共繊維

数学、特にホモトピー理論において、位相空間間の連続写像

${\displaystyle i:A\to X}$、

がコファイブレーションであるとは、それがすべての位相空間 に関してホモトピー拡張特性を持つ場合です。つまり、 がコファイブレーションであるとは、各位相空間 に対して、 および を満たす任意の連続写像 に対して、からへの任意のホモトピーに対して、およびすべての に対してとなる連続写像とからへのホモトピーが存在する場合です。(ここで、 は単位区間 を表します。) ${\displaystyle S}$${\displaystyle i}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f,f':A\to S}$${\displaystyle g:X\to S}$${\displaystyle g\circ i=f}$ ${\displaystyle h:A\times I\to S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle g':X\to S}$${\displaystyle h':X\times I\to S}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g'}$${\displaystyle h'(i(a),t)=h(a,t)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle t\in I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle [0,1]}$

この定義は、すべての空間に関してホモトピー持ち上げ特性を満たすために必要なファイバ化の定義と形式的に双対です。これは、位相幾何学における より広いエックマン-ヒルトン双対性の一例です。

コファイブレーションはホモトピー理論の基本概念です。Quillen は、より一般的なカテゴリでホモトピー理論を実行するための正式なフレームワークとしてモデル カテゴリの概念を提案しました。モデル カテゴリには、特定のリフティングおよび因数分解公理を満たす、ファイブレーション、コファイブレーション、および弱同値と呼ばれる 3 つの区別された射のクラスが与えられています。

以下では、単位間隔を表すものとします。 ${\displaystyle I=[0,1]}$

位相空間の写像はコファイブレーションと呼ばれる^{[1] pg 51}任意の写像に対してへの拡張が存在する場合、つまりとなる写像が存在する場合、写像のホモトピーを写像のホモトピーに拡張できる。ここで${\displaystyle i\colon A\to X}$${\displaystyle f:A\to S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f':X\to S}$${\displaystyle f'\circ i=f}$${\displaystyle H:A\times I\to S}$${\displaystyle H':X\times I\to S}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(a,0)&=f(a)\\H'(x,0)&=f'(x)\end{aligned}}}$

この条件は、次の可換図式で表現できる。

ここで、コンパクトオープントポロジーを備えた のパス空間です。${\displaystyle S^{I}}$${\displaystyle S}$

モデルカテゴリにおけるコファイブレーションの概念については、モデルカテゴリを参照してください。

位相学者は長年「良い部分空間埋め込み」の概念を研究してきたが、その多くは写像がコファイブレーションであるか、その逆であるか、またはホモロジーに関して同様の形式的性質を持っていることを意味する。1937 年、Borsuk は、が双正規空間(は正規であり、単位区間との積は正規である) である場合、 のすべての閉じた部分空間は、任意の絶対近傍リトラクトに関してホモトピー拡張特性を持つことを証明した。同様に、が の閉じた部分空間であり、部分空間包含が絶対近傍リトラクトである場合、を に包含することはコファイブレーションである。^{[2] [3]} Hatcher の入門書Algebraic Topologyでは、コファイブレーションに関連付けられた特異ホモロジーで同じ長い正確なシーケンスを持つ良いペアという専門的概念を使用しているが、これは同等ではない。コファイブレーションの概念は、そのホモトピー理論的定義が形式的分析と一般化に適しているため、これらとは区別される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\times I\cup X\times {1}\subset X\times I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

が位相空間間の連続写像である場合、 の写像円筒と呼ばれる関連する位相空間が存在します。 には、以下の可換図に示すように、標準的な部分空間埋め込みと射影写像が存在します。 さらに、はコファイブレーションであり、はホモトピー同値です。 この結果は、「ホモトピー カテゴリではすべての写像がコファイブレーションと同値である」と要約できます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Mf}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i:X\to Mf}$${\displaystyle r:Mf\to Y}$${\displaystyle r\circ i=f}$${\displaystyle i}$${\displaystyle r}$

アルネ・ストロームは、この結果を強化し、すべての写像はコファイブレーションとホモトピー同値（これもファイブレーションである）の合成として因数分解できることを証明した。^[4]${\displaystyle f:X\to Y}$

区別された基点を持つ位相空間は、包含写像がコファイブレーションである場合に、well-pointedであると言われます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {x}\to X}$

