セール双対性

数学の一分野である代数幾何学において、セール双対性は、ジャン＝ピエール・セールによって証明された代数多様体の連接層コホモロジーの双対性である。基本バージョンは滑らかな射影多様体上のベクトル束に適用されますが、アレクサンダー・グロタンディークは、例えば特異多様体など、幅広い一般化を発見しました。n 次元多様体上で、定理によれば、コホモロジー群は別のコホモロジー群の双対空間です。セール双対性は、位相幾何学におけるポアンカレ双対性の連接層コホモロジーに対する類似物であり、正準直線束が方向層に置き換わっています。 ${\displaystyle H^{i}}$${\displaystyle H^{ni}}$

セール双対定理は、より一般的には複素幾何学においても、必ずしも射影複素代数多様体ではないコンパクト複素多様体に対しても成り立つ。この設定では、セール双対定理はドルボーコホモロジーに対するホッジ理論の応用であり、楕円作用素の理論の結果として見ることができる。

セール双対性のこれら 2 つの異なる解釈は、層コホモロジーをドルボーコホモロジーに関連付ける ドルボーの定理を適用することにより、非特異射影複素代数多様体に対して一致する。

X を体k上のn次元の滑らかな多様体とします。標準直線束をX上のn形式の束、つまり余接束の上の外部冪として定義します。 ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{n}={\bigwedge }^{n}(T^{*}X).}$

さらに、 X がk上適切（たとえば、射影的）であると仮定します。このとき、セール双対性は次のように言えます。X上の代数的ベクトル束Eと整数iに対して、自然な同型が存在します。

${\displaystyle H^{i}(X,E)\cong H^{ni}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })^{\ast }}$

有限次元kベクトル空間の。ここで はベクトル束のテンソル積を表す。従って、2 つのコホモロジー群の次元は等しい。 ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle h^{i}(X,E)=h^{ni}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }).}$

ポアンカレ双対性と同様に、セール双対性の同型性は層コホモロジーにおけるカップ積から来ている。つまり、カップ積と の自然なトレース写像との合成は完全なペアリングである。 ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})}$

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{ni}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })\to H^{n}(X,K_{X})\to k.}$

トレースマップは、ド・ラームコホモロジーにおける積分のコヒーレント層コホモロジーの類似物である。^[1]

セールは、コンパクト複素多様体Xと正則ベクトル束Eに対しても同じ双対性定理を証明しました。^{[2]ここで、セールの双対性定理は}ホッジ理論 の結果です。つまり、リーマン計量を備えたコンパクト複素多様体上には、ホッジスター演算子があります。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \star :\Omega^{p}(X)\to \Omega^{2n-p}(X),}$

ここで です。さらに、 は複素数なので、複素微分形式は型の形式に分割されます。ホッジスター演算子 (複素線形から複素数値微分形式に拡張) は、この等級分けと次のように相互作用します。 ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }X=n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle \star :\Omega^{p,q}(X)\to \Omega^{nq,np}(X).}$

正則指数と反正則指数が入れ替わっていることに注意してください。複素微分形式には、型とを入れ替えた共役があり、共役線形ホッジスター演算子を で定義すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle (q,p)}$${\displaystyle {\bar {\star }}\omega =\star {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle {\bar {\star }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{np,nq}(X).}$

共役線形ホッジスターを使用すると、複素微分形式上のエルミート 内積を次のように定義できます。 ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta ,}$

ここで、は-形式、特に複素数値 -形式であるため、その標準方向に関して上で積分できます。さらに、はエルミート正則ベクトル束であるとします。このとき、エルミート計量はとその双対ベクトル束の間に共役線形同型を与え、 とします。 を定義すると、同型が得られます。 ${\displaystyle \alpha \wedge {\bar {\star }}\beta }$${\displaystyle (n,n)}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (E,h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle E\cong E^{*}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \tau :E\to E^{*}}$${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}(\omega \otimes s)={\bar {\star }}\omega \otimes \tau (s)}$

${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}:\Omega ^{p,q}(X,E)\to \Omega ^{np,nq}(X,E^{*})}$

ここで、 は滑らかな- 値の複素微分形式から構成されます。とによって与えられると のペアリングを使用すると、このような - 値形式上のエルミート- 内積を次のように定義できます。 ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(X,E)=\Omega ^{p,q}(X)\otimes \Gamma (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle h}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge _{h}{\bar {\star }}_{E}\beta , }$

ここで は微分形式のウェッジ積を意味し、との間のペアリングを使用してによって与えられます。 ${\displaystyle \wedge_{h}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle h}$

ドルボーコホモロジーのホッジ定理は、次のように定義すると次のようになる。

${\displaystyle \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}={\bar {\partial }}_{E}^{*}{\bar {\partial }}_{E}+ {\bar {\partial }}_{E}{\bar {\partial }}_{E}^{*}}$

