ゲルファンドの表現

数学において、関数解析におけるゲルファント表現（IMゲルファントにちなんで名付けられている）は、次の2つのいずれかです。

• 可換 バナッハ代数を連続関数の代数として表現する方法。
• 可換C*-代数の場合、この表現は等長同型であるという事実。

前者の場合、ゲルファント表現は積分関数のフーリエ変換の広範囲にわたる一般化とみなすことができます。後者の場合、ゲルファント-ナイマーク表現定理は正規演算子のスペクトル理論の発展における1つの道であり、正規行列の対角化の概念を一般化します。

ゲルファンドの独創的な応用の 1 つ (そして歴史的にバナッハ代数の多くの研究のきっかけとなったもの^{[要出典] ) は、}群代数L ¹ ( R ) の元とその変換がそれぞれの代数内の稠密な部分空間に及ぶことを特徴付ける、ノルベルト・ウィーナーの有名な補題(下記の引用を参照)のはるかに短く概念的な証明を与えることであった。 ${\displaystyle \ell ^{1}({\mathbf {Z} })}$

任意の局所コンパクト ハウスドルフ 位相空間 Xに対して、無限遠で消えるX上の連続複素数値関数の空間C ₀ ( X ) は、自然に可換 C*-代数である。

• 複素数上の代数構造は、加算と乗算の点ごとの演算を考慮することによって得られます。
• 反転は点ごとの複素共役です。
• ノルムは関数上の均一ノルムです。

X が局所コンパクトかつハウスドルフであることの重要性は、これによってX が完全に正則な空間になることです。このような空間では、Xのすべての閉部分集合はX上の連続複素数値関数の族の共通零点集合であり、 C ₀ ( X )からXの位相を復元することができます。

C ₀ ( X ) が単位関数となるのは 、 Xがコンパクトな場合のみであり、その場合、C ₀ ( X ) は、 X上のすべての連続複素数値関数の代数である C ( X )に等しくなります。

を複素数体上で定義された可換バナッハ代数とします。非ゼロ代数準同型(乗法線形関数)は の指標と呼ばれます。 のすべての指標の集合はで表されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \Phi \colon A\to \mathbb {C} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi_{A}}$

上のすべての指標は自動的に連続であり、したがって上の連続線型関数の空間の部分集合であることが示せます。さらに、相対弱*位相を備えると、は局所コンパクトかつハウスドルフであることがわかります。(これはバナッハ–アラオグルの定理に従います。) 空間がコンパクトであるのは (今定義した位相において)、代数が単位元を持つ場合のみです。^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle A}$

が与えられたとき、関数を によって定義します。 の定義とその上の位相により、 が連続で無限大で消えること^[要出典]、および がからへのノルム減少、単位保存代数準同型を定義することが保証されます。この準同型はのゲルファンド表現であり、 は元 のゲルファンド変換です。一般に、表現は単射でも全射でもありません。 ${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle {\widehat {a}}:\Phi _{A}\to {\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\widehat {a}}(\phi )=\phi (a)}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle {\ワイドハット {a}}}$${\displaystyle a\mapsto {\widehat {a}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{0}(\ファイ _{A})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\ワイドハット {a}}}$${\displaystyle a}$

が単位元を持つ場合、と における極大イデアルの集合の間には一対一の関係が存在します(これはゲルファント・マズールの定理に依存します)。結果として、ゲルファント表現の核はのヤコブソン根号と同一視できます。したがって、ゲルファント表現が単射となるのは、 が(ヤコブソン) 半単純 である場合に限ります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\to C_{0}(\Phi _{A})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

バナッハ空間は、畳み込みの下でのバナッハ代数、つまり の群代数です。すると は に同相になり、 のゲルファンド変換はフーリエ変換になります。同様に、 は乗法的実数の群代数なので、ゲルファンド変換はメリン変換になります。 ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})}$

に対して、表現空間はストーン・チェフコンパクト化である。より一般的には、 が完全に正則なハウスドルフ空間である場合、有界連続関数のバナッハ代数の表現空間は のストーン・チェフコンパクト化である。^[2]${\displaystyle A=\ell ^{\infty}}$ ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

動機として、特別な場合A = C ₀ ( X ) を考えてみましょう。X内のxが与えられ、xにおける点ごとの評価、つまりとします。すると はA上の指標であり、 Aのすべての指標がこの形式であることが示されます。より正確な分析により、集合としてだけでなく位相空間としても Φ _{A を}Xと同一視できることが示されます。するとゲルファント表現は同型になります。 ${\displaystyle \varphi _{x}\in A^{*}}$${\displaystyle \varphi _{x}(f)=f(x)}$${\displaystyle \varphi _{x}}$

