S-双対性

理論物理学において、S双対性（強弱双対性の略、またはセン双対性）は、量子場理論または弦理論のいずれかである2つの物理理論の同値性である。S双対性は、計算が難しい理論と計算が容易な理論を関連付けるため、理論物理学での計算に役立ちます。^[1]

量子場の理論において、S 双対性は、古典電気力学で確立された事実、すなわち電場と磁場の交換におけるマクスウェル方程式の不変性を一般化します。量子場の理論における S 双対性の最も古い例の 1 つは、N = 4 超対称ヤン＝ミルズ理論と呼ばれる量子場の理論の 2 つのバージョンを関連付けるモントーネン–オリーブ双対性です。アントン カプースチンとエドワード ウィッテンの最近の研究では、モントーネン–オリーブ双対性が幾何学的ラングランズ プログラムと呼ばれる数学の研究プログラムと密接に関連していることが示唆されています。量子場の理論における S 双対性の別の実現はザイバーグ双対性であり、 N = 1 超対称ヤン＝ミルズ理論と呼ばれる理論の 2 つのバージョンを関連付けます。

弦理論にはS双対性の例も数多くあります。これらの弦の双対性の存在は、弦理論の一見異なる定式化が実際には物理的に同等であることを意味します。これにより、1990年代半ばに、5つの一貫した超弦理論はすべて、 M理論と呼ばれる単一の11次元理論の異なる極限ケースにすぎないという認識が生まれました。^[2]

量子場理論と弦理論において、結合定数は理論内の相互作用の強さを制御する数値です。たとえば、重力の強さはニュートン定数と呼ばれる数値で表され、ニュートンの重力の法則やアルバート・アインシュタインの一般相対性理論の方程式にも現れます。同様に、電磁力の強さは結合定数で表され、これは単一の陽子が運ぶ電荷に関連しています。

量子場理論や弦理論で観測可能な量を計算するために、物理学者は通常、摂動論の方法を適用します。摂動論では、さまざまな物理プロセスが発生する確率を決定する確率振幅と呼ばれる量は、無限個の項の合計として表現され、各項は結合定数の累乗に比例します。 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle A=A_{0}+A_{1}g+A_{2}g^{2}+A_{3}g^{3}+\dots }$。

このような式が意味を成すためには、結合定数が 1 未満で、 の高次べき乗が無視できるほど小さくなり、合計が有限でなければなりません。結合定数が 1 未満でない場合、この合計の項はどんどん大きくなり、式は意味のない無限の答えを与えます。この場合、理論はと強く結合していると言われ、予測を行うために摂動論を使用することはできません。 ${\displaystyle g}$

特定の理論では、S 双対性は、これらの計算を弱く結合した理論の異なる計算に変換することにより、強い結合で計算を行う方法を提供します。S 双対性は、物理学における双対性の一般的な概念の特定の例です。双対性という用語は、2 つの一見異なる物理システムが、自明ではない方法で同等であることが判明する状況を指します。2 つの理論が双対性によって関連している場合、それは、一方の理論が何らかの方法で変換され、最終的にもう一方の理論とまったく同じように見えることを意味します。この場合、2 つの理論は、変換の下で互いに双対であると言われます。言い換えると、2 つの理論は同じ現象を数学的に異なる方法で記述したものです。

S-双対性は、結合定数を持つ理論を、結合定数を持つ同等の理論に関連付けるので便利です。つまり、強く結合した理論 (結合定数が 1 よりはるかに大きい) を弱く結合した理論 (結合定数が 1 よりはるかに小さく、計算が可能な理論) に関連付けます。このため、S-双対性は強弱双対性と呼ばれます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle 1/g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 1/g}$

古典物理学では、電場と磁場の挙動はマクスウェル方程式と呼ばれる方程式系で記述される。ベクトル解析の言語で作業し、電荷や電流が存在しないと仮定すると、これらの方程式は次のように記述できる^{[3] 。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$

ここでは電場を表すベクトル（より正確には、空間内の点ごとに大きさと方向が変化するベクトル場）であり、 は磁場を表すベクトル、は時間、 は光速です。これらの式内の他の記号は、ベクトル解析の概念である 発散と回転を表します。${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle c}$

^{これらの方程式[4]}の重要な性質は、電場を磁場に置き換え、をに置き換える変換に対して不変性があることです。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle -1/c^{2}\mathbf {E} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &\rightarrow \mathbf {B} \\\mathbf {B} &\rightarrow -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} .\end{aligned}}}$

言い換えれば、マクスウェル方程式を解く電場と磁場のペアが与えられれば、これらの電場と磁場が本質的に交換される新しい物理的設定を記述することが可能であり、新しい場は再びマクスウェル方程式の解を与える。この状況は、場の理論における S 双対性の最も基本的な現れである。

量子場の理論では、電場と磁場は電磁場と呼ばれる単一の実体に統合され、この場はゲージ理論またはヤン・ミルズ理論と呼ばれる特殊なタイプの量子場の理論によって記述される。ゲージ理論では、物理的な場は高度な対称性を持ち、それはリー群の概念を使って数学的に理解することができる。このリー群はゲージ群として知られている。電磁場はアーベルゲージ群U(1)に対応する非常に単純なゲージ理論によって記述されるが、より複雑な非アーベルゲージ群を持つ他のゲージ理論も存在する。^[5]

