射影モジュール

数学、特に代数学において、射影加群のクラスは、自由加群の主な性質の一部を保持しながら、環上の自由加群（つまり、基底ベクトルを持つ加群）のクラスを拡張します。これらの加群のさまざまな同値な特徴付けを次に示します。

すべての自由加群は射影加群であるが、その逆は主イデアル領域ではないデデキント環などの一部の環では成り立たない。しかし、環が整数などの主イデアル領域、または体上の（多変数）多項式環である場合、すべての射影加群は自由加群である（これはキレン・ススリン定理である）。

射影加群は、1956 年にアンリ・カルタンとサミュエル・アイレンバーグによる影響力のある書籍「ホモロジー代数」で初めて導入されました。

通常のカテゴリー理論的定義は、自由加群から射影加群に持ち越される持ち上げの性質に関するものである。加群Pが射影的であるためには、すべての射影 加群準同型 f  : N ↠ Mとすべての加群準同型g  : P → Mに対して、 f h = gとなる加群準同型h  : P → Nが存在する必要がある。(持ち上げ準同型hが一意である必要はありません。これは普遍的な性質ではありません。)  

この「射影的」の定義の利点は、モジュール カテゴリよりも一般的なカテゴリで実行できることです。つまり、「自由オブジェクト」という概念は必要ありません。また、双対化して、単射モジュールにすることもできます。リフティング プロパティは、 から へのすべての射影がへのすべてのエピモーフィズムを介して因数分解されると言い換えることもできます。したがって、定義により、射影モジュールは、まさにRモジュールのカテゴリ内の射影オブジェクトです。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

モジュールPが射影的であることは、任意の 短い完全モジュール列が

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0}$

は分割完全列である。つまり、すべての射影加群準同型f  : B ↠ Pに対して、セクション写像、つまり加群準同型h  : P → Bが存在し、 f  h = id _Pとなる 。その場合、h ( P )はBの直和分、hはPからh ( P )への同型、h f は加和分h ( P )への射影である。同様に、  

${\displaystyle B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ ただし }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ かつ }}\operatorname {Im} (h)\cong P.}$

モジュールPが射影的であるためには、別のモジュールQが存在し、そのモジュールPとQの直和が自由モジュールとなる必要があります。

R加群P が射影的であるための必要十分条件は、共変関手 Hom( P , -): R - Mod → Abが正確な関手である場合です。ここで、R - Modは左R加群のカテゴリであり、Ab はアーベル群のカテゴリです。環Rが可換である場合、Ab は前述の特徴付けでR - Modに置き換えられると便利です。この関手は常に左正確ですが、Pが射影的である場合は右正確でもあります。これは、この関手がエピモフィズム(射影準同型)を保存する場合、または有限余極限を保存する場合に限り、 Pが射影的であることを意味します。

モジュールPが射影的であるためには、 P内の任意のxに対して、有限個のiに対してのみf _i ( x ) がゼロ以外となり、とな​​るような集合と集合が存在する必要があります。 ${\displaystyle \{a_{i}\in P\mid i\in I\}}$${\displaystyle \{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}}$${\displaystyle x=\sum f_{i}(x)a_{i}}$

射影加群の以下の性質は、上記の（同等の）射影加群の定義のいずれからもすぐに導き出されます。

• 射影加群の直和と直加数は射影的です。
• e = e ²が環Rの冪等元である場合、Re はR上の射影左加群です。

を2 つの環との直積とします。これは成分ごとの演算の環です。および とすると、 は冪等であり、の中心に属します。両側イデアルと は射影加群です。これは、それらの直和 ( R加群として) が自由R加群Rに等しいためです。ただし、と が自明でない場合、 上の加群として自由ではありません。たとえば、 は上で射影的ですが自由ではありません。 ${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2},}$${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$${\displaystyle e_{2}=(0,1).}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle Re_{1}}$${\displaystyle Re_{2}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$

射影加群と自由加群および平坦加群との関係は、次の加群特性の図にまとめられます。

左から右への含意は任意の環上で真ですが、一部の著者はドメイン上でのみ捩れのない加群を定義します。右から左への含意は、それらをラベル付けした環上で真です。それらが真である他の環が存在する可能性があります。たとえば、「局所環または PID」というラベルの付いた含意は、体上の (多変数) 多項式環に対しても真です。これがQuillen–Suslin の定理です。

