単射モジュール

数学、特に抽象代数の分野である加群理論において、入射加群とは、すべての有理数のZ加群Qと特定の望ましい特性を共有する加群 Q のことである。具体的には、Q が他の加群のサブ加群である場合、それはすでにその加群の直和分である。また、加群Yのサブ加群が与えられれば、このサブ加群からQへの任意の加群準同型は、すべてのYからQへの準同型に拡張できる。この概念は、射影加群の概念と双対である。入射加群は (Baer 1940) で導入され、教科書 (Lam 1999、§3) で詳細に説明されている。

入射加群は精力的に研究されており、さまざまな追加概念がそれらに基づいて定義されています。入射コジェネレータは、加群のカテゴリ全体を忠実に表現する入射加群です。 入射解決は、加群が入射次元に関してどれだけ入射から遠いかを測定し、導出カテゴリの加群を表します。入射包は最大本質的拡大であり、最小の入射拡大であることがわかります。ネーター環上では、すべての入射加群は一意に分解不可能な加群の直和であり、その構造はよく理解されています。 ある環上の入射加群は別の環上では入射的ではない場合がありますが、特殊なケースを処理するよく理解された環変更方法があります。 それ自体が入射加群である環には、いくつかの興味深い特性があり、体上の有限群の群環などの環が含まれます。 入射加群には可分群が含まれ、圏論の入射オブジェクトの概念によって一般化されます。

環R上の左加群Q は、次の同値な条件の 1 つ (したがってすべて) を満たす場合に単射である:

• Q が他の左R加群Mのサブモジュールである場合、 Mの別のサブモジュールK が存在し、 M はQとKの内部直和、つまりQ + K = MかつQ ∩ K = {0} となります。
• 左R加群の任意の短い完全列0 → Q → M → K → 0 はを分割します。
• XとYが左R加群で、f  : X → Yが入射加群準同型、g  : X → Q が任意の加群準同型である場合、 hf = gとなる加群準同型h  : Y → Qが存在する。つまり、次の図式が可換となる。

• 左R加群のカテゴリからアーベル群のカテゴリへの反変 Hom 関手Hom (-, Q ) は正確です。

入射右R加群は完全に類似して定義されます。

当然のことながら、ゼロモジュール {0} は単射です。

体 kが与えられたとき、すべてのkベクトル空間 Qはk単射な加群です。理由: Q がVのサブスペースである場合、 Qの基底を見つけてそれをVの基底に拡張できます。新しい拡張基底ベクトルはVのサブスペースKを張り、V はQとKの内部直和です。 Qの直補集合KはQによって一意に決定されないことに注意してください。同様に、上記の定義の 拡張マップhは通常一意ではありません。

有理数Q (加法を含む) は、単射アーベル群 (つまり、単射Z加群) を形成します。因子群 Q / Zと円群も単射Z加群です。因子群Z / n Z ( n > 1) は、 Z / n Z加群としては単射ですが、アーベル群としては単射では ありません。

より一般的には、分数体Kを持つ任意の整域 Rに対して、R加群K はR単射加群であり、R を含む最小の単射R加群です。任意のデデキント域に対して、商加群K / Rも単射であり、その分解不可能な加数は非ゼロの素イデアルの局所化です。ゼロイデアルも素数であり、単射Kに対応します。このように、素イデアルと分解不可能な単射加群の間には 1 対 1 の対応があります。 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

可換 ノイザン環については、エベン・マトリス(Lam 1999, §3I)による非常に豊富な理論が利用可能である。すべての入射加群は、一意に分解不可能な入射加群の直和であり、分解不可能な入射加群は、商R / Pの入射包として一意に識別される。ここで、Pは環の素スペクトル上で変化する。 R加群としてのR / Pの入射包は、標準的にはR _P加群であり、R / PのR _P入射包である。言い換えれば、局所環を考えるだけで十分である。R / Pの入射包の自己準同型環は、 PにおけるRの完備化である。^[1] ${\displaystyle {\hat {R}}_{P}}$

2つの例として、 Z加群Z / p Zの入射包（プリューファー群）と、k [ x ] 加群kの入射包（逆多項式の環）があります。後者は、 k [ x , x ⁻¹ ]/ xk [ x ]と簡単に記述できます。この加群には、「逆単項式」、つまりn = 0, 1, 2, …に対してx ^{− n}で構成される基底があります。スカラーによる乗算は予想どおりで、xによる乗算は、 x ·1 = 0の場合を除いて通常どおりに動作します。自己準同型環は、形式的な冪級数の環にすぎません。

