極限（圏論）

数学の一分野である圏論では、極限という抽象概念は、積、引き戻し、逆極限などの普遍構成の本質的な性質をとらえています。余極限という双対概念は、互いに素な和、直和、余積、押し出し、直極限などの構成を一般化します。

極限と余極限は、普遍的性質や随伴関数といった密接に関連した概念と同様に、高度な抽象レベルで存在します。これらを理解するには、まずこれらの概念が一般化しようとしている特定の例を研究すると役に立ちます。

カテゴリ の極限と余極限は、 の図式によって定義されます。正式には、の形状の図式はから への関手です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle F:J\to C.}$

カテゴリはインデックス カテゴリとして考えられ、図はをパターン化したオブジェクトと射のコレクションをインデックスするものと考えられています。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle J}$

最も頻繁に関心が持たれるのは、カテゴリが小さい、あるいは有限のカテゴリである場合です。図が小さい、あるいは有限であると言われるのは、次の場合です。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$

をカテゴリ の形状の図とします。への円錐は のオブジェクトと、 のオブジェクトによってインデックス付けされた射の族を組み合わせたもので、内のすべての射に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle N}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \psi _{X}:N\to F(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle J}$${\displaystyle F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}}$

図の極限は、 への円錐であり、への任意の円錐に対して、内のすべての に対してとなる一意の射が存在するようなものである。 ${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle (L,\phi )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (N,\psi )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle u:N\to L}$${\displaystyle \phi _{X}\circ u=\psi _{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J}$

錐 は、一意の因数分解を持つ錐 を介して因数分解されると言われています。この射は、媒介射と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle (N,\psi )}$${\displaystyle (L,\phi )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

極限は普遍的な性質(詳細は下記を参照)を特徴とするため、普遍錐とも呼ばれます。すべての普遍的な性質と同様に、上記の定義は一般性のバランスの取れた状態を説明しています。極限オブジェクトは、どの錐も因数分解できるほど十分に一般化されている必要があります。一方で、どの錐に対してもそのような因数分解が1 つしか不可能であるように、十分に具体的である必要があります。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

極限は、 Fへの円錐のカテゴリ内の終端オブジェクトとして特徴付けることもできます。

図に極限がまったく存在しない可能性もあります。しかし、図に極限がある場合、この極限は本質的に一意です。つまり、一意の同型を除いて一意です。このため、 Fの極限についてよく話されます。

極限と円錐の双対概念は、余極限と余円錐です。上記の定義のすべての射を反転することでこれらの定義を簡単に得ることができますが、ここでは明示的に述べます。

図の余錐は、射の族とともにある オブジェクトである。${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle N}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \psi _{X}:F(X)\to N}$

の任意の対象に対して、 の任意の射に対してが成り立つ。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle J}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \psi _{Y}\circ F(f)=\psi _{X}}$

図の余極限とは、 の余錐であり、の他の任意の余錐に対して、内のすべての に対してとなる一意の射が存在するようなものです。 ${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle (L,\phi )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (N,\psi )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle u:L\to N}$${\displaystyle u\circ \phi _{X}=\psi _{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J}$

余極限は普遍余錐とも呼ばれます。余極限は、からの余錐のカテゴリにおける初期オブジェクトとして特徴付けることができます。 ${\displaystyle F}$

極限と同様に、図に余極限がある場合、この余極限は一意の同型性を除いて一意です。 ${\displaystyle F}$

極限と余極限は、図を使わずにオブジェクトと射のコレクションに対して定義することもできます。定義は同じです (上記の定義では、 での射の合成を使用する必要がなかったことに注意してください)。ただし、このバリエーションでは新しい情報は追加されません。オブジェクトと射のコレクションは、(おそらく大きな) 有向グラフ を定義します。が生成する自由カテゴリとすると、イメージに が含まれる普遍的な図が存在します。この図の極限 (または余極限) は、オブジェクトと射の元のコレクションの極限 (または余極限) と同じです。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle J}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle G}$

