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抽象代数学において、双対化加群は標準加群とも呼ばれ、滑らかな多様体の標準バンドルに類似した可換環上の加群である。グロタンディーク局所双対性で用いられる。
意味
ネーター環 Rの双対化モジュールは、任意の最大イデアルmに対して、R / mベクトル空間Ext が成り立つような有限生成モジュール Mである。 nR
( R / m、M )は、 n ≠height( m )の場合にはゼロとなり、n = height( m )の場合には1次元となる。
双対化モジュールは一意である必要はありません。なぜなら、任意の双対化モジュールと階数 1 の射影モジュールとのテンソル積も双対化モジュールだからです。ただし、これは双対化モジュールが一意でなくなる唯一の方法です。任意の 2 つの双対化モジュールが与えられた場合、一方は階数 1 の射影モジュールとの他方のテンソル積と同型です。特に、環が局所的である場合、双対化モジュールは同型性を除いて一意です。
ネーター環は必ずしも双対化加群を持つわけではありません。双対化加群を持つ環は必ずコーエン・マコーレー環になります。逆に、コーエン・マコーレー環がゴレンシュタイン環の商である場合、それは双対化加群を持ちます。特に、完全な局所コーエン・マコーレー環は双対化加群を持ちます。双対化加群を持たない環の場合、代わりに 双対化複体を使用できる場合があります。
例
R がゴレンシュタイン環である場合、 R をそれ自身の加群として考えると、それは双対化加群になります。
R がアルティン 局所環である場合、Rのマトリス加群(剰余体の入射包) は双対化加群です。
アルティン局所環R = k [ x , y ]/( x 2 , y 2 , xy ) には一意の双対化モジュールがありますが、Rと同型ではありません。
環Z [ √ –5 ]には、可逆イデアルの2つのクラスに対応する2つの非同型双対化加群がある。
局所環k [ x , y ]/( y 2 , xy ) はコーエン・マコーレーではないので、双対化モジュールを持ちません。