固体円板の境界球面の包含写像は、あらゆる に対する共繊維化です。 ${\displaystyle S^{n-1}\to D^{n}}$${\displaystyle n}$

よく使われる事実は、細胞内包物はコファイブレーションであるということです（つまり、たとえば、 がCW ペアである場合、 はコファイブレーションです）。これは、前の事実と、プッシュアウトがスケルトンへの接着マップであるため、コファイブレーションはプッシュアウトに対して安定であるという事実から生じます。 ${\displaystyle (X,A)}$${\displaystyle A\to X}$${\displaystyle n-1}$

十分な射影を持つアーベル圏とします。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

を次数 の鎖複体のカテゴリと すると、モデルカテゴリ構造^{[5] pg 1.2}が存在し、ここで弱同値は準同型、ファイバ化はエピ同型、コファイバ化は写像である。${\displaystyle C_{+}({\mathcal {A}})}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle q<<0}$

${\displaystyle i:C_{\bullet }\to D_{\bullet }}$

これらは次数的にモニックであり、コカーネル複体は内の射影オブジェクトの複体です。したがって、コフィブラント オブジェクトは、オブジェクトがすべて射影的な複体であることがわかります。 ${\displaystyle {\text{コーカー}}(i)_{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

単体集合のカテゴリ^{[5] 1.3ページ}には、ファイバがまさにカンファイバであり、コファイバがすべて入射写像であり、弱同値が幾何学的実現関数を適用した後にホモトピー同値になる単体写像であるモデルカテゴリ構造があります。 ${\displaystyle {\textbf {SSet}}}$

• ハウスドルフ空間の場合、すべてのコファイブレーションは閉じた包含（閉じた像を持つ単射）であり、結果は弱いハウスドルフ空間にも一般化されます。
• コファイブレーションのプッシュアウトはコファイブレーションです。つまり、が任意の（連続）マップ（コンパクトに生成された空間間）であり、がコファイブレーションである場合、誘導マップはコファイブレーションです。${\displaystyle g\colon A\to B}$${\displaystyle i\colon A\to X}$${\displaystyle B\to B\cup _{g}X}$
• マッピングシリンダーは、 のプッシュアウトと（単位区間の一端での）埋め込みとして理解できます。つまり、マッピングシリンダーは と定義できます。プッシュアウトの普遍的性質により、マッピングシリンダーがあらゆる空間Xに対して構築できるとき、 はまさにコファイブレーションです。${\displaystyle i\colon A\to X}$${\displaystyle i_{0}\colon A\to A\times I}$${\displaystyle Mi=X\cup _{i}(A\times I)}$${\displaystyle i}$
• からへの引き込みがある場合に限り、コファイブレーション ( A , X ) が存在します。これはプッシュアウトであり、したがって図で意味のあるすべての空間へのマップを誘導するためです。${\displaystyle X\times I}$${\displaystyle (A\times I)\cup (X\times \{0\})}$
• 変形-収縮ペア、および近傍の変形-収縮ペアについても同様の同等性が言えます。

モデル カテゴリでは、 がコファイブレーションでない場合、マッピング シリンダーはコファイブラント置換 を形成することに注意してください。実際、位相空間のカテゴリだけで作業する場合、点から空間への任意のマップのコファイブラント置換はコファイブラント置換を形成します。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle i:*\to X}$${\displaystyle ミ}$

共繊維の場合、共繊維は誘導商空間として定義されます。一般に、 の場合、共繊維^{[1] pg 59}は商空間として定義されます。${\displaystyle A\to X}$${\displaystyle X/A}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})}$

これは の写像円錐である。ホモトピー的には、コファイバーは写像 のホモトピー余核として働く。実際、尖った位相空間の場合、のホモトピー余極限は${\displaystyle f}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}\left({\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\\downarrow &&\\\end{matrix}}\right)=C_{f}}$

実際、マップのシーケンスには、三角形のカテゴリで区別された三角形として機能するコファイバーシーケンスが装備されています。 ${\displaystyle X\to Y\to C_{f}}$

• 繊維化
• ホモトピー余極限
• ホモトピーファイバー

• ピーター・メイ「代数的位相幾何学の簡潔なコース」：第6章ではコファイブレーションの定義と議論が行われており、本書全体を通して使用されている。
• ブラウン、ロナルド。「7. コファイバー」。位相幾何学と群論。ISBN 978-1-4196-2722-4。第 7 章には、他では見つからない結果が多数あります。