ペトリー多角形

十二面体のペトリー多角形は、歪んだ十角形です。立体の 5 倍対称軸から見ると、正十角形のように見えます。連続する辺のすべてのペアは、1 つの五角形に属します (ただし、3 つが 1 つになることはありません)。

幾何学において、 $n$ 次元の正多面体のペトリー多角形は、連続する $n$ $- 1$ 辺（ $n$ は除く）がすべて面の1つに属する斜多角形である。正多角形のペトリー多角形は正多角形そのものであり、正多面体のペトリー多角形は連続する2辺（3辺は除く）がすべて面の1つに属する斜多角形である。^{[1]ペトリー多角形は数学者}ジョン・フリンダース・ペトリーにちなんで名付けられている。

すべての正多面体には、平面への直交射影が存在し、1 つのペトリ多角形が正多角形になり、射影の残りの部分がその内部になります。問題の平面は、多角形の対称群のコクセター平面であり、辺の数 $hは$ コクセター群のコクセター数です。これらの多角形と射影されたグラフは、高次元正多面体の対称構造を視覚化するのに役立ちます。

ペトリー多角形は、より一般的には任意の埋め込みグラフに対して定義できます。ペトリー多角形は、通常、ペトリー双対と呼ばれる異なる表面上の同じグラフの別の埋め込みの面を形成します。^[2]

歴史

ジョン・フリンダーズ・ペトリー（1907年 - 1972年）は、エジプト学者ヒルダとフリンダーズ・ペトリーの息子でした。1907年に生まれ、学生時代から数学の才能に恵まれていました。集中力が高かった時期は、複雑な4次元の物体に関する疑問を視覚化して答えることができました。

彼は最初に、正多面体および高次多面体の表面に現れる正斜多角形の重要性に注目しました。コクセターは 1937 年に、彼とペトリーがどのようにして正多面体という古典的な主題を拡張し始めたかを説明しています。

1926年のある日、JF ペトリーは私に、無限だが偽の頂点がない新しい正多面体を2つ発見したと興奮気味に話しました。私の疑念が和らいできた頃、彼は私にその正多面体について説明してくれました。1つは各頂点に6つの正方形があり、もう1つは各頂点に4つの六角形があるというものでした。^[3]

1938年、ペトリーはコクセター、パトリック・デュ・ヴァル、HT・フラザーと共同で『59の20面体』を出版した。^{[4]ペトリーが使用した斜め多角形の幾何学的有用性を認識したコクセターは、}Regular Polytopesを 書いた際に友人にちなんでその多角形に名前を付けた。

ペトリー多角形のアイデアは後に半正多面体へと拡張されました。

正多面体のペトリー多角形

ペトリー四角形を持つ2つの四面体

ペトリー六角形を含む立方体と八面体

ペトリーの十角形を持つ十二面体と二十面体

通常のデュアル、{ p , q } と { q , p } は、同じ投影されたペトリー多角形内に含まれます。右側のデュアル化合物の画像では、ペトリー多角形が、エッジが共通の中心球に接する点で長方形の交差を持つことがわかります。

ペトリー六角形によるgD と sD

ペトリーデカグラムによるgI と gsD

ケプラー・ポアンソ多面体のペトリー多角形は六角形{6}と十角形{10/3}です。

無限正多角形 (アペイロゴン) は、正方形、六角形、三角形の面の角度がそれぞれ 90 度、120 度、60 度である、正多角形のペトリ多角形として定義することもできます。

無限正則斜多角形は、正則双曲型タイリングのペトリー多角形としても存在し、例えば次数7の三角形タイリング、{3,7}のように存在する。

正多面体（4次元多面体）のペトリー多角形

テッセラクト (四次元方陣)のペトリー多角形は八角形です。連続する 3 つの辺はすべて、その 8 つの立方体セルの 1 つに属します。

正多面体 { p , q , r }のペトリー多角形も、連続する 3 辺 (4 辺は除く) が多面体のセルの 1 つに属するように決定できます。4 次元多面体の表面は 3 次元空間 (3次元球面) であるため、正 4 次元多面体のペトリー多角形はこの表面の 3 次元らせんになります。

正多面体と一様多面体のペトリー多角形投影

ペトリー多角形投影は、4 次元以上の多面体の視覚化に役立ちます。

ハイパーキューブ

n次元の超立方体には、その面の数と同じ2 nの大きさのペトリー多角形があります。したがって、その表面を形成する各 ( n − 1) 立方体の辺には、ペトリー多角形のn − 1 辺が含まれます。

既約多面体族

この表は、3 つの正則ファミリ (単体、超立方体、正方体) のペトリー多角形投影と、4 から 8 次元の半正則多面体と一様多面体を生成する例外的なリー群 E _{nを表します。}

参照

注記

^ 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （定義：論文13、反射によって生成される離散群、1933年、p. 161）
^ ピサンスキ、トマシュ、ランディッチ、ミラン(2000)、「幾何学とグラフ理論の架け橋」、ゴリーニ、キャサリン A. (編)、幾何学の働き、MAA ノート、第 53 巻、ワシントン DC: Math. Assoc. America、pp. 174–194、MR 1782654特に181ページを参照。
^ HSM Coxeter (1937)「3次元および4次元の正則な歪んだ多面体とその位相的類似物」、ロンドン数学会紀要(2)43:33～62
^ HSM コクセター、パトリック・デュ・ヴァル、HT フラザー、JF ペトリー (1938) 『59 の 20 面体』、トロント大学研究、数学シリーズ 6: 1–26
^ http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0220-0221.pdf ^{[リンク切れ‍ ]}

参考文献

Coxeter、HSM（1947、63、73）Regular Polytopes、第3版。ニューヨーク：ドーバー、1973年。（2.6節「ペトリー多角形」 24～25ページ、および第12章213～235ページ、「一般化されたペトリー多角形」）
Coxeter, HSM (1974)正則複素多面体. セクション 4.3 旗と直交図、セクション 11.3 ペトリー多角形
Ball, WWR および HSM Coxeter (1987) Mathematical Recreations and Essays、第 13 版。ニューヨーク: ドーバー。(p. 135)
コクセター、HSM (1999)幾何学の美: 12 のエッセイ、ドーバー出版LCCN 99-35678
Peter McMullen 、Egon Schulte ( 2002) Abstract Regular Polytopes、ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-81496-0
スタインバーグ、ロバート、ペトリ多角形の辺の数について、2018年[2]

外部リンク

Weisstein、Eric W.「ペトリー多角形」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「ハイパーキューブグラフ」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「クロスポリトープグラフ」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「24 セルグラフ」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「120 セルグラフ」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「600 セルグラフ」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「ゴセットグラフ 3_21」。MathWorld。

[1] 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （定義：論文13、反射によって生成される離散群、1933年、p. 161）

[2] ピサンスキ、トマシュ、ランディッチ、ミラン(2000)、「幾何学とグラフ理論の架け橋」、ゴリーニ、キャサリン A. (編)、幾何学の働き、MAA ノート、第 53 巻、ワシントン DC: Math. Assoc. America、pp. 174–194、MR 1782654特に181ページを参照。

[3] HSM Coxeter (1937)「3次元および4次元の正則な歪んだ多面体とその位相的類似物」、ロンドン数学会紀要(2)43:33～62

[4] HSM コクセター、パトリック・デュ・ヴァル、HT フラザー、JF ペトリー (1938) 『59 の 20 面体』、トロント大学研究、数学シリーズ 6: 1–26

[5] ttp://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0220-0221.pdf ^{[リンク切れ‍ ]}

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