上段セット

数学において、半順序集合の上集合（Xにおける上向き閉集合、アップセット、または同位集合とも呼ばれる）^[1]は、次の性質を持つ部分集合である。sがSに含まれ、Xのxがsより大きい場合（つまり、の場合）、x はSに含まれる。言い換えれば、Sの何らかの元に対するXの任意のx要素は、必ずSの要素でもあるということである。下集合（下向き閉集合、ダウンセット、減少集合、初期セグメント、または半イデアルとも呼ばれる）という用語は、 Sの何らかの元に対するXの任意のx要素は、必ずSの要素でもあるという性質を持つXの部分集合 S として同様に定義される。 ${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle s<x}$${\displaystyle \,\geq \,}$${\displaystyle \,\leq \,}$

を順序付き集合とする。上集合（上向き閉集合、アップセット、またはアイソトーン集合とも呼ばれる）^[1]は、次の意味で「上向きに閉じている」 部分集合である。${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$

全ての人にとって、そして全ての人にとって、${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle u\leq x}$${\displaystyle x\in U.}$

双対概念は、下方集合（下方閉集合、下方集合、減少集合、初期セグメント、または半理想集合とも呼ばれる）であり、これは「下方に向かって閉じている」という意味で、 ${\displaystyle L\subseteq X}$

全ての人にとって、そして全ての人にとって、${\displaystyle l\in L}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x\leq l}$${\displaystyle x\in L.}$

順序イデアルやイデアルという用語は、下集合の同義語として使用されることがあります。^{[2] [3] [4]この用語の選択は、格子の下集合が必ずしも部分格子ではないため、}格子のイデアルの概念を反映していません。^[2]

• すべての部分的に順序付けられた集合は、それ自体の上位集合です。
• 任意の上位集合の族の共通部分と和集合もまた上位集合である。
• 上位セットの補集合は下位セットであり、その逆も同様です。
• 部分的に順序付けられた集合が与えられたとき、包含関係に従って順序付けられたの上集合の族は完全格子であり、上集合格子 である。${\displaystyle (X,\leq ),}$${\displaystyle X}$
• 半順序集合の任意の部分集合が与えられた場合、それを含む最小の上側集合は上矢印を使用して と表されます(上側閉包と下側閉包を参照)。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \uparrow Y}$
  • 双対的に、最小の下側集合は下向き矢印を使用して次のように表される。${\displaystyle Y}$${\displaystyle \downarrow Y.}$
• 下集合は、の要素である の形をとる場合、主集合と呼ばれる。${\displaystyle \downarrow \{x\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$
• 有限な半順序集合のあらゆる下集合は、その最大要素をすべて含む最小の下集合に等しい。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
  • ${\displaystyle \downarrow Y=\downarrow \operatorname {Max} (Y)}$ここで、は、${\displaystyle \operatorname {最大} (Y)}$${\displaystyle Y.}$
• 有向下集合は順序イデアルと呼ばれます。
• 降順連鎖条件を満たす半順序の場合、反連鎖と上側集合は、次の全単射によって 1 対 1 に対応します。各反連鎖をその上側閉包にマッピングします (以下を参照)。逆に、各上側集合をその最小要素の集合にマッピングします。この対応は、より一般的な半順序には当てはまりません。たとえば、実数 と の集合は、どちらも空の反連鎖にマッピングされます。${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>0\}}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>1\}}$

半順序集合の要素が与えられたとき、またはで表される の上閉包または上方閉包はで定義され 、またはで表されるの下閉包または下方閉包は で定義される。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\leq ),}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle x^{\uparrow },}$${\displaystyle \uparrow \!x,}$$${\displaystyle x^{\uparrow X}=\;\uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\downarrow X},}$ ${\displaystyle x^{\downarrow },}$${\displaystyle \downarrow \!x,}$$${\displaystyle x^{\downarrow X}=\;\downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.}$$

集合 と はそれぞれ、 を要素として 含む最小の上側集合と下側集合である。より一般的には、 と で表される部分集合の上限閉包と下限閉包をそれぞれ と ...${\displaystyle \uparrow \!x}$${\displaystyle \downarrow \!x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A^{\uparrow X}}$${\displaystyle A^{\downarrow X}}$$${\displaystyle A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a}$$$${\displaystyle A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.}$$

このように、そしてこの形式の上部集合と下部集合は主集合と呼ばれます。集合の上部閉包と下部閉包は、それぞれそれを含む最小の上部集合と下部集合です。 ${\displaystyle \uparrow x=\uparrow \{x\}}$${\displaystyle \downarrow x=\downarrow \{x\},}$

上閉包と下閉包は、 の冪集合からそれ自身への関数として見た場合、クラトフスキー閉包公理 をすべて満たすため、閉包演算子の例です。結果として、集合の上閉包は、それを含むすべての上集合の共通部分と等しくなり、下集合についても同様です。(実際、これは閉包演算子の一般的な現象です。たとえば、集合の位相閉包は、それを含むすべての閉集合の共通部分です。ベクトル集合のスパンはその集合を含むすべての部分空間の共通部分です。群の部分集合によって生成される部分群は、それを含むすべての部分群の共通部分です。環の部分集合によって生成されるイデアルは、それを含むすべてのイデアルの共通部分です。などです。) ${\displaystyle X}$

順序数は通常、それより小さい順序数すべての集合と同一視されます。したがって、各順序数は、集合の包含によって完全に順序付けられたすべての順序数のクラス内で下位集合を形成します。

• 抽象単体複体（独立系とも呼ばれる） - 包含関係に関して下向きに閉じた集合族。
• 共終集合–半順序集合の部分集合で、各要素に対して、${\displaystyle U}$${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\leq y.}$

• Blanck, J. (2000). 「位相空間のドメイン表現」(PDF) .理論計算機科学. 247 (1–2): 229–255. doi : 10.1016/s0304-3975(99)00045-6 .
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016)。Convergence Foundations Of Topology。ニュージャージー州: World Scientific Publishing Company。ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• ホフマン、KH (2001)、低分離公理 (T0) と (T1)