逆関係

数学では、二項関係の逆は、関係内の要素の順序が入れ替わったときに発生する関係です。たとえば、「子」関係の逆は、「親」関係です。正式な用語では、とが集合であり、がからへの関係である場合、は、の場合に限り、となるように定義された関係です。集合構築記法では、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L\subseteq X\times Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle L^{\operatorname {T}}}$${\displaystyle yL^{\operatorname {T} }x}$${\displaystyle xLy.}$

${\displaystyle L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.}$

関係は論理行列で表すことができ、逆関係の論理行列は元の関係の転置となるため、逆関係^{[1] [2] [3] [4]は}転置関係とも呼ばれる。^[5]元の関係の反対または双対、 ^[6]元の関係の逆、[ ^{7] [8] [9]} [ ^10]または関係の逆数^[11]とも呼ばれる。 ${\displaystyle L^{\circ}}$${\displaystyle L.}$

逆の関係を表す他の表記法としては、または^{[要出典]がある。}${\displaystyle L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },}$${\displaystyle L^{\vee }.}$

この表記法は逆関数の表記法に似ています。多くの関数には逆関数がありませんが、すべての関係には一意の逆関数があります。関係を逆関係にマップする単項演算は反転であるため、集合上の二項関係に反転を持つ半群の構造を誘導します。または、より一般的には、以下に詳述するように、関係のカテゴリにダガーカテゴリを誘導します。単項演算として、逆をとること (変換または転置と呼ばれることもあります) ^{[要出典] は、}関係の計算の順序関連の演算と交換可能であり、つまり、和集合、積集合、補集合と交換可能です。

通常の（厳密または部分的な）順序関係の場合、その逆は単純に「反対の」順序であると期待される。例えば、${\displaystyle {\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.}$

関係は次のような 論理行列で表現される。$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

逆の関係は転置行列によって表されます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&0&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.}$$

親族関係の逆は次のように名付けられます: 「 」は「 」の子供であり、「 」は「 」の親です。「 」は「 」の甥または姪であり、 「 」は「 」の叔父または叔母です。「 」は「 」の兄弟である」という関係は対称関係であるため、それ自身の逆です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

集合上の二項自己相関のモノイド（関係 上の二項演算は関係 の合成である）では、逆関係は群論の逆の定義を満たさない。つまり、 が 上の任意の関係である場合、 は一般に上の恒等関係と等しくない。逆関係は、反転 を持つ半群の（より弱い）公理を満たす：および^[12]${\displaystyle L}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle L\circ L^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L}$${\displaystyle (L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.}$

一般的に異なる集合間の関係（モノイドではなくカテゴリ、つまり関係Relのカテゴリを形成する）を考えることができるので、この文脈では逆関係は ダガーカテゴリ（別名、反転を持つカテゴリ）の公理に準拠します。^[12]その逆と等しい関係は対称関係です。ダガーカテゴリの言語では、それは自己随伴です。

さらに、集合上の自己関係の半群も部分的に順序付けられた構造（関係を集合として含む）であり、実際には包含的な量子である。同様に、異質関係のカテゴリRelも順序付けられたカテゴリである。^[12]

関係の計算において、変換（逆関係を取る単項演算）は、他の二項演算である和集合や積集合と交換可能である。また、変換は補数の単項演算や、上限と下限を取ることとも交換可能である。変換は、包含による関係の順序付けとも互換性がある。^[5]

関係が反射的、非反射的、対称的、反対称的、非対称的、推移的、連結的、三分的、部分順序、全順序、厳密な弱順序、全前順序（弱順序）、または同値関係である場合、その逆も同様です。

が恒等関係を表す場合、関係には次の逆関係が存在する可能性がある。は ${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

右反転可能

と呼ばれる関係が存在する場合${\displaystyle X,}$を満たす右逆数${\displaystyle R,}$${\displaystyle R\circ X=I.}$

左反転可能

と呼ばれる 関係が存在する場合 ${\displaystyle Y,}$ を満たす左逆数${\displaystyle R,}$${\displaystyle Y\circ R=I.}$

反転可能な

右反転可能かつ左反転可能な場合。

可逆同次関係の場合、すべての右逆と左逆は一致する。この唯一の集合はその${\displaystyle R,}$逆であり、 で表されるこの場合、が成立する。^{[5] : 79}${\displaystyle R^{-1}.}$${\displaystyle R^{-1}=R^{\operatorname {T} }}$

関数が逆関係にある場合のみ、その関数は逆関係にある関数となり、その場合、逆関係は逆関数となります。

関数の逆関係は、${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}\subseteq Y\times X}$${\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.}$

これは必ずしも関数ではありません。必要な条件の1つは、 が単射であること、つまり が 多値であることです。この条件は部分関数であるための十分条件であり、が（全）関数であるためには が全射であることは明らかです。その場合、 が全単射である場合、は の逆関数と呼ぶことができます。${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f.}$

例えば、関数は逆関数を持つ。${\displaystyle f(x)=2x+2}$${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.}$

しかし、関数は多値であるため、関数ではない 逆の関係を持ちます。${\displaystyle g(x)=x^{2}}$${\displaystyle g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},}$

関係の合成を使用すると、逆関係を元の関係と合成することができます。たとえば、その逆関係と合成された部分集合関係は常に普遍的な関係です。

∀A ∀B ∅ ⊂ A ∩B ≡ A ⊃ ∅ ⊂ B ≡ A ⊃ ⊂ B. 同様に、

U = 宇宙の場合、A ∪ B ⊂ U ≡ A ⊂ U ⊃ B ≡ A ⊂ ⊃ B。

ここで、集合のメンバーシップ関係とその逆について考えてみましょう。

${\displaystyle A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .}$

したがって、 反対の構成は普遍的な関係です。 ${\displaystyle A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .}$${\displaystyle \in \ni}$

合成は関係を種類によって分類するのに使用される。関係Qについて、Qの値域上の恒等関係がQ ^T Q を含む場合、Q は一価であると呼ばれる。 Qの定義域上の恒等関係がQQ ^Tに含まれる場合、Q は全であると呼ばれる。Qが一価かつ全である場合、それは関数である。 Q ^Tが一価である場合、Qは単射であると呼ばれる。 Q ^Tが全である場合、 Q は全射であると呼ばれる。^[13]

Qが単価である場合、QQ ^{T は}Qの定義域上の同値関係です。推移関係#関連するプロパティを参照してください。

• 双対性（順序理論）  – 順序理論の数学分野における用語
• 転置グラフ – 逆のエッジを持つ有向グラフ

• ハルモス、ポール R. (1974)、ナイーブ集合論、シュプリンガー、p. 40、ISBN 978-0-387-90092-6