G が有限群で、k が特性0の体である場合、群表現の理論では、与えられたものの任意の部分表現はすでに与えられたものの直和項であることが示されます。モジュール言語に翻訳すると、これは群代数 kG上のすべてのモジュールが単射であることを意味します。k の特性が 0 でない場合は、次の例が役立つ場合があります。

A がk上の有限次元を持つ体k上の単位結合代数である場合、 Hom _k (−, k ) は有限生成左A加群と有限生成右A加群の間の双対性です。したがって、有限生成の入射左A加群は、 Pが有限生成の射影右A加群であるときに、 Hom _k ( P、k )という形式の加群とまったく同じです。対称代数の場合、双対性は特に適切に動作し、射影加群と入射加群は一致します。

任意のアルティン環については、可換環の場合と同様に、素イデアルと分解不可能な入射加群の間には 1 対 1 の対応があります。この場合の対応はおそらくさらに単純です。素イデアルは一意の単純加群の消滅子であり、対応する分解不可能な入射加群はその入射包です。体上の有限次元代数の場合、これらの入射包は有限生成加群です(Lam 1999、§3G、§3J)。

がネーター環で が素イデアルである場合、 を入射包として設定します。アルティン環上の の入射包は、モジュール として計算できます。これは と同じ長さのモジュールです。^[2]特に、標準の次数付き環と の場合、は入射モジュールであり、 上のアルティン環の分解不可能な入射モジュールを計算するためのツールを提供します。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle E=E(R/{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}^{k}}$${\displaystyle (0:_{E}{\mathfrak {p}}^{k})}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}^{k}}$${\displaystyle R_{\bullet }=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{\bullet }}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle E=\oplus _{i}{\text{Hom}}(R_{i},k)}$${\displaystyle k}$

アルティン局所環がそれ自身に単射であるための必要十分条件は、 が 上の 1 次元ベクトル空間である場合である。これは、 が 1 次元の底を持つため、アルティンでもあるすべての局所ゴレンスタイン環がそれ自身に単射であることを意味する。^[3]単純な非例として、最大イデアルと留数体を持つ環がある。その底は であり、これは 2 次元である。留数体は単射包を持つ。 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},K)}$${\displaystyle soc(R)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/(x^{2},xy,y^{2})}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y,\mathbb {C} )}$

特性0の体上の リー代数の場合、加群のカテゴリはその入射加群を比較的簡単に記述できる。^[4]普遍包絡代数を用いると、任意の入射加群は加群から構成できる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$

ある-ベクトル空間に対して。このベクトル空間は、射影から -モジュール構造を持つことに注意する。${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})}$

実際、すべての- 加群はいくつかの への入射を持ち、すべての入射的な- 加群はいくつかの の直和項です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$

可換ネーター環 上では、すべての入射加群は直和不可能な入射加群の直和であり、すべての直和不可能な入射加群は素数における留数体の入射包である。つまり、入射加群に対して同型が存在する。${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle I\in {\text{Mod}}(R)}$

${\displaystyle I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$

ここで は加群の入射包である。^[5]さらに、 が何らかの加群の入射包である場合、 はの関連する素数である。^[2]${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle M}$

任意の（無限に多い）単射加群の積は単射である。逆に、加群の直積が単射であれば、各加群は単射である（Lam 1999、p. 61）。有限個の単射加群のすべての直和は単射である。一般に、副加群、因子加群、または単射加群の無限直和は単射である必要はない。すべての単射加群のすべての副加群が単射であるための必要条件は、環がアルティン 半単純である場合である（Golan & Head 1991、p. 152）。すべての単射加群のすべての因子加群が単射であるための必要条件は、環が遺伝的である場合である（Lam 1999、Th. 3.22）。

バス・パップ定理は、右（左）入射加群の無限直和が入射的となるのは、環が右（左）ノイザンである場合のみであることを述べている（Lam 1999、p. 80-81、Th 3.46）。^[6]

Baer の元の論文では、モジュールが単射であるかどうかを確認するための有用な結果 (通常は Baer の基準として知られている) が証明されました。つまり、Rの左イデアルI上で定義された任意の準同型g  : I → QがR全体に拡張できる場合のみ、左RモジュールQは単射であるということです。

