交差点番号

数学、特に代数幾何学において、交点数は、2つの曲線が交差する回数を数えるという直感的な概念を、より高次元、複数の（2つ以上の）曲線、そして接線を適切に考慮した形で一般化したものである。ベズーの定理のような結果を述べるには、交点数の定義が必要となる。

交点の数は、平面上のx軸とy軸の交点のように、1つであるべき場合など、特定のケースでは明らかです。問題となるのは、接点における交点の計算や、単なる点ではなく高次元の交点の計算です。例えば、平面が直線に沿って曲面に接している場合、その直線に沿った交点の数は少なくとも2つであるべきです。これらの問題は、交点理論において体系的に議論されています。

X をリーマン面とする。このとき、 X上の 2 つの閉曲線の交点数は、積分を用いて簡単に定義できる。X上の任意の閉曲線c (すなわち、滑らかな関数)に対して、${\displaystyle c:S^{1}\to X}$)微分形式を関連付けることができます$\displaystyle \eta _{c}}$コンパクトな台を持つ、cのポアンカレ双対であり、 cに沿った積分はX上の積分によって計算できるという性質を持つ。

${\displaystyle \int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})}$、すべての閉じた（1-）微分に対して${\displaystyle \alpha }$X上で、

どこ${\displaystyle \wedge }$は微分積のウェッジであり、${\displaystyle *}$はホッジスターである。すると、 X上の2つの閉曲線aとbの交点数は次のように定義される。

${\displaystyle a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}}$。

の$\displaystyle \eta _{c}}$は、次のような直感的な定義を持ちます。これらは、曲線cに沿った一種のディラックのデルタ関数であり、 cに沿って 1 から 0 に減少する単位ステップ関数の微分を取ることによって実現されます。より厳密には、 X上の単純な閉曲線cに対して、関数f _{c を}次のように定義することから始めます。${\displaystyle \Omega }$cの周りの環状の小さな帯です。 の左側と右側の部分を命名してください。${\displaystyle \Omega \setminus c}$として$\displaystyle \Omega ^{+}}$そして$\displaystyle \Omega ^{-}}$.次に、 cの周りのより小さなサブストリップを取ります。$\displaystyle \Omega _{0}}$左右の部分を含む${\displaystyle \オメガ _{0}^{-}}$そして${\displaystyle \オメガ _{0}^{+}}$.次に、f _{c を}次のように定義します。

${\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{滑らかな補間}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}}$。

次に、定義を任意の閉曲線に拡張します。X上のすべての閉曲線cは、$\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}}$いくつかの単純な閉曲線c _iに対して、すなわち、

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega }$、すべての微分について${\displaystyle \omega }$。

定義する$\displaystyle \eta _{c}}$による

${\displaystyle \eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}}$。

代数多様体の場合の一般的な構成的定義は段階的に進められます。以下に示す定義は、非特異多様体X上の因子の共通数に関するものです。

1. 定義から直接計算できる唯一の交点数は、xにおいて一般の位置にある超曲面(余次元 1 のXの部分多様体) の交点です。具体的には、非特異多様体Xと、多項式f _i ( t ₁ , ..., t _n )に対してxの近傍で局所方程式f ₁ , ..., f _{n を}持つ n 個の超曲面Z ₁ , ..., Z n_があり、次の条件が成り立つと仮定します。

• ${\displaystyle n=\dim _{k}X}$。
• ${\displaystyle f_{i}(x)=0}$すべてのiについて。（つまり、xは超曲面の交点にある。）
• ${\displaystyle \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0}$（つまり、約数は一般の位置にある。）
• の${\displaystyle f_{i}}$xにおいて非特異である。

すると、点xにおける交点数(点xにおける交点多重度と呼ばれる) は次のようになる。

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})}$、

どこ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$はxにおけるXの局所環であり、次元はkベクトル空間の次元である。局所化として計算できる。${\displaystyle k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$、 どこ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$はxで消滅する多項式の極大イデアルであり、U はx を含み、 f _iの特異点を含まない開アフィン集合である。

2. 一般位置にある超曲面の交点数は、各交点における交点数の合計として定義される。

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}}$

3. 線形性によって定義を有効除数に拡張します。

${\displaystyle (nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})}$そして${\displaystyle ((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})}$。