${\displaystyle C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\ }$

可換 C*-代数Aのスペクトルまたはゲルファント空間( Âと表記) は、Aから複素数への非ゼロ*-準同型写像の集合から構成されます。スペクトルの要素はAの指標と呼ばれます。( Aから複素数へのすべての代数準同型写像は自動的に*-準同型写像であることが示され、そのため用語「指標」のこの定義は上記の定義と一致することになります。)

特に、可換 C*-代数のスペクトルは局所的にコンパクトなハウスドルフ空間です。単位元の場合、つまり C*-代数が乗法単位元 1 を持つ場合、すべての文字f は単位元でなければなりません。つまり、f (1) は複素数 1 です。これにより、ゼロ準同型が排除されます。したがって、Âは弱 * 収束の下で閉じており、スペクトルは実際にはコンパクトです。非単位元の場合、Âの弱 * 閉包はÂ ∪ {0}であり、0 はゼロ準同型であり、コンパクトなハウスドルフ空間から 1 つの点を削除すると、局所的にコンパクトなハウスドルフ空間が生成されます。

スペクトルは多重定義語であることに注意してください。また、単位 1 を持つ代数の元xのスペクトル σ( x ) も指します。単位 1とは、 Aでx  −  r 1 が逆でない複素数rの集合です。単位 C* 代数の場合、2 つの概念は次のように関連しています。σ( x ) は、 f がAのゲルファント空間全体にわたる複素数f ( x )の集合です。スペクトル半径の公式と合わせて、これはÂ がA*の単位球の部分集合であり、相対弱 * 位相を与えることができることを示しています。これは、点ごとの収束の位相です。Aのスペクトルの元のネット{ f _k } _{k が}fに収束するのは、Aの各xに対して、複素数ネット { f _k ( x )} _{k が}f ( x )に収束する場合のみです。

A が可分C*-代数である場合、弱* 位相は有界部分集合上で距離化可能です。したがって、可分可換 C*-代数Aのスペクトルは距離空間と見なすことができます。したがって、位相はシーケンスの収束によって特徴付けることができます。

同様に、σ( x )はγ( x )の範囲であり、γはゲルファント表現です。

A を可換C*-代数とし、 X をAのスペクトルとする。

${\displaystyle \gamma :A\to C_{0}(X)}$

上記で定義したゲルファンド表現とする。

定理。ゲルファンド写像γはAから_C0 ( X )への等長*同型写像である。

下記の Arveson の参考文献を参照してください。

可換 C*-代数のスペクトルは、包核位相を持つAのすべての極大イデアル mの集合として見ることもできます。(一般的な可換バナッハ代数の場合については、前述の説明を参照してください。) そのような任意のmに対して、商代数A/m は1 次元であり (ゲルファント-マズールの定理により)、したがってAの任意のa はY上の複素数値関数を生じます。

単位を持つ C*-代数の場合、スペクトル写像は、単位を持つ可換 C*-代数と単位を保存する連続 *-準同型のカテゴリから、コンパクト ハウスドルフ空間と連続写像のカテゴリへの反変関手を生じます。この関手は、これら 2 つのカテゴリ間の反変同値の半分です(その随伴関数は、各コンパクト ハウスドルフ空間XにC*-代数C ₀ ( X )を割り当てる関手です)。特に、コンパクト ハウスドルフ空間XとYが与えられたとき、C ( X ) が(C*-代数として) C ( Y )と同型であるためには、 X がYと同相である必要があります。

「完全な」ゲルファント・ナイマーク定理は、任意の（抽象的な）非可換C*-代数Aの結果であり、ゲルファント表現と完全に類似しているわけではありませんが、演算子の代数としてのAの具体的な表現を提供します。

最も重要な応用の 1 つは、 C* 代数Aの正規元に対する連続関数計算の存在です。元xが正規となるのは、x がその随伴元x*と可換である場合、またはそれと同等に、可換 C* 代数 C*( x )を生成する場合のみです。C*( x ) に適用されるゲルファント同型により、これは局所コンパクト空間上の連続関数の代数と * 同型になります。この観察から、ほぼ直ちに次のことが導かれます。

定理。Aを単位元を持つ C*-代数とし、x をAの正規元とする。すると、スペクトル σ( x )上の連続関数の代数からAへの *-射f → f ( x )が存在し、

• これは 1 をAの乗法単位元にマッピングします。
• スペクトル上の恒等関数をxにマッピングします。

これにより、ヒルベルト空間上の有界正規演算子に連続関数を適用できるようになります。

• Arveson, W. (1981). C*-代数への招待. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0。
• Bonsall, FF; Duncan, J. (1973). Complete Normed Algebras . ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2。
• コンウェイ、JB (1990)。関数解析コース。数学大学院テキスト。第96巻。Springer Verlag。ISBN 0-387-97245-5。
• Wiener, N. (1932). 「タウバー定理」. Annals. of Math . II. 33 (1). Annals of Mathematics: 1– 100. doi :10.2307/1968102. JSTOR  1968102.