この基準を使用すると、Q が単射アーベル群（つまり、 Z上の単射加群）であることを示すことができます。より一般的には、アーベル群が単射であるためには、それが割り切れる必要があります。さらに一般的には、主イデアル領域上の加群が単射であるためには、それが割り切れる必要があります（ベクトル空間の場合はこの定理の例であり、すべての体は主イデアル領域であり、すべてのベクトル空間は割り切れます）。一般の整域上では、整域上のすべての単射加群は割り切れるという含意がまだあります。

Baer の基準は、多くの方法で改良されてきました (Golan & Head 1991, p. 119)。これには、可換 Noether 環の場合、素イデアル Iのみを考慮するだけで十分であるという (Smith 1981) と (Vámos 1983) の結果が含まれます。射影性のテストを与える Baer の基準の双対は、一般には誤りです。たとえば、Z加群Q はBaer の基準の双対を満たしますが、射影的ではありません。

おそらく最も重要な入射加群はアーベル群Q / Zです。これはアーベル群のカテゴリにおける入射余生成子です。つまり、これは入射的であり、他の任意の加群はQ / Zのコピーの適切に大きな積に含まれます。したがって、特に、すべてのアーベル群は入射的な加群のサブグループです。これは任意の環に対しても当てはまることは非常に重要です。つまり、すべての加群は入射的な加群のサブ加群である、または「左R加群のカテゴリには十分な入射子があります」。これを証明するには、アーベル群Q / Zの固有のプロパティを使用して、左R加群のカテゴリにおける入射余生成子を構築します。

左R加群Mに対して、いわゆる「特性加群」M ⁺ = Hom _Z ( M , Q / Z ) は、興味深い双対性を示す右R加群です。この双対性は、単射加群と射影加群の間ではなく、単射加群と平坦加群の間です(Enochs & Jenda 2000、pp. 78–80)。任意の環Rに対して、左R加群が平坦になるのは、その特性加群が単射である場合に限ります。Rが左ノイザンである場合、左R加群が単射になるのは、その特性加群が平坦である場合に限ります。

モジュールの入射包は、与えられたモジュールを含む最小の入射包であり、(Eckmann & Schopf 1953) で説明されてい ます。

最小の単射解法を定義するために、単射包を使用することができます (下記参照)。単射解法の各項が前のマップのコカーネルの単射包である場合、単射解法の長さは最小になります。

あらゆるモジュールMには、次の形式の 正確なシーケンスである単射的な解決も存在します。

0 → M → I ⁰ → I ¹ → I ² → ...

ここで、I ^{j は}単射モジュールです。単射解決は、 Ext 関数などの派生関数を定義するために使用できます。

有限の単射的解決の長さは、 I n が 0 以外で、 i が n より大きい場合に I i = 0 となる最初の添え字 n です。モジュールM^が有限の単射的解決を^許容 する場合、Mのすべての有限の単射的解決の中で最小の長さは単射次元と呼ばれ、 id( M ) と表記されます。M が有限の単射的解決を許容しない場合は、慣例により単射次元は無限であるとされます。 (Lam 1999、§5C) 例として、 id( M ) = 0となるモジュールM を考えます。この状況では、シーケンス 0 → M → I ⁰ → 0 の正確さは、中央の矢印が同型であることを示しており、したがってM自体は単射です。^[7]

同様に、 Mの単射次元は、Ext^該当
_なしすべてのN > nに対して(–, M ) = 0となる。

入射モジュールのすべての入射サブモジュールは直和項であるため、分解不可能な入射モジュールを理解することが重要です (Lam 1999、§3F)。

すべての分解不可能な入射加群には局所 自己準同型環がある。2つの非零部分加群の交差が非零である場合、その加群は均一加群と呼ばれる。入射加群Mの場合、以下は同値である。

• Mは分解不可能である
• Mは非ゼロであり、すべての非ゼロ部分加群の入射包である。
• Mは均一である
• Mは一様加群の入射包である
• Mは一様巡回加群の入射包である
• Mは局所準同型環を持つ