ここで はのドルボー演算子であり、 は内積に関する正式な随伴演算子である場合、次のようになります。 ${\displaystyle {\bar {\partial}}_{E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\partial}}_{E}^{*}}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q} (X)。}$

左側はドルボーコホモロジーであり、右側は次のように定義される調和値微分形式${\displaystyle E}$のベクトル空間です。

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)=\{\alpha \in \Omega ^{ p,q}(X,E)\mid \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}(\alpha )=0\}.}$

この記述を用いると、セールの双対定理は次のように述べることができる: 同型性は複素線型同型性を誘導する: ${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^{*})^{*}.}$

これは上記のホッジ理論を使って簡単に証明できます。つまり、 が唯一の調和代表 を持つのコホモロジー類である場合、次のようになります。 ${\displaystyle [\alpha ]}$${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$

${\displaystyle (\alpha ,{\bar {\star }}_{E}\alpha )=\langle \alpha ,\alpha \rangle _{L^{2}}\geq 0}$

が等しいのは の場合のみである。特に、複素線形ペアリング: ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge _{h}\beta }$

との間は非退化であり、セールの双対定理における同型性を誘導します。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E^{*}}}}^{n-p,n-q}(X)}$

代数的設定におけるセール双対性の記述は、 を取り、次のように述べるドルボーの定理を適用することによって復元できます。 ${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{q}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{p}\otimes E)}$

ここで、左側はドルボーコホモロジー、右側は層コホモロジーであり、 は正則 -形式の層を表す。特に、次を得る。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}^{p}}$${\displaystyle (p,0)}$

${\displaystyle H^{q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,E)\cong H^{n,n-q}(X,E^{*})^{*}\cong H^{n-q}(X,K_{X}\otimes E^{*})^{*}}$

ここで、正則形式の層は の標準バンドルそのものであることを利用しました。 ${\displaystyle (n,0)}$${\displaystyle X}$

セール双対性の基本的な応用は代数曲線です。(複素数上では、コンパクトなリーマン面を考えるのと同じです。)体k上の滑らかな射影曲線X上の直線束Lに対して、唯一の非零コホモロジー群はとです。セール双対性は、群 を(異なる直線束に対する) 群で記述します。 ^[3]これはより具体的です。直線束 は単にその切断空間だからです。 ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$${\displaystyle H^{1}(X,L)}$${\displaystyle H^{1}}$${\displaystyle H^{0}}$${\displaystyle H^{0}}$

セール双対性は、曲線のリーマン・ロッホの定理に特に関連しています。種数gの曲線X上の次数dの直線束Lについて、リーマン・ロッホの定理は次のようになります。

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{1}(X,L)=d-g+1.}$

セール双対性を使用すると、これをより基本的な言葉で言い換えることができます。

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,K_{X}\otimes L^{*})=d-g+1.}$

後者のステートメント（約数で表現）は、実際には 19 世紀の定理のオリジナル バージョンです。これは、与えられた曲線を射影空間に埋め込む方法を分析し、代数曲線を分類するために使用される主なツールです。

例: 負の次数の直線束のすべての大域切断はゼロです。さらに、標準束の次数は です。したがって、リーマン・ロッホは、次数 の直線束Lに対して、が に等しいことを意味します。種数gが少なくとも 2 のとき、セール双対性により が成り立ちます。ここではXの1 次変形空間です。これは、種数gの曲線のモジュライ空間が次元 を持つことを示すために必要な基本計算です。 ${\displaystyle 2g-2}$${\displaystyle d>2g-2}$${\displaystyle h^{0}(X,L)}$${\displaystyle d-g+1}$${\displaystyle h^{1}(X,TX)=h^{0}(X,K_{X}^{\otimes 2})=3g-3}$${\displaystyle H^{1}(X,TX)}$${\displaystyle 3g-3}$

セール双対性の別の定式化は、ベクトル束だけでなく、すべてのコヒーレント層に当てはまります。セール双対性を一般化する第一歩として、グロタンディークは、このバージョンが滑らかなスキームだけでなく、軽度の特異点を持つスキーム、コーエン-マコーレースキームにも適用できることを示しました。

つまり、体k上の純粋次元nのCohen–Macaulay スキームXに対して、グロタンディークは、双対化層と呼ばれるX上の連接層を定義しました。(一部の著者はこの層を と呼んでいます。) さらに、X がk上適切であるとします。 X上の連接層Eと整数iに対して、セール双対性によれば、自然な同型があります。 ${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})\cong H^{n-i}(X,E)^{*}}$

有限次元kベクトル空間の。^[4]ここで、Ext群は、-加群のアーベル圏で取られます。これには、 Eがベクトル束の とき、が と同型であるため、前のステートメントが含まれます。${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$${\displaystyle H^{i}(X,E^{*}\otimes \omega _{X})}$