任意の自由モジュールは射影的です。次の場合には逆が当てはまります。

• Rが体または歪体の場合:この場合、任意のモジュールは自由です。
• 環R が主イデアル領域である場合。たとえば、これはR = Z (整数) に適用され、アーベル群が射影的であるためには、それが自由アーベル群である必要があります。その理由は、主イデアル領域上の自由モジュールの任意のサブモジュールが自由であるためです。
• 環R が局所環である場合に成り立つ。この事実は、「局所的に自由 = 射影的」という直感の基礎となる。この事実は有限生成射影加群に対しては簡単に証明できる。一般に、これは Kaplansky (1958) によるものである。射影加群に関する Kaplansky の定理を参照。

しかし、一般に、射影モジュールは自由である必要はありません。

• RとS が非零環である環R × Sの直積 上では、R × 0と0 × S は両方とも非自由射影加群です。
• デデキント領域上では、非主 イデアルは常に自由加群ではない射影加群です。
• 行列環M _n ( R )上で、自然加群R ^nは射影的であるが、 n > 1のときは自由ではない。
• 半単純環上では、すべての加群は射影的ですが、非ゼロの真左 (または右) イデアルは自由加群ではありません。したがって、すべての射影が自由である唯一の半単純環は、除算環です。

自由加群と射影加群の違いは、ある意味では代数K理論 群 K ₀ ( R )によって測定されます。以下を参照してください。

すべての射影加群は平坦である。^[1]逆は一般には成り立たない。アーベル群Qは平坦だが射影的ではないZ加群である。 ^[2]

逆に、有限関連平坦モジュールは射影的である。^[3]

Govorov (1965)とLazard (1969)は、モジュールMが平坦であるためには、有限生成自由モジュールの直接極限である必要があることを証明した。

一般に、平坦性と射影性との間の正確な関係は、Raynaud & Gruson (1971) (Drinfeld (2006) および Braunling、Groechenig & Wolfson (2016) も参照) によって確立され、彼らは、モジュールMが射影的であるためには、次の条件を満たす必要があることを示しました。

• Mは平らで、
• Mは可算生成モジュールの直和であり、
• M は特定のMittag-Leffler型条件を満たします。

この特徴付けは、が可換環の忠実平坦写像であり、が -加群である場合、が射影的であるためには、が射影的である必要があります。^[4]言い換えれば、射影的であるという性質は、忠実平坦降下を満たします。 ${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\otimes _{R}S}$

射影加群のサブモジュールは射影的である必要はありません。射影左加群のすべてのサブモジュールが射影的である環R は左遺伝的と呼ばれます。

射影加群の商も射影的である必要はありません。たとえば、Z / nはZの商ですが、捩れがなく、したがって平坦ではなく、したがって射影的ではありません。

環上の有限生成射影加群のカテゴリは正確なカテゴリです。（代数 K 理論も参照）。

モジュールMが与えられたとき、Mの射影分解はモジュールの 無限完全列である。

⋅⋅⋅ → P _n → ⋅⋅⋅ → P ₂ → P ₁ → P ₀ → M → 0、

すべてのP_は 射影的です。すべてのモジュールには射影分解があります。実際、自由分解（自由モジュールによる分解）が存在します。射影モジュールの正確なシーケンスは、P ( M ) → M → 0またはP _• → M → 0と省略されることがあります。射影分解の古典的な例は、正則シーケンスのKoszul 複体によって与えられ、これはシーケンスによって生成される イデアルの自由分解です。

有限分解の長さは、 P n がゼロ以外で、 i が n より大きい場合に P i = 0 となるような指数 n です。Mが_有限射影分解を許容する場合、M_のすべての有限射影分解の中で最小の長さは射影次元と呼ばれ、 pd( M ) と表記されます。M が有限射影分解を許容しない場合は、慣例により射影次元は無限大であると言われます。例として、pd( M ) = 0となるモジュールM を考えます。この状況では、 0 → P ₀ → M → 0というシーケンスの正確さは、中央の矢印が同型であることを示しており、したがってM自体は射影的です。

可換環上の射影加群は優れた性質を持っています。

射影加群の局所化は、局所化された環上の射影加群です。局所環上の射影加群は自由です。したがって、射影加群は局所的に自由です(すべての素イデアルでの局所化が、環の対応する局所化上で自由である という意味において)。

