完全な四角形

数学、特に入射幾何学、とりわけ射影幾何学において、完全四角形は、平面上のどの3 点も共通線上にない 4点と、6組の点を結ぶ 6 本の直線で構成される幾何学的オブジェクトの体系である。双対的に、完全四辺形は、どの 3 点も同じ点を通らない 4 本の直線と、これらの直線が交差する6 点で構成される体系である。完全四辺形は、ラクラン (1893) によってテトラスティグムと名付けられ、完全四辺形はテトラグラムと呼ばれた。これらの用語は現在でも時々使用されている。

完全四角形の6本の線は対になって交わり、四角形の対角点と呼ばれる3つの追加の点を形成する。同様に、完全四辺形の6本の点の中には、まだ線で結ばれていない点の対が3つあり、これらの対を結ぶ線分は対角線と呼ばれる。ユークリッド平面上の点と線については、対角点は単一の線上に存在できず、対角線は単一の三重交差点を持つことはできない。完全四角形の対角点が同一直線上にある有限幾何学であるファノ平面の発見により、一部の著者は対角点は同一直線上にないというファノの公理で射影幾何学の公理を拡張したが^[1]、他の著者はより緩い制限を加えた。

完全な四角形の部分の縮約表現のセットは、GBハルステッドによって導入されました。彼は四角形の頂点を点と呼び、対角点をコドットと呼びます。射影空間の線は直線と呼ばれ、四角形ではコネクタと呼ばれます。コクセターの「対角線」は、ハルステッドによって反対コネクタと呼ばれています。反対コネクタはコドットで交差します。完全な四角形の構成はテトラスティムです。^[2]

点と線のシステムでは、すべての点が同じ数の線に属し、すべての線が同じ数の点を含むため、完全四角形と完全四辺形は両方とも射影配置を形成します。射影配置の表記では、完全四角形は (4 ₃ 6 ₂ ) と書かれ、完全四辺形は (6 ₂ 4 ₃ ) と書かれます。この表記の数字は、配置の点の数、点あたりの線の数、線の数、線あたりの点の数を示します。完全四角形の射影双対は完全四辺形であり、その逆も同様です。任意の 2 つの完全四角形、または任意の 2 つの完全四辺形に対して、 2 つの配置の 1 つを他の配置に変換する唯一の射影変換が存在します。 ^[3]

1847 年、カール・フォン・シュタウトは、四角形の付随物に基づく「調和的性質」があることに着目し、完全四角形で数学の基礎を改革しました。四角形の各対辺が直線上で交差する場合、対角線は射影調和共役位置で直線と交差します。四角形の辺と対角線から得られる直線上の 4 つの点は、調和範囲と呼ばれます。遠近法と射影法によって、調和的性質は安定します。現代の幾何学と代数の発展は、マリオ・ピエリとフェリックス・クラインにフォン・シュタウトが与えた影響に注目しています。

ユークリッド平面では、完全な四辺形を構成する 4 本の線には平行線のペアが含まれてはならないため、すべての線分のペアには交差点が存在します。

ウェルズ (1991) は、完全な四辺形について、純粋に射影的というよりもむしろユークリッド平面の計量特性を含むいくつかの追加特性を説明しています。対角線の中点は同一直線上にあり、(アイザック ニュートンによって証明されたように)四辺形の 4 本の直線すべてに接する円錐の中心とも同一直線上にあります。四辺形のどの 3 本の直線も三角形の辺を形成します。このようにして形成された 4 つの三角形の垂心は、中点を通る直線に垂直な 2 番目の直線上にあります。これらの同じ 4 つの三角形の外接円は1 点で交わります。さらに、対角線を直径とする 3 つの円は、垂心を通る直線を軸とする共通の円束^[4]に属します。

完全な四辺形の三角形の極円は共軸系を形成する。[ 5 ] ^{: p. 179}

• ニュートン線
• 9点円錐曲線
• 四辺形

• コクセター、HSM (1987)。射影幾何学、第2版。Springer- Verlag。ISBN 0-387-96532-7。
• ハーツホーン、ロビン(1967)。射影幾何学の基礎。WAベンジャミン。pp.53–6。
• ラクラン、ロバート (1893)。『現代純粋幾何学に関する初等論文』ロンドン、ニューヨーク: マクミラン社。コーネル大学歴史数学モノグラフからのリンク。特に、85 ページのテトラスティグムと 90 ページのテトラグラムを参照してください。
• ウェルズ、デイビッド (1991)。ペンギンの不思議で興味深い幾何学辞典。ペンギン。pp. 35–36。ISBN 0-14-011813-6。

• 「四角形、完全版」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ボゴモーリニー、アレクサンダー。「完全な四辺形」。「Cut-the-Knot」。
• Weisstein、Eric W.「完全な四角形」。MathWorld。