルギーを計算し、次に位置エネルギー関数の勾配として定義される力を適用します。

静電容量C ( x )のコンデンサに蓄えられる静電ポテンシャルエネルギーは、各導電板に正の電荷+ Qまたは負の電荷-Qが蓄えられている場合、(静電容量の定義を用いて)${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$)

$${\displaystyle U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C(\mathbf {x} )}},~}$$

ここで、極板の面積、極板間の絶縁材料の誘電率、および極板間の距離xへの依存性は、静電容量C ( x )として抽象化される。（平行平板コンデンサの場合、これは極板の面積に比例し、距離に反比例する。）

電荷分離によって生じる電場によるプレート間の 力Fは、$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x} }}~.}$$

コンデンサがどの電気回路にも接続されていない場合、プレート上の電荷は一定のままであり、プレートが互いに移動すると電圧が変化し、その力は静電ポテンシャルエネルギー の負の勾配となる。$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}{\frac {Q^{2}}{{C(\mathbf {x} )}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V(\mathbf {x} )^{2}}$$

どこ${\textstyle V(Q,\mathbf {x} )=V(\mathbf {x} )}$この構成では電荷が固定されているためです。

しかし、代わりに、プレート間の電圧Vが、一定の電位差で電荷を蓄えるバッテリーに接続することで、プレートの移動中も一定に保たれると仮定します。すると、電荷の量は${\textstyle Q}$電圧の代わりに変数を使用する。${\textstyle Q}$そして${\textstyle V}$これらは互いにルジャンドル共役です。力を求めるには、まず非標準ルジャンドル変換を計算します。${\textstyle U^{*}}$に関して${\textstyle Q}$（使用する場合も）${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$)

$${\displaystyle U^{*}=U-\left.{\frac {\partial U}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left.{\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\frac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).}$$

この変革は、${\textstyle U}$は、${\textstyle Q}$したがって、この関数は凸関数となる。この力は、このルジャンドル変換の負の勾配となり、元の関数から得られる力と同じになる。${\textstyle U}$、 $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}}{d\mathbf {x} }}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V^{2}.}$$

2つの共役エネルギー${\textstyle U}$そして${\textstyle U^{*}}$両者はたまたま互いに反対の位置にある（符号が逆である）が、それは静電容量の線形性によるものであり、ただしQはもはや定数ではない。これらはコンデンサにエネルギーを蓄積する2つの異なる経路を反映しており、例えばコンデンサの極板間に同じ「引力」が生じる。

大偏差理論において、レート関数は、確率変数のモーメント母関数の対数のルジャンドル変換として定義されます。レート関数の重要な応用例の一つは、独立同分布（iid）確率変数の和の裾確率の計算であり、特にクラメールの定理において用いられます。

もし${\displaystyle X_{n}}$は独立同分布の確率変数である。${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$関連するランダムウォークと${\displaystyle M(\xi )}$モーメント生成関数${\displaystyle X_{1}}$。 のために${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$、${\displaystyle E[e^{\xi S_{n}}]=M(\xi )^{n}}$したがって、マルコフの不等式により、次の式が成り立つ。${\displaystyle \xi \geq 0}$そして${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle P(S_{n}/n>a)\leq e^{-n\xi a}M(\xi )^{n}=\exp[-n(\xi a-\Lambda (\xi ))]}$$ どこ${\displaystyle \Lambda (\xi )=\log M(\xi )}$左辺は独立しているため${\displaystyle \xi }$右辺の下限を取ると、上限を考えることになる。${\displaystyle \xi a-\Lambda (\xi )}$すなわち、ルジャンドル変換${\displaystyle \Lambda }$評価された${\displaystyle x=a}$。

ルジャンドル変換は、ミクロ経済学において、固定価格Pが与えられたときの製品の供給S ( P )を求める過程で自然に発生します。これは、コスト関数C ( Q ) 、つまり生産者がQ単位の製品を製造/採掘/その他するのにかかるコストがわかっている場合に発生します。

単純な理論では、供給曲線の形状を費用関数のみに基づいて説明します。製品1単位あたりの市場価格をPとしましょう。この商品を販売する企業にとって、最適な戦略は利益を最大化するように生産量Qを調整することです。利益を最大化するには $${\displaystyle {\text{profit}}={\text{revenue}}-{\text{costs}}=PQ-C(Q)}$$Q に関して微分して解く ことにより$${\displaystyle P-C'(Q_{\text{opt}})=0.}$$

Q _optは、生産者が供給しようとする 最適な財の数量Qを表し、これはまさに供給量そのものである。$${\displaystyle S(P)=Q_{\text{opt}}(P)=(C')^{-1}(P).}$$

最大利益を価格の関数として考えると、${\displaystyle {\text{profit}}_{\text{max}}(P)}$コスト関数のルジャンドル変換であることがわかります。${\displaystyle C(Q)}$。