逆はネーター環上の有限生成加群に対しても当てはまります。つまり、可換ネーター環上の有限生成加群は、それが射影的である場合に限り、局所的に自由です。

しかし、非ノイザン環上の有限生成加群で局所自由かつ射影的でない例があります。たとえば、ブール環はすべての局所化が2 つの元の体であるF _{2に同型なので、ブール環上の任意の加群は局所自由ですが、ブール環上の非射影加群もいくつかあります。1 つの例は}R / Iで、 RはF ₂の可算な数の直積であり、I はR内のF ₂の可算な数の直和です。RはブールなのでR加群R / Iは局所自由です(また、 R加群としても有限生成で、全域集合のサイズは 1 です) が、I は主イデアルではないのでR / I は射影的ではありません 。(任意の可換環RとイデアルIに対して商加群R / Iが射影R加群である場合、Iは主です。)

しかし、可換環R上の有限生成加群 M（特にMが有限生成R加群でRがノイザン加群の場合）に対しては、以下は同値であることは事実である。 ^[5]

1. ${\displaystyle M}$平らです。
2. ${\displaystyle M}$射影的です。
3. ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$は、 Rの任意の極大イデアルに対して - 加群として自由である。${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
4. ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$は、 Rの任意の素イデアルに対して - 加群として自由である。${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
5. 各iに対して が - モジュールとして自由であるような単位イデアルを生成するものが存在します。${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$${\displaystyle M[f_{i}^{-1}]}$${\displaystyle R[f_{i}^{-1}]}$
6. ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$は、 （Mに関連付けられた層である）上の局所自由層である。${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

さらに、Rがネーター整域である場合、中山の補題により、これらの条件は

• -ベクトル空間の次元はRのすべての素イデアルに対して同じであり、ここで はにおける留数体である。^[6] つまり、Mは定数階数を持つ（以下に定義される）。${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Aを可換環とする。Bが（非可換の場合もある）A代数であり、 Aを部分環として含む有限生成射影A加群である場合、AはBの直接因子である。^[7]

P を可換環R上の有限生成射影加群とし、XをRのスペクトルとします。Xの素イデアルにおけるPの階数は自由加群の階数です。これはX上の局所定数関数です。特に、Xが連結である場合（つまり、R に0 と 1 以外の冪等性がない場合）、P の階数は一定です。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle P_{\mathfrak {p}}}$

理論の基本的な動機は、射影加群（少なくとも特定の可換環上）がベクトル束の類似物であるということである。これは、コンパクトなハウスドルフ空間上の連続した 実数値関数の環、および滑らかな多様体上の滑らかな関数の環に対して明確にすることができる（コンパクトな多様体上の滑らかな関数の空間上の有限生成射影加群は、滑らかなベクトル束の滑らかなセクションの空間であるというセール・スワンの定理を参照）。

ベクトル束は局所的に自由です。環の通常の局所化など、モジュールに持ち越すことができる「局所化」の概念がある場合は、局所的に自由なモジュールを定義することができ、射影モジュールは通常、局所的に自由なモジュールと一致します。

セールの問題を解決するキレン・ススリン定理は、もう一つの深い結果である。すなわち、K が体、またはより一般的には主イデアル領域であり、R = K [ X ₁ ,..., X _n ]がK上の多項式環である場合、R上のすべての射影加群は自由である。この問題は、K が体（および加群が有限生成）であるときにセールによって最初に提起された。バスはこれを非有限生成加群に対して解決し、^[8]キレンとススリンは独立して同時に有限生成加群の場合を扱った。

主イデアル領域上のすべての射影加群は自由であるため、次のような疑問が生じるかもしれません。R が可換環で、すべての (有限生成) 射影 R 加群が自由である場合、すべての(有限生成) 射影R [ X ] 加群は自由でしょうか。答えは「いいえ」です。反例として、 R が原点における曲線y ² = x ³の局所環に等しい場合が挙げられます。したがって、変数の数に関する 単純な帰納法では、Quillen–Suslin の定理を証明することはできません。

ウィキブックの可換代数には、捩れのない、平坦な、射影的な、自由なモジュールに関するページがあります。

• 射影カバー
• シャヌエルの補題
• 低音消去定理
• モジュラー表現理論

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