代数多様体の特異点

代数幾何学の分野では、代数多様体Vの特異点とは、その点において多様体上の接空間が正則に定義されない可能性があるという幾何学的な意味で「特別」（つまり特異）な点Pのことである。実数上で定義された多様体の場合、この概念は局所的な非平坦性の概念を一般化したものである。特異点を持たない代数多様体の点は正則であると言われる。特異点を持たない代数多様体は非特異または滑らかであると言われる。この概念は、現代のスキーム理論の言語では滑らかなスキームに一般化されている。

陰関数方程式で定義される平面曲線

${\displaystyle F(x,y)=0,}$

Fが滑らかな関数である場合、 Fのテイラー級数の次数がその点で少なくとも2 であるとき、F はある点で特異であると言われます。

その理由は、微分積分学では、このような曲線の点( x ₀ , y ₀ )における接線は次の式で定義されるからである。

${\displaystyle (x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,}$

左辺はテイラー展開の1次項である。したがって、この項がゼロの場合、タンジェントは標準的な方法では定義できない。これは、タンジェントが存在しないか、特別な定義が必要となるためである。

一般的に超曲面の場合

${\displaystyle F(x,y,z,\ldots )=0}$

特異点とは、すべての偏導関数が同時にゼロになる点のことです。一般的な代数多様体V を複数の多項式の共通零点として定義すると、 Vの点Pが特異点となる条件は、多項式の 1 階偏導関数のヤコビ行列のPにおけるランクが、多様体の他の点におけるランクよりも低いことです。

Vの特異でない点は、非特異点または正則点と呼ばれます。ほとんどすべての点が非特異であることは常に真です。非特異点は、多様体において開かつ稠密な集合を形成します (複素数上で定義された多様体の場合、通常の位相だけでなく、ザリスキ位相の場合も同様です)。^{[ 1 ]}

実多様体（実係数多項式で定義される多様体の実座標を持つ点の集合）の場合、多様体はすべての正則点の近くで多様体になります。しかし、実多様体は多様体であり、特異点を持つ場合があります。たとえば、方程式y ³ + 2 x ² y − x ⁴ = 0は実解析多様体を定義しますが、原点に特異点があります。^{[ 2 ]}これは、曲線が実枝を原点で切断する2 つの複素共役枝を持っていると説明できます。

特異点の概念は純粋に局所的な性質であるため、上記の定義はより広いクラスの滑らかな写像（すべての導関数が存在するMからR ⁿへの関数）をカバーするように拡張できます。これらの特異点の解析は、写像のジェットを考慮することで代数多様体の場合に帰着させることができます。k 番目のジェットは、写像のテイラー級数を次数kで打ち切り、定数項を削除したものです。

古典的な代数幾何学では、特定の特異点はノードとも呼ばれていました。ノードとは、ヘッセ行列が非特異である特異点のことです。これは、特異点の重複度が2であり、接錐はその頂点以外では特異ではないことを意味します。

• ミルナー地図
• 特異点の解消
• 特異点理論
• ザリスキー接空間