4. すべての約数は、ある有効約数PとNに対してD = P – Nという一意の式を持つことに注目して、定義を一般位置の任意の約数に拡張します。したがって、D _i = P _i – N _iとし、次の形式の規則を使用します。

${\displaystyle ((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})}$

交差点を変革する。

5. 任意の約数の交差数は、「チョウの移動補題」を使用して定義され、一般の位置にある線形同値な約数を見つけることができ、それらを交差させることができることが保証されます。

交差数の定義は、この数の計算において除数が現れる順序に依存しないことに注意してください。

VとW を、非特異射影多様体Xの 2 つの部分多様体とし、dim( V ) + dim( W ) = dim( X ) とします。このとき、 V ∩ Wの交点は有限個の点の集合であると予想されます。これらの点を数えようとすると、2 種類の問題が発生する可能性があります。まず、V ∩ Wの期待される次元がゼロであっても、実際の交点は大きな次元を持つ可能性があります。たとえば、射影平面における射影直線の自己交点数などです。2 つ目の潜在的な問題は、交点がゼロ次元であっても、横断的でない可能性があるということです。たとえば、V が平面曲線で、W がその接線の 1 つである場合などです。

最初の問題は、移動補題を使用してVとWをより便利な部分多様体に置き換える、上で詳しく説明した交差理論の仕組みを必要とします。一方、2 番目の問題は、VやWを移動することなく直接解決できます。1965 年にJean-Pierre Serre は、可換代数とホモロジー代数の方法を使用して各交点の多重度を見つける方法を説明しました。^{[ 1 ]}交差の幾何学的概念と導出テンソル積のホモロジー的概念との間のこの関係は影響力があり、特に可換代数におけるいくつかのホモロジー予想につながりました。

セールのトール公式は次のように述べている。Xを正則多様体とし、VとWを相補的な次元を持つ 2 つの部分多様体とする。ただし、 V ∩ Wは零次元とする。任意の点x ∈ V ∩ Wに対して、A を局所環とする。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$xの構造層は、点xにおいてイデアルI、J ⊆ Aに対応する。このとき、点xにおけるV ∩ Wの重複度は

${\displaystyle e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {length} _{A}(\operatorname {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))}$

ここで length は局所環上の加群の長さであり、Tor はTor 関数です。V と W を横断位置に移動できる場合、このホモロジー式は期待される結果を生成します。したがって、たとえば、VとWがxで横断的に交わる場合、重複度は 1 です。Vが点xにおける平面 上の放物線Wの点xにおける接線である場合、 xにおける重複度は 2 です。

VとWの両方が局所的に正則列によって切り取られる場合、例えばそれらが非特異である場合、上記の式ではすべての高次のTorが消滅するため、多重度は正になります。任意の場合における正値は、セールの多重度予想の1つです。

この定義は、例えば点だけでなく部分多様体に沿った交点、あるいは任意の完全多様体など、大幅に一般化することができる。

代数トポロジーにおいて、交差数はカップ積のポアンカレ双対として現れる。具体的には、2つの多様体XとYが多様体M内で横断的に交差する場合、その交差のホモロジー類はカップ積のポアンカレ双対となる。${\displaystyle D_{M}X\smile D_{M}Y}$XとYのポアンカレ双対の。

1959年から1960年にかけてスナッパーによって導入され、後にカルティエとクライマンによって発展させられた交点数へのアプローチがあり、それは交点数をオイラー標数として定義する。

X をスキームS上のスキームとし、Pic( X )をXのピカール群、G をSのアルティン部分スキーム上に適切なサポートを持つX上の連接層のカテゴリーのグロタンディーク群とする。

Pic( X ) の各Lに対して、 Gの自己準同型c ₁ ( L ) ( Lの第 1 チャーン類と呼ばれる) を次のように定義する。

${\displaystyle c_{1}(L)F=FL^{-1}\otimes F.}$

線束とのテンソル演算は正確であるため、G上では加法的である。また、次の関係も成り立つ。

• ${\displaystyle c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1}(L_{1}\otimes L_{2})}$; 特に、${\displaystyle c_{1}(L_{1})}$そして${\displaystyle c_{1}(L_{2})}$通勤。
• ${\displaystyle c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1})。}$
• ${\displaystyle \dim \operatorname {supp} c_{1}(L)F\leq \dim \operatorname {supp} F-1}$（これは自明ではなく、分割論法から導かれる。）