マクスウェル方程式の電場と磁場を入れ替える対称性の類似物がゲージ理論に存在するかどうかは自然な疑問である。その答えは、1970年代後半にクラウス・モントーネンとデイヴィッド・オリーブによって、ピーター・ゴダード、ジャン・ヌイツ、オリーブの初期の業績を基にして与えられた。 ^{[7]彼らの業績は、現在}モントーネン–オリーブ双対性として知られているS双対性の例を提供している。モントーネン–オリーブ双対性は、 N = 4超対称ヤン–ミルズ理論と呼ばれる非常に特殊なタイプのゲージ理論に適用され、2つのそのような理論が特定の厳密な意味で同等である可能性があるとしている。^[1]理論の1つがゲージ群を持つ場合、双対理論はゲージ群を持ち、ここで はラングランズ双対群を表し、一般に とは異なる。^[8]${\displaystyle G}$${\displaystyle {^{L}}G}$${\displaystyle {^{L}}G}$${\displaystyle G}$

量子場理論において重要な量は複素結合定数である。これは式^{[9]で定義される}複素数である。

${\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}}$

ここで、 はラグランジアンに現れる量で、理論を定義するシータ角です。 ^[9]は結合定数です。たとえば、電磁場を記述するヤン・ミルズ理論では、この数は単に単一の陽子が運ぶ素電荷です。 ^[1] 2つの理論のゲージ群を交換することに加えて、モントーネン・オリーブ双対性は、複素結合定数を持つ理論を複素定数 を持つ理論に変換します。^[9]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle -1/\tau }$

数学において、古典的なラングランズ対応は、数論を表現論として知られる数学の分野に関連付ける結果と予想の集合である。^{[10]ロバート}・ラングランズによって1960年代後半に定式化されたラングランズ対応は、フェルマーの最終定理を特別なケースとして含む谷山-志村予想など、数論における重要な予想に関連している。^[10]

ラングランズ対応は数論において重要であるにもかかわらず、数論の文脈で確立することは極めて困難であることが判明している。^[10]その結果、何人かの数学者は幾何学的ラングランズ対応として知られる関連する予想に取り組んできた。これは古典的なラングランズ対応を幾何学的に再定式化したものであり、元のバージョンに現れる数体を関数体に置き換え、代数幾何学の手法を適用することによって得られる。^[10]

2007年の論文で、アントン・カプースチンとエドワード・ウィッテンは、幾何学的ラングランズ対応はモントーネン・オリーブ双対性の数学的記述として見ることができると示唆した。^{[11] S双対性によって関連付けられた2つのヤン・ミルズ理論から始めて、カプースチンとウィッテンは、2次元}時空で一対の量子場理論を構築できることを示した。この次元削減がDブレーンと呼ばれる特定の物理的対象に何をもたらすかを分析することにより、彼らは幾何学的ラングランズ対応の数学的要素を復元できることを示した。^[12]彼らの研究は、ラングランズ対応が量子場の理論におけるS双対性と密接に関連しており、両方の主題に応用できる可能性があることを示している。^[10]

量子場の理論におけるS双対性のもう一つの実現は、ネイサン・ザイバーグによって1995年頃に初めて導入されたザイバーグ双対性である。 ^[13] 4次元時空における最大限に超対称なゲージ理論の2つのバージョンを関連付けるモントーネン-オリーブ双対性とは異なり、ザイバーグ双対性は、 N = 1超対称ゲージ理論と呼ばれる対称性の低い理論を関連付ける。ザイバーグ双対性に現れる2つのN = 1理論は同一ではないが、遠距離で同じ物理現象を生み出す。モントーネン-オリーブ双対性と同様に、ザイバーグ双対性は、電場と磁場を入れ替えるマクスウェル方程式の対称性を一般化する。

1990年代半ばまで、弦理論を研究していた物理学者は、理論にはタイプI、タイプIIA、タイプIIB、および2種類のヘテロティック弦理論（SO(32)とE ₈ ×E ₈）の5つの異なるバージョンがあると信じていました。異なる理論では異なるタイプの弦が許容され、低エネルギーで発生する粒子は異なる対称性を示します。

1990 年代半ば、物理学者は、これら 5 つの弦理論が実際には非常に非自明な双対性によって関連していることに気付きました。これらの双対性の 1 つが S 双対性です。弦理論における S 双対性の存在は、1994 年にAshoke Senによって初めて提唱されました。 ^{[14] [検証に失敗]}結合定数を持つタイプ IIB 弦理論は、 S 双対性を介して、結合定数を持つ同じ弦理論と同等であることが示されました。同様に、結合を持つタイプ I 弦理論は、結合定数を持つSO(32)ヘテロティック弦理論と同等です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle 1/g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 1/g}$

これらの双対性の存在は、5つの弦理論が実際にはすべて異なる理論ではないことを示した。1995年、南カリフォルニア大学での弦理論会議で、エドワード・ウィッテンは、これら5つの理論はすべて、現在M理論として知られる単一の理論の異なる限界にすぎないという驚くべき提案をした。^{[15]ウィッテンの提案は、タイプIIAおよびE} ₈ ×E _{8ヘテロティック弦理論が、} 11次元超重力と呼ばれる重力理論と密接に関連しているという観察に基づいていた。彼の発表は、現在第二次超弦革命として知られる一連の研究につながった。

• モントネン-オリーブ双対性
• ニールセン・オルセン渦
• 二重重力子
• T-双対性
• 鏡面対称
• AdS/CFT通信

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