ヴェルディエの二重性 ヴェルディエ双対性とは、（後述する適切な有限性条件の下で）層の特定の派生像関手 が 実際には随伴関手で あることを述べている。これには2つのバージョンがある。
グローバルなヴェルディエ双対性 は、連続写像に対してf : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 導来関手 R f ! {\displaystyle Rf_{!}} f ! {\displaystyle f^{!}} 層 の 導来圏 において、言い換えれば、（アーベル群の）層の（複体）についてF \displaystyle {\mathcal {F}}} X {\displaystyle X} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y {\displaystyle Y}
R H o m （ R f ! F 、 G ） ≅ R H o m （ F 、 f ! G ） 。 {\displaystyle RHom(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong RHom({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}}).} 局所ヴェルディエ双対性は 次のように述べている。
R H o m （ R f ! F 、 G ） ≅ R f * R H o m （ F 、 f ! G ） {\displaystyle R\,{\mathcal {H}}om(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong Rf_{\ast }R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}})} Y 上の層の導来圏において。大域的バージョンと局所的バージョンの違いは、前者が導来圏の層の複体間の射を関連付けるのに対し、後者は内部 Hom 複体を関連付けるため局所的に評価できる点にある。局所的命題の両辺を大域的に切断すると、大域的な Verdier 双対性が得られる。
これらの結果は、コンパクト台を持つ直接像ファンクターの下で成り立つ。f ! {\displaystyle f_{!}} 有限のコホモロジー次元 を持つ。これは、境界が存在する場合に当てはまる。d ∈ N {\displaystyle d\in \mathbf {N} } H c r （ X y 、 Z ） {\displaystyle H_{c}^{r}(X_{y},\mathbf {Z} )} X y = f − 1 （ y ） {\displaystyle X_{y}=f^{-1}(y)} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} r > d {\displaystyle r>d} X y {\displaystyle X_{y}} d {\displaystyle d} d {\displaystyle d} CW複合体 。
上記の議論は、アーベル群の層の導来圏に関するものである。代わりに、環を考えることも可能である。 A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} A = Z {\displaystyle A=\mathbf {Z} }
二重化複合 体D X {\displaystyle D_{X}} X {\displaystyle X}
ω X = p ! （ k ） 、 {\displaystyle \omega _{X}=p^{!}(k),} ここでp はマップX {\displaystyle X} X {\displaystyle X} 代数多様体 ）でない場合、双対化複体は単一次数に集中した層と準同型ではない。この観点から、導来圏は特異空間の研究において必要となる。
もしX {\displaystyle X} コンパクト空間 であり、D b （ X ） {\displaystyle D^{b}(X)} 導来圏 X {\displaystyle X} ヴェルディエ双対は 反変関手 となる。
D : D b （ X ） → D b （ X ） {\displaystyle D\colon D^{b}(X)\to D^{b}(X)} 定義される
D （ F ） = R H o m （ F 、 ω X ） 。 {\displaystyle D({\mathcal {F}})=R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},\omega _{X}).} 次のような特性を持っています。
D 2 （ F ） ≅ F {\displaystyle D^{2}({\mathcal {F}})\cong {\mathcal {F}}} （ファンクターの絡み合い）f * {\displaystyle f_{*}} f ! {\displaystyle f_{!}} f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} D （ R f ! （ F ） ） ≅ R f * D （ F ） {\displaystyle D(Rf_{!}({\mathcal {F}}))\cong Rf_{\ast }D({\mathcal {F}})}
ポアンカレ双対性は、ヴェルディエ双対性の特殊な場合として導出できる。ここでは、 層コホモロジー の仕組みを用いて、空間のコホモロジーを明示的に計算する。
X はコンパクトな向き付け可能なn 次元多様体であり、k は体であり、k X {\displaystyle k_{X}} は、 k を係数とするX 上の定数層 である。f = p {\displaystyle f=p}
[ R p ! k X 、 k ] ≅ [ k X 、 p ! k ] 。 {\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].} この記述からポアンカレ双対性がどのように導かれるかを理解するには、両側を一つずつ理解していくのがおそらく最も簡単でしょう。
k X → （ 私 X ・ = 私 X 0 → 私 X 1 → ⋯ ） {\displaystyle k_{X}\to (I_{X}^{\bullet }=I_{X}^{0}\to I_{X}^{1}\to \cdots )} 定数層の単射分解である。すると、右導来関手に関する標準的な事実により、