交差点番号

$\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}}$

線束L _iは次のように定義されます。

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi (c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F)}$

ここで、χはオイラー標数を表す。あるいは、帰納法により、次の式が成り立つ。

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\sum _{0}^{r}(-1)^{i}\chi (\wedge ^{i}(\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).}$

Fが固定されるたびに、${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F}$はLi_の対称汎関数です。

あるカルティエ約数D _iに対してL _i = O _X ( D _i ) が成り立つ場合、次のように書きます。${\displaystyle D_{1}\cdot {\dots }\cdot D_{r}}$交差点番号について。

させて${\displaystyle f:X\to Y}$Sスキームの射である。${\displaystyle L_{i},1\leq i\leq m}$GのXとF上の線束${\displaystyle m\geq \dim \operatorname {supp} F}$。 それから

${\displaystyle f^{*}L_{1}\cdots f^{*}L_{m}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F}$[ ^{2 ]​}

各トリプレットには固有の関数が割り当てられています${\displaystyle (P,Q,p)}$一対の射影曲線から構成される、${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$、 で${\displaystyle K[x,y]}$そしてポイント${\displaystyle p\in K^{2}}$数${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$交差多重度と呼ばれる${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$で${\displaystyle p}$以下の特性を満たすもの：

1. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)}$
2. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=\infty }$かつその場合に限り${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$共通因数がゼロである${\displaystyle p}$
3. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=0}$次のいずれかの場合に限り${\displaystyle P(p)}$または${\displaystyle Q(p)}$はゼロではない（つまり、ポイント${\displaystyle p}$（2つの曲線の交点にはない）
4. ${\displaystyle I_{p}(x,y)=1}$どこ${\displaystyle p=(0,0)}$
5. ${\displaystyle I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})}$
6. ${\displaystyle I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)}$いかなる場合でも${\displaystyle R\in K[x,y]}$

これらの特性は交差多重度を完全に特徴づけるものだが、実際にはいくつかの異なる方法で実現される。

交差多重性の実現方法の一つは、冪級数環の特定の商空間の次元を通してである。${\displaystyle K[[x,y]]}$必要に応じて変数変換を行うことで、次のように仮定することができます。${\displaystyle p=(0,0)}$。 させて${\displaystyle P(x,y)}$そして${\displaystyle Q(x,y)}$は、我々が関心を持つ代数曲線を定義する多項式である。元の式が同次形式で与えられている場合、これらは次のように設定することで得られる。${\displaystyle z=1}$。 させて${\displaystyle I=(P,Q)}$の理想を表す${\displaystyle K[[x,y]]}$によって生成されました${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$交差多重度は、${\displaystyle K[[x,y]]/I}$ベクトル空間として${\displaystyle K}$。

交差多重度のもう一つの例は、2つの多項式の終結式から得られる。${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$座標では${\displaystyle p=(0,0)}$曲線は他の交点を持たない${\displaystyle y=0}$、そしてその程度${\displaystyle P}$に関して${\displaystyle x}$は、${\displaystyle P}$、${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$は、${\displaystyle y}$結果の${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$（と${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$多項式として見なされる${\displaystyle K[x]}$)

交差の多重度は、曲線がわずかに摂動された場合に存在する異なる交差の数としても実現できます。より具体的には、${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$開集合の閉包内でただ一度だけ交差する曲線を定義する${\displaystyle U}$密な集合の場合${\displaystyle (\epsilon ,\delta )\in K^{2}}$、${\displaystyle P-\epsilon }$そして${\displaystyle Q-\delta }$滑らかで、ちょうどある数で横断的に交差する（つまり、異なる接線を持つ）。${\displaystyle n}$ポイント${\displaystyle U}$では、${\displaystyle I_{p}(P,Q)=n}$。

計算する上で最も興味深い交点数の一つに、自己交点数があります。これは、ある 除数を、それに対して一般の位置にある別の同等の除数に移動させ、その2つの除数が交差することを意味します。このようにして、自己交点数は明確に定義され、負の値をとることもあります。

交差数は、ベズーの定理を満たすように交差を定義したいという願望に部分的に動機づけられています。

交点数は、関数グラフと対角線の交点として巧みに定義できる不動点の研究において現れる。不動点における交点数を計算することで、重複度を持つ不動点の数を数えることができ、定量的な形でレフシェッツの不動点定理が得られる。

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