双線形写像

させて${\displaystyle V,W}$そして${\displaystyle X}$同じ基底体上の3つのベクトル空間である${\displaystyle F}$双線形写像は関数である$${\displaystyle B:V\times W\to X}$$ すべての${\displaystyle w\in W}$地図${\displaystyle B_{w}}$$${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$は線形マップ です${\displaystyle V}$に${\displaystyle X,}$そしてすべての${\displaystyle v\in V}$地図${\displaystyle B_{v}}$$${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$ は線形マップです${\displaystyle W}$に${\displaystyle X.}$言い換えれば、双線形写像の2番目の要素を固定したまま、最初の要素を変化させると、${\displaystyle B_{w}}$その結果は線形演算子となり、最初の要素を固定した場合も同様です。

このような地図${\displaystyle B}$以下の特性を満たす。

• いかなる場合でも${\displaystyle \lambda \in F}$、${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w)。}$
• 地図${\displaystyle B}$両方の成分に加算される:${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$そして${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}$それから${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$そして${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2})。}$

もし${\displaystyle V=W}$そして、すべてのに対してB ( v , w ) = B ( w , v )が成り立つ。${\displaystyle v,w\in V,}$すると、 Bは対称であると言います。Xが基底体Fである場合、写像は双線形形式と呼ばれ、これはよく研究されています (例えば、スカラー積、内積、二次形式など)。

定義は、体F上のベクトル空間の代わりに可換環R上の加群を使用しても、変更なしで機能します。これはn項関数に一般化され、その場合、適切な項は多重線形です。

非可換環RとS、左R加群Mと右S加群Nに対して、双線形写像B  : M × N → Tは、 Tが( R , S )双加群であり、 Nの任意のnに対してm ↦ B ( m , n )がR加群準同型であり、Mの任意のmに対してn ↦ B ( m , n )がS加群準同型である写像である。これは以下を満たす。

B ( r ⋅ m , n ) = r ⋅ B ( m , n )

B ( m , n ⋅ s ) = B ( m , n ) ⋅ s

Mのすべてのm、Nのすべてのn、Rのすべてのr 、Sのすべてのsについて、また、B は各引数に関して加法的である。

実際に現れる双線形写像の多くは個別に連続であるが、すべてが連続であるとは限らない。ここでは、個別に連続な双線形写像が連続であるための十分条件を列挙する。

• Xがベール空間であり、Yが距離化可能である場合、すべての個別に連続な双線形写像は${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$連続的である。^{[ 1 ]}
• もし${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$フレシェ空間の強双対である場合、すべての個別に連続な双線形写像${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$連続的である。^{[ 1 ]}
• 双線形写像が (0, 0) で連続であれば、それは至るところで連続である。^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$は局所凸ハウスドルフ空間であり、${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$構成マップは次のように定義される。${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$ 一般に、双線形写像${\displaystyle C}$（線形写像の空間にどのような位相が与えられていても）連続ではありません。しかし、以下の結果が得られます。

線形写像の3つの空間すべてに、以下のいずれかの位相を与えなさい。

1. これら3つすべてに有界収束の位相を与える。
2. 3つすべてにコンパクト収束の位相を与える。
3. 3つすべてに点ごとの収束の位相を与える。

• もし${\displaystyle E}$は等連続部分集合である${\displaystyle L(Y;Z)}$すると制限が${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$3つのトポロジーすべてにおいて連続である。^{[ 1 ]}
• もし${\displaystyle Y}$樽型空間であれば、すべてのシーケンスに対して${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$収束して${\displaystyle u}$で${\displaystyle L(X;Y)}$そしてすべてのシーケンス${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$収束して${\displaystyle v}$で${\displaystyle L(Y;Z),}$シーケンス${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$収束して${\displaystyle v\circ u}$で${\displaystyle L(Y;Z).}$^{[ 1 ]}