R p ! k X = p ! 私 X ・ = Γ c （ X ; 私 X ・ ） {\displaystyle Rp_{!}k_{X}=p_{!}I_{X}^{\bullet }=\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet })} は、そのコホモロジーがX のコンパクト台コホモロジーである複体である。層の複体（またはベクトル空間）間の射自体が複体を形成するため、次のことがわかる。
H o m ・ （ Γ c （ X ; 私 X ・ ） 、 k ） = ⋯ → Γ c （ X ; 私 X 2 ） ∨ → Γ c （ X ; 私 X 1 ） ∨ → Γ c （ X ; 私 X 0 ） ∨ → 0 {\displaystyle \mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k)=\cdots \to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{2})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{1})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{0})^{\vee }\to 0} ここで、最後の非ゼロ項は次数が 0 であり、左側の項は負の次数である。導来圏の射は、層の鎖複体のホモトピー圏 から複体のゼロ次コホモロジーを取ることによって得られる。
[ R p ! k X 、 k ] ≅ H 0 （ H o m ・ （ Γ c （ X ; 私 X ・ ） 、 k ） ） = H c 0 （ X ; k X ） ∨ 。 {\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }.} 上記のヴェルディエ双対性のもう一方の側面については、 Xが コンパクトな向き付け可能なn 次元多様体である場合、以下の事実を当然のこととして受け入れなければならない。
p ! k = k X [ n ] 、 {\displaystyle p^{!}k=k_{X}[n],} これは多様体の双対化複体です。右辺を次のように再表現できます。
[ k X 、 k X [ n ] ] ≅ H n （ H o m ・ （ k X 、 k X ） ） = H n （ X ; k X ） 。 {\displaystyle [k_{X},k_{X}[n]]\cong H^{n}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(k_{X},k_{X}))=H^{n}(X;k_{X}).} ついに声明を入手しました
H c 0 （ X ; k X ） ∨ ≅ H n （ X ; k X ） 。 {\displaystyle H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n}(X;k_{X}).} 層k Xを次数 i の同じ層に置き換えてこの議論を繰り返すと、古典的なポアンカレ双対性が得られる。
H c 私 （ X ; k X ） ∨ ≅ H n − 私 （ X ; k X ） 。 {\displaystyle H_{c}^{i}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n-i}(X;k_{X}).}
参考文献 ボレル、アルマン （1984）、『交差コホモロジー』 、Progress in Mathematics、バーゼル、ボストン、ベルリン：ビルクハウザー、ISBN 978-0-8176-3274-8 ゲルファント、セルゲイ I. Manin、Yuri Ivanovich (1999)、ホモロジー代数 、ベルリン: Springer、ISBN 978-3-540-65378-3 Grothendieck、Alexandre (1977)、Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5) 、数学の講義ノート、vol. 589、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag 、pp. xii+484、ISBN 978-3-540-08248-4 Iversen、Birger (1986)、層のコホモロジー 、Universitext、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag 、doi : 10.1007/978-3-642-82783-9、ISBN 978-3-540-16389-3 MR 0842190 柏原 正樹 ; Schapira、Pierre (2002)、Sheaves on Manifolds 、ベルリン: Springer 、ISBN 3540518614 Verdier、Jean-Louis (1965)、「Dualité dans la cohomologie des espaces localement Compacts」、Séminaire Bourbaki 、vol. 9、パリ: Société Mathématique de France 、pp. Exp. No. 300、337–349 、 ISBN 978-2-85629-042-2 MR 1610971 
![{\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eefa677160b3b70eb1c27994a12ab333b4166b5)
![{\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3bfbf8449d4b94a0f98942cf26d40c2c408bd9)
![{\displaystyle p^{!}k=k_{X}[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86d7560ceca1094206001e583692e31b3bb9c8b)
![{\displaystyle [k_{X},k_{X}[n]]\cong H^{n}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(k_{X},k_{X}))=H^{n}(X;k_{X}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e58bb4637c6ab4433e6d7e73dfb5d7d737f857)