この結果を使用するには、少なくとも特殊な場合には、双対層を明示的に決定する必要があります。X が k 上で滑らかな場合、は上で定義した標準直線束です。より一般的には、X がk上の滑らかなスキームYの余次元rの Cohen–Macaulay 部分スキームである場合、双対層は Ext 層として記述できます。[ 5 ^]${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {Ext}}_{O_{Y}}^{r}(O_{X},K_{Y}).}$

Xが滑らかなスキームYにおける余次元rの局所完全交差である場合、より基本的な記述がある。Y における X の正規バンドルはランクrのベクトルバンドルであり、Xの双対層は次のように与えられる: ^[6]

${\displaystyle \omega _{X}\cong K_{Y}|_{X}\otimes {\bigwedge }^{r}(N_{X/Y}).}$

この場合、X は直線束を持つ Cohen–Macaulay スキームであり、 XはGorensteinであることを示します。 ${\displaystyle \omega _{X}}$

例: X を、次数 の同次多項式によって定義される、体k上の射影空間における完全交差とします。(これが完全交差であるということは、X が次元 を持つことを意味します。)整数dに対して、 上に直線束O ( d )があり、次数dの同次多項式はO ( d )のセクションとして見ることができるという性質があります。このとき、 Xの双対層は直線束です。 ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{r}}$${\displaystyle n-r}$${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$

${\displaystyle \omega _{X}=O(d_{1}+\cdots +d_{r}-n-1)|_{X},}$

付加公式によって表される。例えば、次数dの平面曲線Xの双対層は である。 ${\displaystyle O(d-3)|_{X}}$

特に、セール双対性を使用して、カラビ・ヤウ多様体の 5 次三次多様体に対して に等しい複素変形の数を計算できます。カラビ・ヤウの性質により が保証されるため、セール双対性は、ホッジ ダイヤモンドにおいて複素モジュライの数が に等しいことを示しています。もちろん、最後のステートメントは、カラビ・ヤウ上のすべての変形は妨げられないというボゴモレフ・ティアン・トドロフの定理に依存します。 ${\displaystyle \dim(H^{1}(X,TX))}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$${\displaystyle K_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle H^{1}(X,TX)\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}\otimes \Omega _{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$${\displaystyle h^{2,1}}$

グロタンディークの連接双対性理論は、導来圏の言語を用いたセール双対性の広範な一般化である。体k上の有限型の任意のスキームXに対して、 X上の連接層の有界導来圏の対象 、が存在し、これはk上のXの双対化複体と呼ばれる。正式には、は例外的な逆像であり、ここでf は与えられた射 である。X が純粋次元nのコーエン・マコーレーである場合、である。つまり、これは上で議論した双対層であり、（コホモロジー的）次数 − nの複体として見られる。特に、Xがk上で滑らかな場合、は次数 − nに置かれた標準直線束である。 ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle f^{!}O_{Y}}$${\displaystyle X\to Y=\operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$${\displaystyle \omega _{X}[n]}$${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$

双対化複体を用いると、セール双対性はk上の任意の適切なスキームXに一般化されます。つまり、有限次元kベクトル空間の自然な同型性があります。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(O_{X},E)^{*}}$

任意のオブジェクトEに対して^[7]${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$

より一般的には、 k上の適切なスキームX 、内のオブジェクトE、内の完全複体Fに対して、次のエレガントなステートメントが得られます。 ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,F\otimes \omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(F,E)^{*}.}$

ここで、テンソル積は導来カテゴリで自然であるように、導来テンソル積を意味します。(以前の定式化と比較するために、は と見ることができることに注意してください。) Xもk上で滑らかな場合、 内のすべてのオブジェクトは完全複体であるため、この双対性は内のすべてのEとFに適用されます。上記のステートメントは、k上で滑らかで適切なXに対して は上のセール関数であると要約されます。^[8]${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])}$${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$${\displaystyle F\mapsto F\otimes \omega _{X}^{\bullet }}$${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$

セール双対性はより一般的には体上の固有代数空間に対して成立する。 ^[9]

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、OCLC  13348052
• ハーツホーン、ロビン（1966）、剰余と双対性、数学講義ノート、第20巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-03603-6、MR  0222093
• 「双対性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Huybrechts、Daniel (2005)、複雑な幾何学、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-21290-6、MR  2093043
• ヒューブレヒト、ダニエル（2006）、代数幾何学におけるフーリエ–向井変換、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0199296866、MR  2244106
• Serre、Jean-Pierre (1955)、「Un théorème de duualité」、Commentarii Mathematici Helvetici、29 : 9–26、doi :10.1007/BF02564268、MR  0067489
• ジョン・テート(1968)、「曲線上の微分残差」(PDF)、高等師範科学誌、シリーズ 4、1 : 149–159、doi : 10.24033/asens.1162、ISSN  0012-9593、MR  0227171

• スタックス プロジェクト 著者、スタックス プロジェクト