ネーター環上では、すべての入射加群は（一意に決まる）分解不可能な入射加群の直和である。可換ネーター環上では、これは（Matlis 1958）で説明されているすべての入射加群の特に優れた理解を与える。分解不可能な入射加群は、環Rの素イデアルpに対する加群R / pの入射包である。さらに、 R / pの入射包Mは、イデアルp ⁿの消滅子によって与えられる加群M _nによる増加濾過を持ち、M _{n +1} / M _{n は}、 R / pの商体k ( p )上の有限次元ベクトル空間としてHom _{R / p} ( p ⁿ / p ^{n +1}、k ( p ) ) に同型である。

部分環や商環、特に多項式環上の加群を考慮できることは重要です。一般にこれは困難ですが、いくつかの結果が知られています (Lam 1999、p. 62)。

SとR を環とし、P を左R加群として平坦な左R、右S 双加群とします。任意の右S加群Mに対して、加群準同型Hom _S ( P , M )の集合は右R加群の入射的になります。もちろん、左属性と右属性を入れ替えても同じことが言えます。

たとえば、R がSの部分環でSが平坦R加群である場合、すべてのS加群はR加群の入射性によって決まります。特に、R が整域でSがその分数体である場合、 S上のすべてのベクトル空間はR加群の入射性によって決まります。同様に、すべてのR [ x ] 加群はR加群の入射性によって決まります。

反対に、環準同型は、左乗法と右乗法によって、 R を左R、右S双加群にします。 R はそれ自身に対して自由であるため、左R加群としても平坦です。上記のステートメントをP = Rに対して特殊化すると、 M が右S加群のとき、共誘導加群は右R加群の単射であることがわかります。したがって、f上の共誘導により、右S加群から左R加群が生成されます。 ${\displaystyle f:S\to R}$ ${\displaystyle f_{*}M=\mathrm {Hom} _{S}(R,M)}$

商環R / Iの場合、環の変化も非常に明確です。R加群は、Iによって消滅するときのみR / I加群です。部分加群 ann _I ( M ) = { m in M  : im = 0 for all i in I } は、左R加群Mの左部分加群であり、 R / I加群であるMの最大の部分加群です。M が左R加群の単射である場合、 ann _I ( M ) は左R / I加群の単射です。これをR = Z、I = n Z 、およびM = Q / Zに適用すると、 Z / n Zが加群としてそれ自身に単射であるというよく知られた事実が得られます。単射R加群を単射R / I加群に変換するのは簡単ですが、このプロセスでは単射R分解を単射R / I分解に変換することはできず、結果として得られる複体のホモロジーは相対ホモロジー代数の初期の基本的な研究分野の 1 つです。

教科書 (Rotman 1979、p. 103) には、局所化によって単射が保存されるという誤った証明が記載されていますが、反例が (Dade 1981) に示されています。

単位元を持つすべての環は自由加群であり、したがってそれ自身の加群として射影的であるが、環がそれ自身の加群として単射であることは稀である (Lam 1999、§3B)。環が右加群としてそれ自身の上に単射である場合、それは右自己単射環と呼ばれる。すべてのフロベニウス代数は自己単射であるが、体でない整域は自己単射ではない。デデキント域のすべての適切な商は自己単射である。

右ノイザン、右自己入射的な環は準フロベニウス環と呼ばれ、両側アルティン環かつ両側入射的である (Lam 1999、Th. 15.1)。準フロベニウス環の重要な加群理論的性質は、射影加群がまさに入射加群であるということである。

また、加群カテゴリよりも一般的なカテゴリ、たとえば関数カテゴリや、ある環付き空間( X ,O _X ) 上のO _X加群の層のカテゴリにおける入射オブジェクトについても説明します。次の一般的な定義が使用されます:カテゴリCのオブジェクトQが入射的であるとは、 C内の任意の単射f  : X → Yと任意の射g  : X → Qに対して、 hf = gとなる射h  : Y → Qが存在する場合です。

アーベル群のカテゴリにおける入射オブジェクトの概念は、可分群という用語の下で、入射モジュールとはある程度独立して研究されました。ここで、ZモジュールMが入射的であるための必要十分条件は、任意の非ゼロ整数nに対してn ⋅ M = Mであることです。ここでは、平坦モジュール、純粋サブモジュール、および入射モジュールの関係は、単に整数によるモジュール要素の特定の割り切れる性質を参照しているため、より明確です。

相対ホモロジー代数では、準同型の拡張特性は、すべてのサブモジュールではなく、特定のサブモジュールに対してのみ要求される場合があります。たとえば、純粋注入モジュールは、純粋サブモジュールからの準同型をモジュール全体に拡張できる モジュールです。

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