Gモジュール

数学では、群 Gが与えられたとき、G加群は、 M上のアーベル群構造と両立するようにG が作用するアーベル群 Mである。この広く適用可能な概念は、 Gの表現の概念を一般化したものである。群 (コ) ホモロジーは、一般的なG加群を研究するための重要なツール セットを提供する。

G加群という用語は、 G が線型的に作用するR加群(つまり、R加群の自己同型群) のより一般的な概念にも使用されます。

を群とする。左-加群は^[1]アーベル群と左群作用から成り、 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho :G\times M\to M}$

g ·( a ₁ + a ₂ ) = g · a ₁ + g · a ₂

すべてのa ₁とa _{2 は}Mに、すべてのg はGにそれぞれ属します。ここでg · aはρ( g , a ) を表します。右G加群も同様に定義されます。左G加群Mが与えられた場合、 a · g = g ⁻¹ · aと定義することで右G加群に変換できます。

関数f  : M → Nは、 f が群準同型かつG同変である場合に、 G -加群の射(またはG -線型写像、あるいはG -準同型)と呼ばれます。

左（右） G加群とその射の集合はアーベル圏 G -Mod（それぞれMod- G）を形成する。圏G - Mod（それぞれMod - G ）は左（それぞれ右） ZG 加群の圏、すなわち群環Z [ G ]上の加群と同一視できる。

G加群Mのサブモジュールは、 Gの作用の下で安定なサブグループA ⊆ Mです。つまり、すべてのg ∈ Gおよびa ∈ Aに対してg · a ∈ Aです。 MのサブモジュールAが与えられた場合、商加群M / Aは、作用g ·( m + A ) = g · m + Aを持つ商群です。

• 群Gが与えられたとき、アーベル群Z は自明な作用g · a = aを持つG加群です。
• M をa、b、c が整数である2元2次形式 f ( x、y ) = ax ² + 2 bxy + cy ²の集合とし、G = SL(2, Z ) ( Z上の2×2特殊線型群) とします。定義

${\displaystyle (g\cdot f)(x,y)=f((x,y)g^{t})=f\left((x,y)\cdot {\begin{bmatrix}\alpha &\gamma \\\beta &\delta \end{bmatrix}}\right)=f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y),}$

どこ

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

そして ( x , y ) g は行列の乗算である。するとM はガウスによって研究されたG加群となる。^[2]実際、

${\displaystyle g(h(f(x,y)))=gf((x,y)h^{t})=f((x,y)h^{t}g^{t})=f((x,y)(gh)^{t})=(gh)f(x,y).}$

• V が体K上のGの表現である場合、V はG加群です（加法に関してアーベル群です）。

Gが位相群でMが可換位相群である場合、位相G加群は作用写像G × M → Mが連続である（積位相はG × M上で取られる） G加群である。^[3]

言い換えれば、位相G加群は、通常の関係g ( a + a′ ) = ga + ga′、( gg′ ) a = g ( g′a )、および1 a = aを満たす連続写像G × M → Mを伴うアーベル位相群Mです。

• Weibel, Charles A. (1994)の第 6 章。ホモロジー代数入門。Cambridge Studies in Advanced Mathematics。第 38 巻。Cambridge University Press。ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.