弱極限と弱余極限は、媒介射の一意性プロパティが削除されることを除いて、極限と余極限と同様に定義されます。

極限の定義は、実際の設定で役立ついくつかの構成を包含できるほど一般的です。以下では、図F  : J → Cの極限 ( L、φ ) について考えます。

• 終端オブジェクト。Jが空のカテゴリである場合、形状Jの図は 1 つだけ、つまり空の図 (集合論の空関数に類似) が存在します。空の図の円錐は、本質的にCのオブジェクトにすぎません。Fの極限は、他のすべてのオブジェクトによって一意に因数分解される任意のオブジェクトです。これは、終端オブジェクトの定義にすぎません。
• 積。 Jが離散カテゴリの、図F は本質的に、 Jでインデックス付けされたCのオブジェクトの族に他なりません。 Fの極限L は、これらのオブジェクトの積と呼ばれます。 円錐φ は、積の射影と呼ばれる射の族φ _X  : L → F ( X )。たとえば、集合のカテゴリでは、積は直積で与えられ、射影はさまざまな因子への自然な射影です。
  • べき乗。積の特殊なケースは、図式F がCのオブジェクトXへの定数関数である場合です。この図式の極限はXのJ^乗と呼ばれ、X ^Jと表記されます。
• イコライザー。Jが2 つのオブジェクトと、一方のオブジェクトから他方のオブジェクトへの 2 つの平行射を持つカテゴリである場合、形状Jの図はC内の平行射のペアです。このような図の極限L は、それらの射のイコライザーと呼ばれます。
  • カーネル。カーネルは、射の 1 つがゼロ射であるイコライザーの特殊なケースです。
• プルバック。 F をC内の3 つのオブジェクトX、 Y、 Z を取り出す図と。ここで、非恒等写像はf  : X → Zとg  : Y → Zのみです。 Fの極限L はプルバックまたはファイバー積と呼ばれます。これは、可換平方としてうまく視覚化できます。

• 逆極限。Jを有向集合（ i ≥ jの場合にのみ矢印i → j を追加して小さなカテゴリとして考える）とし、 F  : J ^op → Cを図式化する。F の極限は逆極限または射影極限と呼ばれる。
• J = 1 、つまり単一のオブジェクトと射を持つカテゴリの場合、形状Jの図式は本質的にCのオブジェクトXに過ぎません。オブジェクトXへの錐は、共​​域Xを持つ射に過ぎません。射f  : Y → X が図式Xの極限となるのは、f が同型である場合に限ります。より一般的には、J が初期オブジェクトiを持つ任意のカテゴリの場合、形状Jの任意の図式には極限、つまりF ( i ) と同型の任意のオブジェクトが存在します。このような同型は、 Fへの普遍錐を一意に決定します。
• 位相的極限。関数の極限は、フィルタの極限の特殊なケースであり、カテゴリカルな極限と次のように関連しています。位相空間 Xが与えられたとき、 X上のフィルタの集合をFで表し、x ∈ Xは点、V ( x ) ∈ Fはxの近傍フィルタ、A ∈ Fは特定のフィルタ、Aよりも細かくxに収束するフィルタの集合を表します。フィルタFには、 A ⊆ Bの場合にのみ、矢印A → Bを追加することで、小さく薄いカテゴリ構造が与えられます。注入は関数になり、次の同値性が成り立ちます。${\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}}$${\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F}$

x がAの位相的極限であるのは、A が Aの圏的極限である場合に限ります。${\displaystyle I_{x,A}}$

余極限の例は、上記の例の双対バージョンで示されます。

• 初期オブジェクトは空の図の余極限です。
• 余積は、離散カテゴリによってインデックス付けされた図の余極限です。
  • 余べき乗は、離散カテゴリからの定数図の余極限です。
• 共等化子は、平行な一対の射の共極限です。
  • コカーネルは、射と並列ゼロ射のコイコライザーです。
• プッシュアウトは、共通のドメインを持つ一対の射の余極限です。
• 直接極限は、有向集合によってインデックス付けされた図の余極限です。

与えられた図F  : J → C は、 Cに極限（または余極限）を持つ場合と持たない場合があります。実際、普遍錐はおろか、 Fへの錐さえ存在しない可能性があります。

カテゴリCがJの形の極限を持つとは、形状Jのすべての図がCに極限を持つことを意味する。具体的には、カテゴリCは

• 小さな離散カテゴリJごとに形状Jの極限を持つ場合、積を持つ(大きな積を持つ必要はない)。
• 形状の限界がある場合にはイコライザを持つ（つまり、すべての平行射のペアにはイコライザがある）${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$
• 形状の極限がある場合、プルバックが発生します(つまり、共通の共域を持つすべての射のペアにはプルバックがあります)。${\displaystyle \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }$

完全なカテゴリとは、すべての小さな極限 (つまり、すべての小さなカテゴリJに対して形状Jのすべての極限) を持つカテゴリです。

双対的な定義を行うこともできます。カテゴリがJ形の余極限を持つのは、形状Jのすべての図がCに余極限を持つ場合です。余完備カテゴリとは、すべての余極限が小さいカテゴリです。

