T-双対性

理論物理学におけるT双対性（ターゲットスペース双対性の略）は、量子場理論または弦理論のいずれかである2つの物理理論の同値性です。この関係の最も単純な例では、理論の1つは、ある半径 の円のような形をした時空を伝播する弦を記述し、もう1つの理論は、 に比例する半径 の円のような形をした時空上を伝播する弦を記述します。T双対性の考え方は、1987年にバラ・サティアパランによって無名の論文で初めて指摘されました。 ^[1] 2つのT双対理論は、1つの記述のすべての観測可能な量が双対記述の量と同一視されるという意味で同等です。たとえば、一方の記述での運動量は離散値を取り、双対記述で弦が円の周りを 巻く回数に等しくなります。${\displaystyle R}$${\displaystyle 1/R}$

T 双対性の考え方は、超弦理論を含むより複雑な理論にまで拡張できます。これらの双対性の存在は、一見異なる超弦理論が実際には物理的に同等であることを意味します。これにより、1990 年代半ばに、5 つの一貫した超弦理論はすべて、M 理論と呼ばれる単一の 11 次元理論の異なる極限ケースにすぎないという認識が生まれました。

一般的に、T-双対性は、異なる時空幾何学を持つ2つの理論を関連付けます。このように、T-双対性は、プランクスケール物理学の理論において幾何学の古典的概念が崩壊する可能性のあるシナリオを示唆しています。^{[2] T-双対性によって示唆される幾何学的関係は、}純粋数学においても重要です。実際、アンドリュー・ストロミンガー、シン・トン・ヤウ、エリック・ザスローのSYZ予想によれば、T-双対性はミラー対称性と呼ばれる別の双対性と密接に関連しており、これは数え上げ代数幾何学と呼ばれる数学の分野で重要な応用があります。

T 双対性は、物理学における双対性の一般的な概念の特定の例です。双対性という用語は、一見異なる 2 つの物理システムが、自明ではない方法で同等であることが判明する状況を指します。2 つの理論が双対性によって関連している場合、それは、一方の理論が何らかの方法で変換され、もう一方の理論とまったく同じように見えることを意味します。この場合、2 つの理論は変換の下で互いに双対であると言われます。言い換えると、2 つの理論は同じ現象を数学的に異なる方法で記述したものです。

理論物理学で研究されている多くの双対性と同様に、T双対性は弦理論の文脈で発見されました。^[3]弦理論では、粒子はゼロ次元の点としてではなく、弦と呼ばれる1次元の拡張オブジェクトとしてモデル化されます。弦の物理学は、さまざまな次元数で研究できます。日常の経験からおなじみの3つの次元（上下、左右、前後）に加えて、弦理論には、円に丸まった 1つ以上のコンパクトな次元が含まれる場合があります。

この標準的な類推は、庭のホースのような多次元オブジェクトを考えることです。^[4]ホースを十分な距離から見ると、長さという 1 つの次元しかないように見えます。しかし、ホースに近づくと、ホースには 2 番目の次元、つまり円周があることがわかります。したがって、ホース内を這うアリは 2 次元で動きます。このような余分な次元は T 双対性において重要であり、これは弦がある半径の円上を伝搬する理論と弦が半径の円上を伝搬する理論を関連付けます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle 1/R}$

数学において、平面上の曲線の特定の点の周りの巻き数は、曲線がその点の周りを反時計回りに回る合計回数を表す整数です。巻き数の概念は、T 双対性の数学的記述において重要であり、コンパクトな余剰次元の周りの弦の巻きを測定するために使用されます。

たとえば、下の図では、平面上の曲線の例がいくつか赤で示されています。各曲線は閉じていると想定されています。つまり、端点がなく、交差することが許可されています。各曲線の方向は、図の矢印で示されています。いずれの状況でも、平面には黒で示されている特定の点があります。この特定の点の周りの曲線の巻き数は、この点の周りで曲線が反時計回りに回転する合計数に等しくなります。

総回転数を数​​える場合、反時計回りの回転は正としてカウントされ、時計回りの回転は負としてカウントされます。たとえば、曲線が最初に原点を反時計回りに 4 回周回し、次に原点を時計回りに 1 回周回する場合、曲線の総回転数は 3 です。この方式によると、特定の点をまったく周回しない曲線の巻き数は 0 で、特定の点を時計回りに周回する曲線の巻き数は負になります。したがって、曲線の巻き数は任意の整数にすることができます。上の図は、巻き数が -2 から 3 までの曲線を示しています。

T 双対性が生じる最も単純な理論は、円形のターゲット空間を持つ2 次元 シグマ モデル、つまりコンパクト化された自由ボソンです。これらは、円のような形をした仮想時空における弦の伝播を記述する単純な量子場理論です。したがって、弦は、原点の周りの半径 の円内に限定された平面上の曲線としてモデル化できます。以下では、弦は閉じている (つまり、端点がない) ものと想定します。 ${\displaystyle R}$

この円を で表します。この円は、円周の倍数だけ異なる2 つの点が同一視される実数直線のコピーと考えることができます。したがって、任意の時点における弦の状態は、単一の実数パラメータ の関数として表すことができます。このような関数は、フーリエ級数で次のように 展開できます。${\displaystyle S_{R}^{1}}$${\displaystyle 2\pi R}$${\displaystyle \varphi (\theta )}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \varphi (\theta )=mR\theta +x+\sum _{n\neq 0}c_{n}e^{in\theta }}$。

ここで は弦が円周上で何巻きかを表し、フーリエ級数の定数モードが選ばれています。この式は固定された時間における弦の構成を表すため、すべての係数 (および) も時間の関数です。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle x=c_{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c_{n}}$

