ガロア拡大

数学において、ガロア拡大とは、正規かつ可分な代数体拡大 E / Fである。^[1]あるいは、E / F は代数的であり、自己同型群Aut( E / F )によって固定される体はまさに基底体Fである。ガロア拡大であることの意味は、拡大がガロア群を持ち、ガロア理論の基本定理に従うことである。^[a]

エミール・アルティンの結果は、次のようにガロア拡大を構成することを可能にする。Eが与えられた体であり、Gが固定体Fを持つEの自己同型の有限群である場合、 E / Fはガロア拡大である。[ 2 ^]

拡大体がガロアであるという性質は、体の構成と交差に関してよく機能します。^[3]

ガロア拡大の特徴

エミール・アルティンの重要な定理によれば、有限拡張に対して、次の各ステートメントはガロアのステートメントと同等です。 $E/F,$ $E/F$

$E/F$ は通常の拡張であり、分離可能な拡張です。
$E$ は、係数が $F.$
$|\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],$ つまり、自己同型の数は拡張の次数に等しい。

他の同等の記述は次のとおりです。

の少なくとも 1 つの根を持つの既約多項式はすべて上で分解され、分離可能です。 $F[x]$ $E$ $E$
$|\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],$ つまり、自己同型の数は少なくとも拡張の次数と同じである。
$F$ の部分群の固定体である $\operatorname {Aut} (E).$
$F$ は固定フィールドである $\operatorname {Aut} (E/F).$
のサブフィールドとサブグループの間には1対1の対応関係がある。 $E/F$ $\operatorname {Aut} (E/F).$

無限体拡大がガロア体であるための必要十分条件は、が（無限）インデックス集合によってインデックス付けされた有限ガロア部分拡大の和集合である場合、すなわちであり、ガロア群が逆システムが体包含によって順序付けられる逆極限である場合である。^[4] $E/F$ $E$ $E_{i}/F$ $I$ $E=\bigcup _{i\in I}E_{i}$ $\operatorname {Aut} (E/F)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} (E_{i}/F)}$ $E_{i}\subset E_{j}$

例

ガロア拡大の例を構築するには、2 つの基本的な方法があります。

任意の体、の任意の有限部分群を取り、を固定体とします。 $E$ $\operatorname {Aut} (E)$ $F$
任意の体、内の任意の可分多項式を取り、をその分解体とします。 $F$ $F[x]$ $E$

有理数体に2 の平方根を付加するとガロア拡大が得られ、 2 の 3 乗根を付加すると非ガロア拡大が得られます。これらの拡大は両方とも、特性 0 を持つため分離可能です。最初の拡大はの分解体です。2 番目は1 の複素 3 乗根を含む正規閉包を持つため、分解体ではありません。実際、実数に含まれ、実根を 1 つだけ持つため、恒等式以外の自己同型性はありません。より詳細な例については、ガロア理論の基本定理のページを参照してください。 $x^{2}-2$ $x^{3}-2$

任意の体の代数閉包は、が完全体である場合に限り、上ガロアである。 ${\bar {K}}$ $K$ $K$ $K$

注記

^ これらの用語の定義と例については、ガロア群の記事を参照してください。

引用

^ ラング2002、262ページ。
^ Lang 2002、p.264、定理1.8。
^ ミルン 2022、p. 40f、ch. 3および7。
^ ミルン2022、102ページ、例7.26。

参考文献

ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR 1878556

さらに読む

アルティン、エミール(1998) [1944]。ガロア理論。アーサー・N・ミルグラム編集、補足章付き。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 0-486-62342-4. MR 1616156。
Bewersdorff, Jörg (2006)。初心者のためのガロア理論。学生数学図書館。第35巻。David Kramerによる第2版ドイツ語版(2004)からの翻訳。アメリカ数学会。doi : 10.1090/stml/ 035。ISBN 0-8218-3817-2. MR 2251389. S2CID 118256821.
エドワーズ、ハロルド M. (1984)。ガロア理論。数学大学院テキスト。第 101 巻。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 0-387-90980-X. MR 0743418。 (ガロアのオリジナル論文、詳細な背景と解説付き)
ファンクハウザー、H. グレイ(1930)。「方程式の根の対称関数の歴史に関する短い説明」。アメリカ数学月刊誌。37 ( 7)。アメリカ数学月刊誌、第37巻、第7号: 357–365。doi :10.2307 / 2299273。JSTOR 2299273。
「ガロア理論」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
ジェイコブソン、ネイサン(1985)。『基礎代数 I』（第 2 版）。WH フリーマンアンドカンパニー。ISBN 0-7167-1480-9。 (第 4 章では、ガロア理論に対する体理論的アプローチの概要を説明します。)
Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001).ガロア理論. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-80309-0。(この本は、グロタンディークのガロア理論と、ガロア群につながるいくつかの一般化を読者に紹介します。)
ラング、セルジュ(1994)。代数的数論。数学大学院テキスト。第 110 巻 (第 2 版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 / 978-1-4612-0853-2。ISBN 978-0-387-94225-4MR 1282723 。
ポストニコフ、ミハイル・ミハイロヴィチ (2004)。ガロア理論の基礎。PJ ヒルトンによる序文付き。1962 年版の再版。1960 年のロシア語原書からアン・スウィンフェンによって翻訳。ドーバー出版。ISBN 0-486-43518-0MR 2043554 。
ミルン、ジェームズ S. (2022). 体とガロア理論 (v5.10).
ロットマン、ジョセフ (1998)。ガロア理論。Universitext (第 2 版)。Springer。doi :10.1007 / 978-1-4612-0617-0。ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586。
フォルクライン、ヘルムート (1996)。ガロア群としての群：入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 53 巻。ケンブリッジ大学出版局。doi :10.1017 / CBO9780511471117。ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612。
ファン・デル・ワールデン、バーテル・レンダート（1931年）。近代代数(ドイツ語)。ベルリン：シュプリンガー。. 英語訳（第2改訂版）：Modern algebra . ニューヨーク：Frederick Ungar. 1949年。 (後に Springer 社から「Algebra」というタイトルで英語版が再出版されました。)
Pop, Florian (2001)。「ガロア理論と算術における(いくつかの)新しい傾向」(PDF)。