極限の存在定理は、カテゴリCが等化子とクラス Ob( J ) および Hom( J ) でインデックス付けされたすべての積を持つ場合、C は形状Jのすべての極限を持つと述べている。^{[1] : §V.2 Thm.1}この場合、図式F  : J → Cの極限は、2 つの射の等化子として構成できます^{[1] : §V.2 Thm.2}

${\displaystyle s,t:\prod _{i\in \operatorname {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \operatorname {Hom} (J)}F(\operatorname {cod} (f))}$

（成分形式で）によって与えられる

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{\operatorname {dom} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{\operatorname {cod} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}.\end{aligned}}}$

余極限には、余等化子と余積の観点から双対存在定理があります。これらの定理は両方とも、形状Jのすべての (余) 極限が存在するための十分条件と必要条件を与えます。

極限と余極限は普遍的構成の重要な特殊なケースです。

C をカテゴリとし、 J を小さなインデックスカテゴリとします。関数カテゴリ C ^Jは、 C内のJの形をしたすべての図のカテゴリと考えることができます。対角関数

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

は、 C内の各オブジェクトNを定数関数 Δ( N ) : J → CからNに写像する関数です。つまり、J内の各オブジェクトXに対して Δ( N )( X ) = N であり、 J内の各射fに対してΔ( N )( f ) = id _Nです。

図F : J → C ( C ^Jの対象と考えられる) が与えられたとき、自然変換 ψ  : Δ( N ) → F (これはカテゴリC ^Jの単なる射) は、 NからFへの錐と同じものである。これを理解するために、まず、すべての X について Δ( N )( X ) = N であることは、 ψの成分が射ψ _X  : N → F ( X ) であり、これらがすべてドメインN を共有することを意味することに注目してください。さらに、錐の図が可換であるという要件は、このψ が自然変換であるという理由だけで真です。(双対的に、自然変換ψ  : F → Δ( N ) は、 FからNへの余錐と同じものです。)

したがって、極限と余極限の定義は次の形式で言い換えることができます。

• Fの極限はΔ からFへの普遍射です。
• Fの余極限は、Fから Δ への普遍射です。

すべての普遍的構成と同様に、極限と余極限の形成は本質的に関数的である。言い換えれば、Jの形のすべての図がCに極限を持つ場合（Jが小さい場合） 、極限関数が存在する。

${\displaystyle \lim :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

これは各図にその極限と各自然変換η : F → G に、対応する普遍錐と可換な唯一の射 lim η : lim F → lim Gを割り当てる。この関手は対角関手 Δ : C → C ^Jの右随伴である。この随伴は、 Nからlim Fへのすべての射の集合とNからFへのすべての錐の集合との間の一対一を与える。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \operatorname {Cone} (N,F)}$

これは変数NとFにおいて自然です。この随伴の余単位元は、単に lim FからFへの普遍錐です。インデックス カテゴリJが連結(かつ空でない) である場合、随伴の単位元は同型であり、 lim は Δ の左逆になります。これは、Jが連結でない場合は失敗します。たとえば、J が離散カテゴリである場合、単位元のコンポーネントは対角射δ : N → N ^Jです。

双対的に、形状Jのあらゆる図式がCに余極限を持つ場合（Jが小さい場合）、余極限関手が存在する。

${\displaystyle \operatorname {colim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

これは各図に余極限を割り当てる。この関手は対角関手 Δ : C → C ^Jの左随伴であり、自然同型性を持つ。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \operatorname {Cocone} (F,N).}$

この付加の単位は、Fからcolim Fへの普遍余接です。Jが連結(かつ空でない)であれば余接は同型となり、 colim は Δ の左逆になります。

極限関数と余極限関数は両方とも共変関数であることに注意してください。

Hom 関手を使って、カテゴリCの極限と余極限を、集合のカテゴリSetの極限に関連付けることができます。これは、部分的には、共変 Hom 関手 Hom( N , –) : C → Set がCのすべての極限を保存するという事実から生じます。双対性により、反変 Hom 関手は余極限を極限に持っていかなければなりません。

図式F  : J → C がCに極限を持ち、lim Fで表される場合、標準同型が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \lim \operatorname {Hom} (N,F-)}$

これは変数Nについて自然です。ここで、関数 Hom( N , F –) は Hom 関数 Hom( N , –) とFの合成です。この同型は極限錐を尊重する唯一の同型です。