定数モード の時間微分をと表します。これは理論上の運動量の一種を表します。ここで検討する弦が閉じているという事実を利用して、この運動量はある整数 に対しての形式の離散値のみを取ることができることが示せます。より物理的な言葉で言えば、運動量スペクトルは量子化 されていると言えます。 ${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\dot {x}}=n/R}$${\displaystyle n}$

上述の状況では、弦の 全エネルギー、つまりハミルトニアンは、次の式で与えられる。

${\displaystyle H=(mR)^{2}+{\dot {x}}^{2}+\sum _{n}|{\dot {c}}_{n}|^{2}+n^{2}|c_{n}|^{2}}$。

理論の運動量は量子化されているため、この式の最初の 2 つの項は ​​であり、半径を で置き換え、巻き数と整数を交換しても、この式は変化しません。 の式の合計も同様にこれらの変化の影響を受けないため、総エネルギーは変化しません。実際、このハミルトニアンの同値性は、2 つの量子力学理論の同値性につながります。これらの理論の 1 つは、半径 の円上を伝搬する弦を記述し、もう 1 つは、運動量と巻き数が入れ替わった状態で、半径 の円内を伝搬する弦を記述します。この理論の同値性は、T 双対性の最も単純な表現です。 ${\displaystyle (mR)^{2}+(n/R)^{2}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 1/R}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 1/R}$

1990年代半ばまで、弦理論を研究していた物理学者は、理論にはタイプI、タイプIIA、タイプIIB、および2種類のヘテロティック弦理論（SO(32)とE ₈ ×E ₈）の5つの異なるバージョンがあると信じていました。異なる理論では異なるタイプの弦が許容され、低エネルギーで発生する粒子は異なる対称性を示します。

1990 年代半ば、物理学者は、これら 5 つの弦理論が実際には非常に非自明な双対性によって関連していることに気付きました。これらの双対性の 1 つは T 双対性です。たとえば、タイプ IIA 弦理論は T 双対性を介してタイプ IIB 弦理論と同等であり、また 2 つのバージョンのヘテロティック弦理論は T 双対性によって関連していることが示されました。

これらの双対性の存在は、5つの弦理論が実際にはすべて異なる理論ではないことを示した。1995年に南カリフォルニア大学で行われた弦理論会議で、エドワード・ウィッテンは、これら5つの理論はすべて、現在M理論として知られている単一の理論の異なる限界にすぎないという驚くべき提案をした。^[5]ウィッテンの提案は、異なる超弦理論が双対性によって結びついているという観察と、タイプIIAとE ₈ ×E _{8ヘテロティック弦理論が}11次元超重力と呼ばれる重力理論と密接に関連しているという事実に基づいていた。彼の発表は、現在では第二次超弦革命として知られる一連の研究につながった。

弦理論と代数幾何学において、「ミラー対称性」という用語は、カラビ・ヤウ多様体と呼ばれる複雑な形状を伴う現象を指す。これらの多様体は弦が伝播できる興味深い幾何学を提供し、結果として得られる理論は素粒子物理学に応用できる可能性がある。^[6] 1980年代後半、そのよ​​うなカラビ・ヤウ多様体は理論の物理を一意に決定するものではないことが注目された。代わりに、同じ物理を生み出す2つのカラビ・ヤウ多様体があることが判明した。 ^{[7]これらの多様体は互いに「鏡」であると言われている。この鏡の双対性は弦理論における重要な計算ツールであり、数学者が}数え上げ幾何学の難しい問題を解くことを可能にした。^[8]

ミラー対称性を理解するための一つのアプローチは、 1996年にアンドリュー・ストロミンガー、シン・トン・ヤウ、エリック・ザスローによって提唱されたSYZ予想である。 ^[9] SYZ予想によれば、複雑なカラビ・ヤウ多様体を単純な部分に分割し、これらの部分にT双対性の影響を考慮することでミラー対称性を理解できる。^[10]

カラビ・ヤウ多様体の最も単純な例はトーラス（ドーナツのような形状の表面）です。このような表面は、 2 つの円の積として見ることができます。つまり、トーラスは、縦方向の円の集合（画像の赤い円など）の和集合として見ることができます。これらの円がどのように構成されているかを示す補助空間があり、この空間自体が円（ピンクの円）です。この空間は、トーラス上の縦方向の円をパラメータ化すると言われています。この場合、ミラー対称性は、縦方向の円に作用する T 双対性に相当し、弦の張力の逆数 で、円の半径を からに変更します。${\displaystyle R}$${\displaystyle \alpha '/R}$${\displaystyle \alpha '}$

SYZ 予想は、この考え方を、上に示したような 6 次元カラビ・ヤウ多様体のより複雑なケースに一般化します。トーラスの場合と同様に、6 次元カラビ・ヤウ多様体を、3 球面(球の 3 次元一般化) でパラメータ化された3 トーラス(トーラスの概念を一般化した 3 次元オブジェクト) に分割することができます。^[11] T 双対性は、円からこの分解で現れる 3 次元トーラスに拡張することができ、SYZ 予想は、ミラー対称性は T 双対性をこれらの 3 次元トーラスに同時に適用することと同等であるとしています。^[12]このように、SYZ 予想は、ミラー対称性がカラビ・ヤウ多様体にどのように作用するかについての幾何学的図を提供します。

• S-双対性
• 鏡面対称
• AdS/CFT通信
• 2次元における質量ゼロの自由スカラーボソン
• 二重場理論

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