完全なヘイティング代数

数学、特に順序論において、完全 Heyting 代数は、格子として完全なHeyting 代数です。完全 Heyting 代数は、3 つの異なるカテゴリ、つまりカテゴリCHey 、局所のカテゴリLoc、およびその反対であるフレームのカテゴリFrmの対象です。これら 3 つのカテゴリには同じ対象が含まれていますが、射が異なるため、異なる名前が付けられています。CHey の射だけが、完全Heyting 代数の 準同型です。

ロケールとフレームは、ポイントセットトポロジーの上に構築するのではなく、フレームとロケールに関するステートメントとして、カテゴリカルな用語で 一般トポロジーのアイデアを再構成する、ポイントレストポロジーの基礎を形成します。

完全格子である半順序集合( P , ≤)を考えます。次の同等の条件のいずれかが成立する場合 、 P は完全な Heyting 代数またはフレームです。

• P はヘイティング代数です。つまり、この演算には、Pの各要素xに対して右随伴関数（（単調）ガロア接続の下随伴関数とも呼ばれる）があります。${\displaystyle (x\land \cdot )}$

• Pのすべての要素xとPのすべての部分集合Sに対して、次の無限分配法則が成り立ちます。

${\displaystyle x\land \bigvee _{s\in S}s=\bigvee _{s\in S}(x\land s).}$

• P は分配格子である。つまり、 P内の任意のx、y、zに対して、

${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$

そして、 P内のすべてのxに対して、 meet 演算はスコット連続です（つまり、有向集合の上限が保存されます）。${\displaystyle (x\land \cdot )}$

ヘイティング含意の含意された定義は${\displaystyle a\to b=\bigvee \{c\mid a\land c\leq b\}.}$

もう少しカテゴリ理論を使用すると、フレームを共完備な デカルト閉 ポセットとして同等に定義できます。

包含によって順序付けられた与えられた位相空間のすべての開集合の系は、完全な Heyting 代数です。

カテゴリCHeyの対象、フレームのカテゴリFrm、および局所のカテゴリLocは完全な Heyting 代数です。これらのカテゴリは、射を構成する要素が異なります。

• Frmの射影は、有限の結合と任意の結合を保存する(必然的に単調な) 関数です。

• Heyting 代数の定義には、2 項 meet 演算の右随伴関数の存在が決定的に関係しており、これらが一緒になって追加の含意演算を定義します。したがって、 CHeyの射は、さらに含意を保存するフレームの射です。

• Locの射影はFrmの射影と逆であり、通常は（局所の）写像と呼ばれます。

局所とその写像と位相空間および連続関数との関係は、次のように考えることができる。 を任意の写像とする。冪集合P ( X ) およびP ( Y ) は完全ブール代数であり、写像は完全ブール代数の準同型である。空間XおよびY が位相空間であり、 XおよびY上の開集合の位相O ( X ) およびO ( Y ) が備わっているとする。O ( X ) およびO ( Y ) はP ( X ) およびP ( Y )のサブフレームであることに注意する。 が連続関数である場合、 はこれらのサブフレームの有限の交わりと任意の結合を保存する。これは、 Oが位相空間のカテゴリTopからLocへの関手であり、任意の連続写像を取る ことを示す。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}:P(Y)\to P(X)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X)}$

${\displaystyle f:X\to Y}$

地図へ

${\displaystyle O(f):O(X)\to O(Y)}$

Locでは、Frmで逆画像フレーム準同型として 定義される

${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X).}$

Loc内の局所のマップが与えられた場合、 Frm内でそれを定義するフレーム準同型を と書くのが一般的です。この表記法を使用すると、は次の式で定義されます。${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f^{*}:B\to A}$${\displaystyle O(f)}$${\displaystyle O(f)^{*}=f^{-1}.}$

逆に、任意の局所Aには、そのスペクトルと呼ばれる位相空間S ( A ) があり、これが局所を最もよく近似する。さらに、任意の局所の写像は連続写像を決定する。さらに、この割り当ては関数的である。P (1)を終端集合の冪集合として得られる局所を表すとすると、S ( A )の点はLocの写像、すなわちフレーム準同型である。${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle S(A)\to S(B).}$${\displaystyle 1=\{*\},}$${\displaystyle p:P(1)\to A}$${\displaystyle p^{*}:A\to P(1).}$

各に対して、を点の集合として定義します。これがフレーム準同型を定義し、その像がS ( A ) 上の位相であることは簡単に確認できます。次に、 が局所の写像である場合、各点に、を との合成とすることで定義される点を割り当て、連続写像を取得します。これは、 LocからTopへの関手を定義し、これはOに右随伴します。 ${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle U_{a}}$${\displaystyle p\in S(A)}$${\displaystyle p^{*}(a)=\{*\}.}$${\displaystyle A\to P(S(A)),}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle p\in S(A)}$${\displaystyle S(f)(q)}$${\displaystyle S(f)(p)^{*}}$${\displaystyle p^{*}}$${\displaystyle f^{*},}$${\displaystyle S(f):S(A)\to S(B).}$${\displaystyle S}$

スペクトルの位相に同型な任意の局所は空間的 と呼ばれ、開集合の局所のスペクトルに同相な任意の位相空間は非対称 と呼ばれます。位相空間と局所間の随伴性は、非対称空間と空間局所間のカテゴリの同値性に制限されます。

すべての結合 (したがって、すべてのフレーム準同型) を保存する関数は右随伴を持ち、逆に、すべての会合を保存する関数は左随伴を持ちます。したがって、カテゴリLoc は、オブジェクトがフレームであり、射が会合保存関数であり、その左随伴が有限の会合を保存するカテゴリと同型です。これは、 Locの表現と見なされることがよくありますが、 Loc自体と混同しないでください。 Loc の射は、反対方向のフレーム準同型と形式的に同じです。

• PT ジョンストン、『ストーン スペース』、ケンブリッジ高等数学研究 3、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1982 年。( ISBN  0-521-23893-5 )

ロケールと完全な Heyting 代数に関する優れたリソースです。

• G. Gierz、KH Hofmann、K. Keimel、JD Lawson、M. Mislove、およびDS Scott、「連続格子と領域」、Encyclopedia of Mathematics and its Applications、第 93 巻、Cambridge University Press、2003 年。ISBN 0-521-80338-1 

大会の継続性の観点からの特性評価が含まれます。

• フランシス・ボルセックス：『カテゴリカル代数ハンドブックIII 』、数学とその応用百科事典第52巻。ケンブリッジ大学出版局、1994年。

驚くほど広範囲にわたるロケールと Heyting 代数に関するリソース。よりカテゴリ的な視点を取り入れています。

• スティーブン・ヴィッカーズ『Topology via logic』、ケンブリッジ大学出版局、1989年、ISBN 0-521-36062-5。 

• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter 編 (2004)。圏論的基礎。順序、位相、代数、層理論に関する特別なトピック。数学とその応用百科事典。第 97 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7.ZBL1034.18001  。​

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