上記の関係を使用して、CにおけるFの極限を定義することができます。最初のステップは、関数 Hom( N、F –) の極限がNからFまでのすべての錐の集合と同一視できることを観察することです。

${\displaystyle \lim \operatorname {Hom} (N,F-)=\operatorname {Cone} (N,F).}$

極限錐は写像族 π _X  : Cone( N , F ) → Hom( N , FX ) によって与えられ、ここでπ _X ( ψ ) = ψ _Xである。Cの対象Lが自然同型Φ  : Hom( L , –) → Cone(–, F )とともに与えられた場合、対象L はFの極限となり、極限錐はΦ _L (id _L )によって与えられる。巧妙な言葉で言えば、これはFの極限が関手 Cone(–, F ) : C → Setの表現であると言うことに等しい。

双対的に、図式F  : J → C がCに余極限（colim Fと表記）を持つ場合、唯一の標準同型が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \lim \operatorname {Hom} (F-,N)}$

これは変数Nについて自然であり、余極限錐を尊重します。Hom( F –, N )の極限を集合 Cocone( F , N ) と同一視することで、この関係を使用して、図式Fの余極限を関手 Cocone( F , –) の表現として定義できます。

Iを有限カテゴリ、Jを小さなフィルタカテゴリとする。任意の双関手

${\displaystyle F:I\times J\to \mathbf {Set} ,}$

自然同型性がある

${\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{J}\lim _{I}F(i,j)\rightarrow \lim _{I}\operatorname {colim} \limits _{J}F(i,j).}$

言葉で言えば、集合内のフィルターされた余極限は有限極限と可換である。また、小さな余極限は小さな極限と可換である。^[2]

F  : J → C がCの図式であり、G :  C → Dが関手である場合、合成によって（図式は単なる関手であることを思い出してください）図式GF  : J → Dが得られます。すると、自然な疑問が生まれます。

「 GFの限界はFの限界とどのように関係していますか？」

関手G  : C → D は、 Cone( F ) から Cone( GF ) への写像を誘導します。Ψ がNからFへの錐であれば、GΨ はGNからGFへの錐です。( L、φ ) がFの極限であるときはいつでも、 ( GL、Gφ ) がGFの極限である場合、関手G はFの極限を保存すると言われます。( Fの極限が存在しない場合は、G は空虚にFの極限を保存することに注意してください。)

関数Gがすべての図式F  : J → Cの極限を保存する場合、関数G は形状Jのすべての極限を保存すると言われます。たとえば、G は積、イコライザー、プルバックなどを保存すると言えます。連続関数は、すべての小さな極限を保存する関数です。

余極限についても同様の規定が可能である。例えば、関数Gは、 ( L , φ ) がFの余極限であるときはいつでもG ( L , φ ) がGFの余極限であるとき、 Fの余極限を保存する。余連続関数は、すべての小さな余極限を保存する関数である。

C が完全なカテゴリである場合、上記の極限の存在定理により、関数G  : C → Dが連続であるためには、(小さな) 積と等化子が保存される必要があります。双対的に、G が余連続であるためには、(小さな) 余積と余等化子が保存される必要があります。

随伴関数の重要な特性は、すべての右随伴関数が連続であり、すべての左随伴関数が共連続であることです。随伴関数は豊富に存在するため、連続関数と共連続関数の例が多数存在します。

与えられた図式F  : J → Cと関手G  : C → Dに対して、FとGFの両方が指定された極限を持つ場合、唯一の標準射が存在する。

${\displaystyle \tau _{F}:G\lim F\to \lim GF}$

これは対応する極限錐を尊重する。関手GがFの極限を保存するのは、この写像が同型である場合に限る。カテゴリCとDがJの形をした極限をすべて持つ場合、limは関手であり、射τ _Fは自然変換の成分を形成する。

${\displaystyle \tau :G\lim \to \lim G^{J}.}$

関数G が形状Jのすべての極限を保存するのは、τ が自然同型である場合のみです。この意味で、関数G は極限と可換であると言えます(標準的な自然同型 まで)。

極限と余極限の保存は、共変関数にのみ適用される概念です。反変関数の場合、対応する概念は、余極限を極限にする関数、または極限を余極限にする関数になります。

関数G  : C → Dが図式F  : J → Cの極限を持ち上げるとは、( L , φ ) がGFの極限であるときはいつでも、 Fの極限 ( L ′, φ ′) が存在して、 G ( L ′, φ ′) = ( L , φ )となるときである。関数G が形状Jの極限を持ち上げるとは、形状Jのすべての図式の極限を持ち上げることである。したがって、積、イコライザー、プルバックなどの持ち上げについて話すことができる。最後に、 G がすべての極限を持ち上げるとは、 G が極限を持ち上げることである。余極限の持ち上げには二重の定義がある。

関数G が 図式Fの極限を一意に解除するとは、( L ′, φ ′) が一意の原像錐 ( L ′ , φ ′)が存在し、( L ′, φ ′) がFの極限であり、G ( L ′, φ ′) = ( L , φ ) であるときです。G が一意に極限を解除することは、 G が極限を解除し、かつ健忘症である場合に限り示せます。

極限の解除は明らかに極限の保存と関連しています。Gが図Fの極限を解除し、GF に極限がある場合、Fにも極限があり、G はFの極限を保存します。したがって、次のようになります。

• G がすべての形状Jの極限を持ち、D が形状Jのすべての極限を持つ場合、Cも形状Jのすべての極限を持ち、G はこれらの極限を保存します。
• G がすべての小さな極限を解除し、Dが完全である場合、 Cも完全であり、G は連続です。

余極限に対する双対ステートメントは同様に有効です。

F  : J → C を図式化する。関手G  : C → Dは

• ( L、φ )が GFの極限であるときはいつでも、G ( L ′、 φ ′) = ( L 、 φ ) となるような F への唯一の錐 ( L ′、φ ′ )が存在し、さらにこの錐がFの極限である場合に、 F の極限を作成します。
• Gによる像がGFの極限となるFへの各錐がすでに F の極限である場合、 F の極限を反映します。

二重に、余極限の作成と反射を定義することができます。

次の文は同等であることが容易にわかります。

• 関数G は限界を作成します。
• 関数G は、極限を一意に持ち上げ、極限を反映します。

限界を一意に持ち上げるが、限界を作成したり反映したりしない関数の例があります。

• すべての表現可能な関手 C → Set は極限を保存します（ただし、必ずしも余極限を保存するわけではありません）。特に、Cの任意のオブジェクトAに対して、共変Hom 関手Hom( A ,–) : C → Setは真です。
• 忘却関手 U  : Grp → Set は、すべての小さな極限とフィルターされた余極限を作成 (および保存) しますが、U は余積を保存しません。この状況は、代数の忘却関手では一般的です。
• 自由関手 F :  Set → Grp (すべての集合SにS上の自由群を割り当てる) は忘却関手Uの左随伴であり、したがって連続的である。これは、2 つの自由群GとHの自由積が、GとHの生成元の互いに素な和集合によって生成される自由群である理由を説明しています。
• 包含関数Ab → Grp は極限を作成しますが、余積は保存しません (2 つのアーベル群の余積は直和です)。
• 忘却関手Top → Set は、極限と余極限を一意に持ち上げますが、どちらも生成しません。
• Met _{c を}射影の連続関数を持つ距離空間のカテゴリとします。忘却関手Met _c → Set は有限の極限を持ちますが、一意に持ち上がるわけではありません。

古い用語では、極限は「逆極限」または「射影極限」と呼ばれ、余極限は「直接極限」または「帰納的極限」と呼ばれていました。これが多くの混乱の原因となっていました。

現代の用語を覚えるにはいくつかの方法があります。まず、

• コカーネル、
• 副産物、
• コイコライザー、および
• コドメイン

は余極限の一種であるが、

• カーネル、
• 製品
• イコライザー、そして
• ドメイン

は限界の種類です。第二に、接頭辞「co」は「」の最初の変数を意味します。「コホモロジー」や「コファイブレーション」などの用語はすべて、双関手の最初の変数、つまり反変変数とわずかに強い関連性があります。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

• デカルトの閉カテゴリ – カテゴリ理論におけるカテゴリの種類
• イコライザー（数学）  – 2つ以上の関数が同じ値を持つ引数のセット
• 逆極限 – 圏論における構成
• 積（圏論）  – 圏論における一般化されたオブジェクト

• アダメク、イジー。ホルスト・ヘルリッヒ;ジョージ E. ストレッカー (1990)。抽象的なカテゴリと具体的なカテゴリ(PDF)。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-60922-6。
• Mac Lane, Saunders (1998)。Category for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。Springer -Verlag . ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001  。​
• ボルセ、フランシス (1994)。「限界」。カテゴリカル代数のハンドブック。数学とその応用の百科事典 50-51、53 [ie 52]。第 1 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-44178-1。

• 有限集合のカテゴリにおける極限と余極限の例を生成するインタラクティブな Web ページ。Jocelyn Paine によって作成されました。
• nラボの限界